Комплексный тор

Комплексный тор, связанный с решеткой, охватывающей два периода, ω ₁ и ω _2. Соответствующие ребра идентифицированы.

В математике комплексный тор — это особый вид комплексного многообразия M , лежащее в основе гладкое многообразие которого является тором в обычном смысле (т. е. декартовым произведением некоторого числа N окружностей ). Здесь N должно быть четным числом 2 n , где n — комплексная размерность M .

Все такие комплексные структуры могут быть получены следующим образом: возьмем решетку Λ в векторном пространстве V, изоморфном C ^{n ,} рассматриваемом как вещественное векторное пространство; тогда факторгруппа будет компактным комплексным многообразием. Все комплексные торы, с точностью до изоморфизма, получаются таким образом. Для n = 1 это классическая конструкция решетки периодов эллиптических кривых . Для n > 1 Бернхард Риман нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы комплексный тор был алгебраическим многообразием ; те, которые являются многообразиями, могут быть вложены в комплексное проективное пространство и являются абелевыми многообразиями . $${\displaystyle V/\Lambda }$$

Фактические проективные вложения сложны (см. уравнения, определяющие абелевы многообразия ), когда n > 1, и действительно совпадают с теорией тета-функций нескольких комплексных переменных (с фиксированным модулем). Нет ничего проще описания кубической кривой для n = 1. Компьютерная алгебра может обрабатывать случаи для малых n достаточно хорошо. По теореме Чжоу , никакой комплексный тор, кроме абелевых многообразий, не может «вписаться» в проективное пространство .

Определение

Один из способов определения комплексных торов ^[1] — это определение их как компактной связной комплексной группы Ли . Это группы Ли, в которых структурные отображения являются голоморфными отображениями комплексных многообразий. Оказывается, что все такие компактные связные группы Ли являются коммутативными и изоморфны фактору своей алгебры Ли, накрывающее отображение которой является экспоненциальным отображением алгебры Ли в ее ассоциированную группу Ли. Ядром этого отображения является решетка и . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{0}G}$ ${\displaystyle \Lambda \subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\Lambda \cong U}$

Наоборот, если задано комплексное векторное пространство и решетка максимального ранга, фактор-комплексное многообразие имеет комплексную структуру группы Ли, а также является компактным и связным. Это подразумевает, что два определения для комплексных торов эквивалентны. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Lambda \subseteq V}$ ${\displaystyle V/\Lambda }$

Матрица периодов комплексного тора

Один из способов описания g -мерного комплексного тора ^{[2] : 9} заключается в использовании матрицы , столбцы которой соответствуют базису решетки, расширенной с использованием базиса . То есть, мы записываем так Тогда мы можем записать тор как Если мы пойдем в обратном направлении, выбрав матрицу , она будет соответствовать матрице периода тогда и только тогда, когда соответствующая матрица, построенная путем присоединения комплексно-сопряженной матрицы к , поэтому является невырожденной . Это гарантирует, что векторы-столбцы охватывают решетку в , следовательно, должны быть линейно независимыми векторами над . ${\displaystyle g\times 2g}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{2g}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{g}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,2g}\\\vdots &&\vdots \\\lambda _{g,1}&\cdots &\lambda _{g,2g}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle \lambda _{i}=\sum _{j}\lambda _{ji}e_{j}}$$ ${\displaystyle X=V/\Lambda }$ $${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{g}/\Pi \mathbb {Z} ^{2g}}$$ ${\displaystyle \Pi \in Mat_{\mathbb {C} }(g,2g)}$ ${\displaystyle P\in Mat_{\mathbb {C} }(2g,2g)}$ ${\displaystyle {\overline {\Pi }}}$ ${\displaystyle \Pi }$ $${\displaystyle P={\begin{pmatrix}\Pi \\{\overline {\Pi }}\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Пример

