Комплексная мера

Измерение с помощью комплексных значений

В математике , в частности в теории меры , комплексная мера обобщает концепцию меры , позволяя ей иметь комплексные значения. ^[1] Другими словами, допускает множества , размер которых (длина, площадь, объем) является комплексным числом .

Определение

Формально комплексная мера на измеримом пространстве — это комплекснозначная функция ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }$

то есть сигма-аддитивно . Другими словами, для любой последовательности непересекающихся множеств, принадлежащих , имеем ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\in \mathbb {C} .}$

Что касается любой перестановки ( биекции ) , то отсюда следует, что сходится безусловно (следовательно, поскольку является конечномерным, сходится абсолютно ). ${\displaystyle \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{\sigma (n)}}$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mu }$

Интеграция по комплексной мере

Можно определить интеграл комплекснозначной измеримой функции по комплексной мере таким же образом, как интеграл Лебега действительнозначной измеримой функции по неотрицательной мере , приближая измеримую функцию простыми функциями . ^[2] Так же, как и в случае обычного интегрирования, этот более общий интеграл может не существовать, или его значение может быть бесконечным ( комплексная бесконечность ).

Другой подход заключается в том, чтобы не разрабатывать теорию интегрирования с нуля, а использовать уже имеющуюся концепцию интеграла действительной функции относительно неотрицательной меры. ^[3] Для этого достаточно быстро проверить, что действительная и мнимая части μ ₁ и μ ₂ комплексной меры μ являются конечнозначными знаковыми мерами . Можно применить разложение Хана-Жордана к этим мерам, чтобы разделить их как

${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}}$

и

${\displaystyle \mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}}$

где μ ₁ ⁺ , μ ₁ ⁻ , μ ₂ ⁺ , μ ₂ ^{− —} конечнозначные неотрицательные меры (которые являются уникальными в некотором смысле). Тогда для измеримой функции f , которая в данный момент имеет действительное значение , можно определить

${\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{-}\right)+i\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{-}\right)}$

до тех пор, пока выражение в правой части определено, то есть все четыре интеграла существуют и при их сложении не возникает неопределенность ∞−∞. ^[3]

Теперь, если дана комплекснозначная измеримая функция, можно интегрировать ее действительные и мнимые компоненты по отдельности, как показано выше, и определить, как и ожидалось,

${\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\int _{X}\!\Re (f)\,d\mu +i\int _{X}\!\Im (f)\,d\mu .}$

Вариация комплексной меры и полярное разложение

Для комплексной меры μ определяется ее вариация , или абсолютное значение , |μ| по формуле

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }|\mu (A_{n})|}$

где A принадлежит Σ, а супремум пробегает все последовательности непересекающихся множеств ( A _n ) _n , объединение которых равно A. Рассматривая только конечные разбиения множества A на измеримые подмножества , получаем эквивалентное определение.

Оказывается, что |μ| — неотрицательная конечная мера. Точно так же, как комплексное число может быть представлено в полярной форме , для комплексной меры существует полярное разложение : существует измеримая функция θ с действительными значениями, такая, что

${\displaystyle d\mu =e^{i\theta }d|\mu |,}$

значение

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fe^{i\theta }\,d|\mu |}$

для любой абсолютно интегрируемой измеримой функции f , т.е. f удовлетворяющей

${\displaystyle \int _{X}|f|\,d|\mu |<\infty .}$

Можно использовать теорему Радона–Никодима для доказательства того, что вариация является мерой, и существования полярного разложения .

Пространство комплексных мер

Сумма двух комплексных мер является комплексной мерой, как и произведение комплексной меры на комплексное число. То есть множество всех комплексных мер на пространстве мер ( X , Σ) образует векторное пространство над комплексными числами. Более того, полная вариация определяется как ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)\,}$

— норма , относительно которой пространство комплексных мер является банаховым пространством .

Смотрите также

• Теорема о представлении Рисса
• Подписанная мера
• Векторная мера

Ссылки

1. Тао, Теренс (2011-09-14). Введение в теорию меры. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-6919-2.
2. Тао, Теренс (2011-09-14). Введение в теорию меры. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-6919-2.
3. Taylor, Michael Eugene (2006). Теория меры и интегрирование. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4180-8.

Дальнейшее чтение

• Фолланд, Джеральд Б. (1999). Действительный анализ. Современные методы и их приложения . Чистая и прикладная математика (Второе издание оригинального издания 1984 года). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-31716-0. MR  1681462. Zbl  0924.28001.
• Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ (Третье издание оригинального издания 1966 года). Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co. ISBN 0-07-054234-1. MR  0924157. Zbl  0925.00005.

Внешние ссылки

• Комплексная мера на MathWorld