Симметричные компоненты

В электротехнике метод симметричных компонентов упрощает анализ неуравновешенных трехфазных систем электропитания как в нормальных, так и в ненормальных условиях. Основная идея заключается в том, что асимметричный набор из N векторов может быть выражен как линейная комбинация N симметричных наборов векторов с помощью комплексного линейного преобразования . ^[1] Теорема Фортескью (симметричные компоненты) основана на принципе суперпозиции , ^{[2] поэтому она}применима только к линейным системам электропитания или к линейным приближениям нелинейных систем электропитания.

В наиболее распространенном случае трехфазных систем результирующие «симметричные» компоненты называются прямыми (или положительными ), обратными (или отрицательными ) и нулевыми (или униполярными ). Анализ энергосистемы намного проще в области симметричных компонентов, поскольку результирующие уравнения взаимно линейно независимы, если сама цепь сбалансирована . ^[3]

Описание

В 1918 году Чарльз Легейт Фортескью представил статью ^[4] , в которой было показано, что любой набор из N несбалансированных векторов (то есть любой такой полифазный сигнал) может быть выражен как сумма N симметричных наборов сбалансированных векторов, для значений N, которые являются простыми числами. Векторами представлена только одна частотная составляющая.

В 1943 году Эдит Кларк опубликовала учебник, в котором был представлен метод использования симметричных компонентов для трехфазных систем, что значительно упростило вычисления по сравнению с оригинальной статьей Фортескью. ^[5] В трехфазной системе один набор векторов имеет ту же последовательность фаз , что и исследуемая система (положительная последовательность; скажем, ABC), второй набор имеет обратную последовательность фаз (отрицательная последовательность; ACB), а в третьем наборе векторы A, B и C находятся в фазе друг с другом ( нулевая последовательность , синфазный сигнал ). По сути, этот метод преобразует три несбалансированные фазы в три независимых источника, что делает анализ асимметричных неисправностей более поддающимся обработке.

Расширяя однолинейную схему для отображения сопротивлений положительной, отрицательной и нулевой последовательности генераторов , трансформаторов и других устройств, включая воздушные линии и кабели , анализ таких неуравновешенных состояний, как короткое замыкание одной линии на землю, значительно упрощается. Метод также может быть распространен на системы фаз более высокого порядка.

Физически, в трехфазной системе, набор токов положительной последовательности создает нормальное вращающееся поле, набор отрицательной последовательности создает поле с противоположным вращением, а набор нулевой последовательности создает поле, которое колеблется, но не вращается между фазными обмотками. Поскольку эти эффекты могут быть обнаружены физически с помощью фильтров последовательности, математический инструмент стал основой для проектирования защитных реле , которые использовали напряжения и токи отрицательной последовательности в качестве надежного индикатора состояний неисправности. Такие реле могут использоваться для отключения автоматических выключателей или принятия других мер для защиты электрических систем.

Аналитический метод был принят и развит инженерами General Electric и Westinghouse , а после Второй мировой войны он стал общепринятым методом анализа асимметричных неисправностей.

Как показано на рисунке справа выше, три набора симметричных компонентов (положительная, отрицательная и нулевая последовательность) складываются, чтобы создать систему из трех несбалансированных фаз, как показано в нижней части диаграммы. Дисбаланс между фазами возникает из-за разницы в величине и сдвиге фаз между наборами векторов. Обратите внимание, что цвета (красный, синий и желтый) отдельных векторов последовательности соответствуют трем различным фазам (например, A, B и C). Чтобы получить окончательный график, вычисляется сумма векторов каждой фазы. Этот результирующий вектор является эффективным представлением фазора этой конкретной фазы. Этот процесс, повторяясь, создает фазор для каждой из трех фаз.

Трехфазный случай

Симметричные компоненты чаще всего используются для анализа трехфазных электроэнергетических систем . Напряжение или ток трехфазной системы в некоторой точке могут быть обозначены тремя векторами, называемыми тремя компонентами напряжения или тока.

В этой статье обсуждается напряжение; однако те же соображения применимы и к току. В идеально сбалансированной трехфазной системе питания компоненты вектора напряжения имеют равные величины, но отстоят друг от друга на 120 градусов. В несбалансированной системе величины и фазы компонентов вектора напряжения различны.