Для двумерного комплексного тора матрица периодов имеет вид, например, матрица образует матрицу периодов, поскольку связанная с ней матрица периодов имеет определитель 4. $${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\lambda _{1,2}&\lambda _{1,3}&\lambda _{1,4}\\\lambda _{2,1}&\lambda _{2,2}&\lambda _{2,3}&\lambda _{2,4}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}1&0&i&2i\\1&-i&1&1\end{pmatrix}}}$$

Нормализованная периодическая матрица

Для любого комплексного тора размерности он имеет матрицу периодов вида , где — единичная матрица и где . Мы можем получить это, взяв изменение базиса векторного пространства, что даст блочную матрицу вида выше. Условие для следует из рассмотрения соответствующей -матрицы , поскольку это должна быть невырожденная матрица. Это потому, что если мы вычислим определитель блочной матрицы, это просто , что дает импликацию. ${\displaystyle X=V/\Lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Pi }$ $${\displaystyle (Z,1_{g})}$$ ${\displaystyle 1_{g}}$ ${\displaystyle Z\in Mat_{\mathbb {C} }(g)}$ ${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}Z&1_{g}\\{\overline {Z}}&1_{g}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\det P&=\det(1_{g})\det(Z-1_{g}1_{g}{\overline {Z}})\\&=\det(Z-{\overline {Z}})\\&\Rightarrow \det({\text{Im}}(Z))\neq 0\end{aligned}}}$$

Пример

Например, мы можем записать нормализованную матрицу периодов для двумерного комплексного тора, поскольку одним из таких примеров является нормализованная матрица периодов, поскольку определитель отличен от нуля и равен . $${\displaystyle {\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+i&1-i&1&0\\1+2i&1+{\sqrt {2}}i&0&1\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle {\text{Im}}(Z)}$ ${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$

Матрицы периодов абелевых многообразий

Чтобы получить матрицу периодов, которая дает проективное комплексное многообразие, а значит, алгебраическое многообразие, матрица периодов должна дополнительно удовлетворять билинейным соотношениям Римана . ^[3]

Гомоморфизмы комплексных торов

Если у нас есть комплексные торы и размерностей , то гомоморфизм ^{[2] : 11} комплексных торов является функцией , такой, что структура группы сохраняется. Это имеет ряд следствий, таких как то, что каждый гомоморфизм индуцирует отображение их накрывающих пространств , которое совместимо с их накрывающими отображениями. Более того, поскольку индуцирует групповой гомоморфизм, он должен ограничиваться морфизмом решеток В частности, существуют инъекции и , которые называются аналитическими и рациональными представлениями пространства гомоморфизмов. Они полезны для определения некоторой информации о кольце эндоморфизмов , которое имеет рациональную размерность . ${\displaystyle X=V/\Lambda }$ ${\displaystyle X'=V'/\Lambda '}$ ${\displaystyle g,g'}$ $${\displaystyle f:X\to X'}$$ $${\displaystyle F:V\to V'}$$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F_{\Lambda }:\Lambda \to \Lambda '}$$ $${\displaystyle \rho _{a}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(V,V')}$$ ${\displaystyle \rho _{r}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} }(\Lambda ,\Lambda ')}$ ${\displaystyle {\text{End}}(X)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle m\leq 4gg'}$

Голоморфные отображения комплексных торов

Класс гомоморфных отображений между комплексными торами имеет очень простую структуру. Конечно, каждый гомоморфизм индуцирует голоморфное отображение, но каждое голоморфное отображение является композицией особого вида голоморфного отображения с гомоморфизмом. Для элемента мы определяем отображение переноса отправляющее Тогда, если является голоморфным отображением между комплексными торами , существует единственный гомоморфизм такой, что показывающий, что голоморфные отображения не намного больше множества гомоморфизмов комплексных торов. ${\displaystyle x_{0}\in X}$ $${\displaystyle t_{x_{0}}:X\to X}$$ ${\displaystyle x\mapsto x+x_{0}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X,X'}$ ${\displaystyle f:X\to X'}$ $${\displaystyle h=t_{h(0)}\circ f}$$

Изогении

Один из особых классов гомоморфизмов комплексных торов называется изогениями. Это эндоморфизмы комплексных торов с ненулевым ядром. Например, если мы допустим, что будет целым числом, то существует связанное отображение , посылающее ядро, изоморфное . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\neq 0}}$ $${\displaystyle n_{X}:X\to X}$$ ${\displaystyle x\mapsto nx}$ $${\displaystyle X_{n}\cong (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}}$$ ${\displaystyle \Lambda /n\Lambda }$

Изоморфные комплексные торы

Существует изоморфизм комплексных структур на действительном векторном пространстве , и множество и изоморфные торы могут быть заданы путем изменения базиса их решеток, следовательно, матрицы в . Это дает множество классов изоморфизма комплексных торов размерности , , как пространство двойных смежных классов Обратите внимание, что как действительное многообразие, это имеет размерность , это важно при рассмотрении размерностей модулей абелевых многообразий , что показывает, что существуют гораздо более сложные торы, чем абелевы многообразия. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2g}}$ $${\displaystyle GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)}$$ ${\displaystyle GL_{\mathbb {Z} }(2g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}}$ $${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}\cong GL_{\mathbb {Z} }(2g)\backslash GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)}$$ $${\displaystyle 4g^{2}-2g^{2}=2g^{2}}$$

Линейные расслоения и автоморфные формы

Для комплексных многообразий , в частности комплексных торов, существует конструкция ^{[2] : 571,} связывающая голоморфные линейные расслоения , обратные образы которых тривиальны, с использованием групповых когомологий . К счастью, для комплексных торов каждое комплексное линейное расслоение становится тривиальным, поскольку . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \pi ^{*}L\to {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi ^{*}L}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\cong \mathbb {C} ^{n}}$

Факторы автоморфии

Начиная с первой группы когомологий, вспомним, как можно представить ее элементы. Так как действует на , то существует индуцированное действие на всех ее пучках, следовательно, на Тогда -действие можно представить как голоморфное отображение . Это отображение удовлетворяет условию коцикла, если для любого и . Абелева группа 1-коциклов называется группой факторов автоморфности . Отметим, что такие функции также называются просто факторами . $${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ $${\displaystyle H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})=\{f:{\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}\}}$$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle f:\pi _{1}(X)\times {\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}}$ $${\displaystyle f(a\cdot b,x)=f(a,b\cdot x)f(b,x)}$$ ${\displaystyle a,b\in \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle x\in {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$ ${\displaystyle f}$

На комплексных торах

Для комплексных торов эти функции задаются функциями , которые следуют условию коцикла. Это автоморфные функции , точнее, автоморфные функции, используемые в законах преобразования для тета-функций . Также любое такое отображение может быть записано как для , что полезно для вычисления инвариантов, связанных с ассоциированным линейным расслоением. ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {Z} ^{2n}\to \mathbb {C} ^{*}}$$ $${\displaystyle f=\exp(2\pi i\cdot g)}$$ $${\displaystyle g:V\times \Lambda \to \mathbb {C} }$$

Линейные пучки из факторов автоморфизма

При наличии фактора автоморфности мы можем определить линейное расслоение на следующим образом: тривиальное линейное расслоение имеет -действие, заданное для фактора . Поскольку это действие свободно и собственно разрывно, фактор-расслоение является комплексным многообразием. Более того, проекция, индуцированная из накрывающей проекции . Это дает отображение , которое индуцирует изоморфизм, дающий желаемый результат. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\times \mathbb {C} \to {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ $${\displaystyle a\cdot (x,t)=(a\cdot x,f(a,x)\cdot t)}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle L={\tilde {X}}\times \mathbb {C} /\pi _{1}(X)}$$ ${\displaystyle p:L\to X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$ $${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$$ $${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to \ker(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$$

Для комплексных торов

В случае комплексных торов, следовательно, имеется изоморфизм , представляющий линейные расслоения на комплексных торах как 1-коциклы в ассоциированных групповых когомологиях. Типично записывать группу как решетку, определяющую , следовательно, содержит классы изоморфизма линейных расслоений на . ${\displaystyle H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})\cong 0}$ $${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle H^{1}(\Lambda ,H^{0}({\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$$ ${\displaystyle X}$