Разложение компонентов фазора напряжения на набор симметричных компонентов помогает анализировать систему, а также визуализировать любые дисбалансы. Если три компонента напряжения выражены как фазоры (которые являются комплексными числами), можно сформировать комплексный вектор, в котором три фазных компонента являются компонентами вектора. Вектор для трехфазных компонентов напряжения можно записать как

\mathbf {v} _{abc}={\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}

и разложение вектора на три симметричных компонента дает

{\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{a,0}\\V_{b,0}\\V_{c,0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,1}\\V_{b,1}\\V_{c,1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,2}\\V_{b,2}\\V_{c,2}\end{bmatrix}}

где индексы 0, 1 и 2 относятся соответственно к нулевой, положительной и отрицательной компонентам последовательности. Компоненты последовательности отличаются только фазовыми углами, которые симметричны и поэтому составляют радианы или 120°. $\scriptstyle {\frac {2}{3}}\пи$

Матрица

Определим оператор вращения фазора , который поворачивает вектор фазора против часовой стрелки на 120 градусов при умножении на него: $\альфа$

\альфа \эквивалент e^{{\frac {2}{3}}\пи i}

Обратите внимание, что так что . $\альфа ^{3}=1$ $\альфа ^{-1}=\альфа ^{2}$

Компоненты нулевой последовательности имеют одинаковую величину и находятся в фазе друг с другом, поэтому:

V_{0}\equiv V_{a,0}=V_{b,0}=V_{c,0}

и другие компоненты последовательности имеют одинаковую величину, но их фазовые углы отличаются на 120°. Если исходный несбалансированный набор векторов напряжения имеет положительную или abc фазовую последовательность, то:

{\begin{aligned}V_{1}&\equiv V_{a,1}=\alpha V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{c,1}\end{aligned}}

{\begin{aligned}V_{2}&\equiv V_{a,2}=\alpha ^{2}V_{b,2}=\alpha V_{c,2}\end{aligned}}

это означает, что

{\begin{aligned}V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{1}\end{aligned}}

{\begin{aligned}V_{c,1}=\alpha V_{1}\end{aligned}}

{\begin{aligned}V_{b,2}=\alpha V_{2}\end{aligned}}

{\begin{aligned}V_{c,2}=\alpha ^{2}V_{2}\end{aligned}}

Таким образом,

{\begin{aligned}\mathbf {v} _{abc}&={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{0}\\V_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{1}\\\alpha ^{2}V_{1}\\\alpha V_{1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{2}\\\alpha V_{2}\\\alpha ^{2}V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\textbf {A}}\mathbf {v} _{012}\end{aligned}}

где

\mathbf {v} _{012}={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}},{\textbf {A}}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}

Если вместо этого исходный несбалансированный набор векторов напряжения имеет отрицательную или обратную последовательность фаз, то аналогичным образом можно вывести следующую матрицу:

{\textbf {A}}_{acb}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}

Разложение

Компоненты последовательности выводятся из уравнения анализа

\mathbf {v} _{012}={\textbf {A}}^{-1}\mathbf {v} _{abc}

где

{\textbf {A}}^{-1}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}

Приведенные выше два уравнения показывают, как вывести симметричные компоненты, соответствующие асимметричному набору из трех векторов:

Последовательность 0 представляет собой одну треть суммы исходных трех векторов.
Последовательность 1 представляет собой одну треть суммы исходных трех векторов, повернутых против часовой стрелки на 0°, 120° и 240°.
Последовательность 2 представляет собой одну треть суммы исходных трех векторов, повернутых против часовой стрелки на 0°, 240° и 120°.

Визуально, если исходные компоненты симметричны, то последовательности 0 и 2 будут образовывать треугольник, сумма которых будет равна нулю, а компоненты последовательности 1 будут образовывать прямую линию.

Интуиция

Векторы образуют замкнутый треугольник (например, внешние напряжения или линейные напряжения). Чтобы найти синхронные и обратные компоненты фаз, возьмите любую сторону внешнего треугольника и нарисуйте два возможных равносторонних треугольника, разделяющих выбранную сторону в качестве основания. Эти два равносторонних треугольника представляют синхронную и обратную системы. $\scriptstyle V_{(ab)}=V_{(a)}-V_{(b)};\;V_{(bc)}=V_{(b)}-V_{(c)};\;V_{(ca)}=V_{(c)}-V_{(a)}$

Если бы фазоры V были идеально синхронной системой, вершина внешнего треугольника, не лежащая на базовой линии, находилась бы в том же положении, что и соответствующая вершина равностороннего треугольника, представляющего синхронную систему. Любое количество обратной компоненты означало бы отклонение от этого положения. Отклонение равно точно 3-кратному значению обратной фазовой компоненты.

Синхронный компонент таким же образом в 3 раза больше отклонения от «обратного равностороннего треугольника». Направления этих компонентов верны для соответствующей фазы. Кажется нелогичным, что это работает для всех трех фаз независимо от выбранной стороны, но в этом и заключается прелесть этой иллюстрации. Графика взята из теоремы Наполеона , которая соответствует графическому методу расчета, который иногда встречается в старых справочниках. ^[6]

Полифазный корпус

Видно, что матрица преобразования A выше является матрицей DFT , и, таким образом, симметричные компоненты могут быть рассчитаны для любой полифазной системы.