Первый класс Черна линейных расслоений на комплексных торах

Из экспоненциальной точной последовательности связывающий морфизм является первым отображением классов Черна , отправляющим класс изоморфизма линейного расслоения в его ассоциированный первый класс Черна. Оказывается, существует изоморфизм между и модулем знакопеременных форм на решетке , . Следовательно, можно рассматривать как знакопеременную -значную 2-форму на . Если имеет фактор автоморфности , то знакопеременная форма может быть выражена как для и . $${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}^{*}\to 0}$$ $${\displaystyle c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle Alt^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle E_{L}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f=\exp(2\pi ig)}$ $${\displaystyle E_{L}(\lambda ,\mu )=g(\mu ,v+\lambda )+g(\lambda ,v)-g(\lambda ,v+\mu )-g(\mu ,v)}$$ ${\displaystyle \mu ,\lambda \in \Lambda }$ ${\displaystyle v\in V}$

Пример

Для нормализованной матрицы периода, расширенной с использованием стандартного базиса, мы имеем векторы столбцов, определяющие решетку . Тогда любая чередующаяся форма на имеет вид , где должен быть выполнен ряд условий совместимости. $${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle E_{L}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ $${\displaystyle E_{L}={\begin{pmatrix}0&e_{2,1}&e_{3,1}&e_{4,1}\\-e_{2,1}&0&e_{3,2}&e_{4,2}\\-e_{3,1}&-e_{2,3}&0&e_{4,3}\\-e_{4,1}&-e_{4,2}&-e_{4,3}&0\end{pmatrix}}}$$

Разделы линейных пучков и тета-функций

Для линейного расслоения, заданного фактором автоморфности , поэтому и , существует связанный пучок сечений , где с открытым. Тогда, оцененный на глобальных сечениях, это множество голоморфных функций, таких что , которые являются в точности тета-функциями на плоскости. Обратно, этот процесс можно выполнить в обратном направлении, где автоморфный фактор в тета-функции на самом деле является фактором автоморфности, определяющим линейное расслоение на комплексном торе. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle [f]\in H^{1}(\Lambda ,H^{0}(V,{\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$ ${\displaystyle \phi _{1}[f]=[L]\in {\text{Pic}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(U)=\left\{\theta :\pi ^{-1}(U)\to \mathbb {C} :{\begin{matrix}\theta {\text{ holomorphic with }}\theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)\\{\text{for all }}(\lambda ,v)\in \Lambda \times \pi ^{-1}(U)\end{matrix}}\right\}}$$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \theta :V\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)}$$

Эрмитовы формы и теорема Аппеля-Гумберта

Для альтернирующей -значной 2-формы, связанной с линейным расслоением , ее можно расширить до -значной. Тогда оказывается, что любая -значная альтернирующая форма удовлетворяет следующим условиям ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle E_{L}}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E:V\times V\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$
2. ${\displaystyle E(iv,iw)=E(v,w)}$для любого ${\displaystyle v,w\in V}$

является расширением некоторого первого класса Черна линейного расслоения . Более того, существует ассоциированная эрмитова форма, удовлетворяющая ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle H:V\times V\to \mathbb {C} }$

1. ${\displaystyle {\text{Im}}H(v,w)=E(v,w)}$
2. ${\displaystyle H(v,w)=E(iv,w)+iE(v,w)}$

для любого . ${\displaystyle v,w\in V}$

Группа Нерон-Севери

Для комплексного тора мы можем определить группу Нерона-Сервери как группу эрмитовых форм на с Эквивалентно, это образ гомоморфизма из первого класса Черна. Мы также можем отождествить ее с группой знакопеременных действительнозначных знакопеременных форм на таких, что . ${\displaystyle X=V/\Lambda }$ ${\displaystyle NS(X)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\text{Im}}H(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$

Пример эрмитовой формы на эллиптической кривой

Для ^[4] эллиптической кривой, заданной решеткой , где мы можем найти интегральную форму , посмотрев на общую чередующуюся матрицу и найдя правильные условия совместимости для того, чтобы она вела себя так, как и ожидалось. Если мы используем стандартный базис как действительное векторное пространство (так что ), то мы можем выписать чередующуюся матрицу и вычислить связанные произведения на векторах, связанных с . Это Затем, взяв внутренние произведения (со стандартным внутренним произведением) этих векторов с векторами, мы получаем так что если , то Затем мы можем напрямую проверить , что справедливо для матрицы выше. Для фиксированного мы запишем интегральную форму как . Тогда существует связанная эрмитова форма, заданная как где ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\tau \end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle E\in {\text{Alt}}^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle x_{1},y_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z=z_{1}+iz_{2}=z_{1}x_{1}+z_{2}y_{1}}$ $${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&e\\-e&0\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle 1,\tau }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}&&E\cdot {\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 1,\tau }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=0&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=-e\tau _{2}\\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=e\tau _{2}&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subset \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle e=a{\frac {1}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$ ${\displaystyle E(v,w)=E(iv,iw)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E_{a}}$ $${\displaystyle H_{a}:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$$ $${\displaystyle H_{a}(z,w)=a\cdot {\frac {z{\overline {w}}}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$

Пары полусимволов для эрмитовых форм

Для эрмитовой формы полухарактер — это отображение, такое что, следовательно, отображение ведет себя как характер, скрученный эрмитовой формой. Обратите внимание, что если — нулевой элемент в , поэтому он соответствует тривиальному линейному расслоению , то ассоциированные полухарактеры — это группа характеров на . Окажется, что это соответствует группе степенных линейных расслоений на , или, что эквивалентно, его двойственному тору, что можно увидеть, вычислив группу характеров , элементы которых могут быть факторизованы как отображения, показывающие, что характер имеет вид для некоторого фиксированного двойственного вектора решетки . Это дает изоморфизм множества характеров с действительным тором. Множество всех пар полухарактеров и их ассоциированная эрмитова форма , или пары полухарактеров , образует группу , где Эта структура группы получается путем применения предыдущего закона коммутации для полухарактеров к новому полухарактеру : Оказывается, эта группа сюръектна на и имеет ядро , давая короткую точную последовательность. Эта сюръекция может быть построена путем сопоставления каждой паре полухарактеров линейного расслоения . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \chi :\Lambda \to U(1)}$ $${\displaystyle \chi (\lambda +\mu )=\chi (\lambda )\chi (\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H(\lambda ,\mu ))}$$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle NS(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times X\to X}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\text{Pic}}^{0}(X)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$ ${\displaystyle \Lambda \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong U(1)}$ ${\displaystyle \chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)}$ ${\displaystyle v^{*}\in \Lambda ^{*}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong \mathbb {R} ^{2g}/\mathbb {Z} ^{2g}}$ ${\displaystyle (\chi ,H)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )}$ $${\displaystyle (H_{1},\chi _{1})*(H_{2},\chi _{2})=(H_{1}+H_{2},\chi _{1}\chi _{2})}$$ ${\displaystyle \chi _{1}\chi _{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}\chi _{2}(\lambda +\mu )&=\chi _{1}(\lambda +\mu )\chi _{2}(\lambda +\mu )\\&=\chi _{1}(\lambda )\chi _{1}(\mu )\chi _{2}(\lambda )\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu ))\exp(i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\\&=\chi _{1}\chi _{2}(\lambda )\chi _{1}\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu )+i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle NS(X)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$ $${\displaystyle 1\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\to {\mathcal {P}}(\Lambda )\to NS(X)\to 1}$$ ${\displaystyle L(H,\chi )}$