Вклад гармоник в симметричные составляющие в трехфазных энергосистемах

Гармоники часто возникают в энергосистемах как следствие нелинейных нагрузок. Каждый порядок гармоник вносит вклад в различные компоненты последовательности. Основная гармоника и гармоники порядка вносят вклад в компонент положительной последовательности. Гармоники порядка вносят вклад в отрицательную последовательность. Гармоники порядка вносят вклад в нулевую последовательность. $\scriptstyle 3n+1$ $\scriptstyle 3n-1$ $\scriptstyle 3n$

Обратите внимание, что приведенные выше правила применимы только в том случае, если значения фаз (или искажения) в каждой фазе абсолютно одинаковы. Обратите внимание также, что четные гармоники не являются обычным явлением в энергосистемах.

Последствия нулевой последовательности в энергосистемах

Нулевая последовательность представляет собой компонент несбалансированных векторов, который равен по величине и фазе. Поскольку они находятся в фазе, токи нулевой последовательности, протекающие через n-фазную сеть, будут суммироваться в n раз больше величины отдельных компонентов токов нулевой последовательности. В нормальных рабочих условиях эта сумма достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь. Однако во время крупных событий нулевой последовательности, таких как удары молнии, эта ненулевая сумма токов может привести к большему току, протекающему через нейтральный проводник, чем через отдельные фазные проводники. Поскольку нейтральные проводники обычно не больше отдельных фазных проводников и часто меньше этих проводников, большая компонента нулевой последовательности может привести к перегреву нейтральных проводников и пожарам.

Одним из способов предотвращения больших токов нулевой последовательности является использование соединения треугольником, которое выглядит как разомкнутая цепь для токов нулевой последовательности. По этой причине большая часть передачи и много субпередачи реализованы с использованием треугольника. Большая часть распределения также реализована с использованием треугольника, хотя распределительные системы "старой работы" иногда были "соединены звездой" (преобразованы из треугольника в звезду ), чтобы увеличить пропускную способность линии при низкой преобразованной стоимости, но за счет более высокой стоимости защитного реле центральной станции.

Смотрите также

Ссылки

Примечания

^ Хаджсаид, Нуредин; Сабоннадьер, Жан-Клод (2013). Энергетические системы и реструктуризация. Джон Уайли и сыновья. п. 244. ИСБН 9781118599921.
^ Матис, Вольфганг; Паули, Райнер (1999). Теоремы сетей. Библиотека Wiley Online. doi :10.1002/047134608X.W2507. ISBN 047134608X. […] результаты Фортескью […] доказаны теоремой о суперпозиции, и по этой причине прямое обобщение на нелинейные сети невозможно.
^ Блэкберн, Дж. Льюис (1993-06-07). Симметричные компоненты для проектирования энергосистем (1-е изд.). Нью-Йорк: CRC Press. ISBN 978-0-8247-8767-7.
^ Charles L. Fortescue, "Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks". Представлено на 34-м ежегодном съезде AIEE (Американского института инженеров-электриков) в Атлантик-Сити, штат Нью-Джерси, 28 июня 1918 г. Опубликовано в: AIEE Transactions , т. 37, часть II, страницы 1027–1140 (1918). Краткую историю ранних лет теории симметричных компонентов см. в: J. Lewis Blackburn, Symmetrical Components for Power Engineering (Boca Raton, Florida: CRC Press, 1993), страницы 3–4.
^ Габриэле Касс-Симон, Патрисия Фарнс, Дебора Нэш (редактор), Женщины науки: исправление рекорда , Indiana University Press, 1993, ISBN 0253208130 . страницы 164-168
^ Вагнер, К. Ф.; Эванс, Р. Д. (1933). Симметричные компоненты . Нью-Йорк и Лондон: McGraw Hill. стр. 265.

Библиография

Дж. Льюис Блэкберн Симметричные компоненты для проектирования энергосистем , Марсель Деккер, Нью-Йорк (1993). ISBN 0-8247-8767-6
Уильям Д. Стивенсон-младший. Элементы анализа энергосистемы. Третье издание . McGraw-Hill , Нью-Йорк (1975). ISBN 0-07-061285-4 .
Историческая статья из IEEE о ранней разработке симметричных компонентов, получена 12 мая 2005 г.
Westinghouse Corporation, Applied Protective Relaying , 1976, Westinghouse Corporation, без ISBN, карточка Библиотеки Конгресса № 76-8060 - стандартный справочник по электромеханическим защитным реле