Полусимвольные пары и пучки строк

Для пары полухарактеров мы можем построить 1-коцикл на как отображение, определяемое как Отношение коцикла можно легко проверить прямым вычислением. Следовательно, коцикл определяет линейное расслоение , где -действие на задается как Обратите внимание, что это действие можно использовать, чтобы показать, что сечения линейного расслоения задаются тета-функциями с фактором автоморфности . Иногда это называется каноническим фактором автоморфности для . Обратите внимание, что поскольку каждое линейное расслоение имеет связанную эрмитову форму , а полухарактер можно построить с использованием фактора автоморфности для , мы получаем сюръекцию Более того, это гомоморфизм групп с тривиальным ядром. Все эти факты можно суммировать в следующей коммутативной диаграмме , где вертикальные стрелки являются изоморфизмами или равенством. Эту диаграмму обычно называют теоремой Аппеля-Гумберта . ${\displaystyle (H,\chi )}$ ${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ $${\displaystyle a_{(H,\chi )}:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$$ $${\displaystyle a(\lambda ,v)=\chi (\lambda )\exp(\pi H(v,\lambda )+{\frac {\pi }{2}}H(\lambda ,\lambda ))}$$ $${\displaystyle a(\lambda +\mu ,v)=a(\lambda ,v+\mu )a(\mu ,v)}$$ $${\displaystyle L(H,\chi )\cong V\times \mathbb {C} /\Lambda }$$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle V\times \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \lambda \circ (v,t)=(v+t,a_{(H,\chi )}(\lambda ,v)t)}$$ ${\displaystyle L(H,\chi )}$ ${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )\to {\text{Pic}}(X)}$$ $${\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &{\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))&\to &{\mathcal {P}}(\Lambda )&\to &NS(X)&\to 0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &{\text{Pic}}^{0}(X)&\to &{\text{Pic}}(X)&\to &{\text{NS}}(X)&\to 0\end{matrix}}}$$

Двойственный комплексный тор

Как упоминалось ранее, характер на решетке может быть выражен как функция для некоторого фиксированного двойственного вектора . Если мы хотим поместить сложную структуру на действительный тор всех характеров, нам нужно начать с комплексного векторного пространства, которое встраивается в . Оказывается, что комплексное векторное пространство комплексных антилинейных отображений изоморфно действительному двойственному векторному пространству , которое является частью факторизации для записи характеров. Кроме того, существует связанная решетка, называемая двойственной решеткой . Затем мы можем сформировать двойственный комплексный тор , который обладает особым свойством, что этот двойственный к двойственному комплексному тору является исходным комплексным тором. Более того, из обсуждения выше мы можем отождествить двойственный комплексный тор с группой Пикара , отправив антилинейный двойственный вектор в , задавая отображение , которое факторизуется через двойственный комплексный тор. Существуют и другие конструкции двойственного комплексного тора с использованием методов из теории абелевых многообразий. ^{[1] : 123–125} По существу, беря линейное расслоение над комплексным тором (или абелевым многообразием) , существует замкнутое подмножество из , определяемое как точки , где их переносы инвариантны, т. е. Тогда двойственный комплексный тор может быть построен как представляющий его как изогению. Можно показать, что определение таким образом удовлетворяет универсальным свойствам , следовательно, на самом деле является двойственным комплексным тором (или абелевым многообразием). $${\displaystyle \chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)}$$ ${\displaystyle v^{*}\in \Lambda ^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{*}}$ $${\displaystyle {\overline {\Omega }}={\text{Hom}}_{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}$$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle {\hat {\Lambda }}=\{l\in {\overline {\Omega }}:\langle l,\Lambda \rangle \subseteq \mathbb {Z} \}}$$ ${\displaystyle \Lambda }$ $${\displaystyle {\hat {X}}\cong {\overline {\Omega }}/{\hat {\Lambda }}}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\hat {X}}\cong {\text{Pic}}^{0}(X)}$$ ${\displaystyle l}$ $${\displaystyle l\mapsto \exp(2\pi i\langle l,\cdot \rangle )}$$ $${\displaystyle {\overline {\Omega }}\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(L)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle T_{x}^{*}(L)\cong L}$$ $${\displaystyle {\hat {X}}:=X/K(L)}$$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\text{Pic}}^{0}(X)}$

расслоение Пуанкаре

Из конструкции двойственного комплексного тора следует, что должно существовать линейное расслоение над произведением тора и его двойственного, которое может быть использовано для представления всех классов изоморфизма линейных расслоений степени 0 на . Мы можем закодировать это поведение с помощью следующих двух свойств ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{X\times \{[L]\}}\cong L}$для любой точки, дающей линейный пучок ${\displaystyle [L]\in {\hat {X}}}$ ${\displaystyle L}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\{0\}\times {\hat {X}}}}$является тривиальным линейным расслоением

где первое свойство обсуждается выше, а второе действует как свойство нормализации. Мы можем построить, используя следующую эрмитову форму и полухарактер для . Демонстрация того, что эти данные строят линейное расслоение с желаемыми свойствами, следует из рассмотрения связанного канонического фактора и наблюдения за его поведением при различных ограничениях. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}H:(V\times {\overline {\Omega }})\times (V\times {\overline {\Omega }})\to \mathbb {C} \\H((v_{1},l_{1}),(v_{2},l_{2}))={\overline {l_{2}(v_{1})}}+l_{1}(v_{2})\end{matrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{matrix}\chi :\Lambda \times {\hat {\Lambda }}\to U(1)\\\chi (\lambda ,l_{0})=\exp(i\pi {\text{Im}}l_{0}(\lambda ))\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,\chi )}$

Смотрите также

• расслоение Пуанкаре
• Комплексная группа Ли
• Автоморфная функция
• Промежуточный якобиан
• Эллиптическая гамма-функция

Ссылки

1. Mumford, David (2008). Абелевы многообразия. CP Ramanujam, I︠U︡. I. Manin. Опубликовано для Tata Institute of Fundamental Research. ISBN 978-8185931869. OCLC  297809496.
2. Биркенхейк, Кристина (2004). Комплексные абелевы многообразия. Герберт Ланге (Второе, дополненное изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC  851380558.
3. "Билинейные соотношения Римана" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 31 мая 2021 г.
4. «Как теорема Аппеля-Гумберта работает в простейшем случае эллиптической кривой».

• Биркенхейк, Кристина; Ланге, Герберт (1999), Комплексные торы , Progress in Mathematics, т. 177, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4103-0, г-н  1713785

Комплексные 2-мерные торы

• Рупперт, Вольфганг М. (1990). «Когда абелева поверхность изоморфна или изогенна произведению эллиптических кривых?». Mathematische Zeitschrift . 203 : 293–299. doi :10.1007/BF02570737. S2CID  120799085.- Предоставляет инструменты для поиска комплексных торов, которые не являются абелевыми многообразиями.
• Маркизио, Марина Розанна (1998). «Абелевы поверхности и произведения эллиптических кривых». Bollettino dell'unione Matematica Italiana . 1-Б (2): 407–427.

Гербы на комплексных торах

• Бен-Бассат, Орен (2012). «Гербес и голоморфная группа Брауэра комплексных торов». Журнал некоммутативной геометрии . 6 (3): 407–455. arXiv : 0811.2746 . doi : 10.4171/JNCG/96. S2CID  15049025.- Распространяет идею использования чередующихся форм на решетке на построение гербов на сложном торе. ${\displaystyle {\text{Alt}}^{3}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$
• Блок, Джонатан; Дэнзер, Колдер (2008). «Двойственность Мукаи для гербов со связью». Журнал Крелле . arXiv : 0803.1529v2 .- включает примеры гербов на сложных торах
• Бен-Бассат, Орен (2013). «Эквивариантные гербы на комплексных торах». Журнал геометрии и физики . 64 : 209–221. arXiv : 1102.2312 . Бибкод : 2013JGP....64..209B. doi :10.1016/j.geomphys.2012.10.012. S2CID  119599648.
• Фельдер, Джованни; Энрикес, Андре; Росси, Карло А.; Чжу, Чэнчан (2008). «Герб для эллиптической гамма-функции». Математический журнал Дьюка . 141 . arXiv : math/0601337 . дои : 10.1215/S0012-7094-08-14111-0. S2CID  817920.- может быть распространено на комплексные торы

P-адические торы

• p-адические абелевы интегралы: от теории к практике