Конгруэнтность (общая теория относительности)

В общей теории относительности конгруэнция (точнее, конгруэнция кривых ) — это набор интегральных кривых (нигде не обращающегося в нуль) векторного поля в четырехмерном лоренцевом многообразии , которое физически интерпретируется как модель пространства-времени . Часто это многообразие будет считаться точным или приближенным решением уравнения поля Эйнштейна .

Типы конгруэнтностей

Конгруэнции, порожденные нигде не исчезающими времениподобными, нулевыми или пространственноподобными векторными полями, называются времениподобными , нулевыми или пространственноподобными соответственно.

Конгруэнция называется геодезической конгруэнцией , если она допускает касательное векторное поле с нулевой ковариантной производной , . ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}=0}$

Связь с векторными полями

Интегральные кривые векторного поля представляют собой семейство непересекающихся параметризованных кривых, заполняющих пространство-время. Конгруэнтность состоит из самих кривых, без ссылки на конкретную параметризацию. Многие различные векторные поля могут порождать одну и ту же конгруэнтность кривых, поскольку если — нигде не обращающаяся в нуль скалярная функция, то и порождают одну и ту же конгруэнтность. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle {\vec {Y}}=\,f\,{\vec {X}}}$

Однако в лоренцевом многообразии у нас есть метрический тензор , который выбирает предпочтительное векторное поле среди векторных полей, которые всюду параллельны данному времениподобному или пространственноподобному векторному полю, а именно поле касательных векторов к кривым. Это соответственно времениподобные или пространственноподобные единичные векторные поля.

Физическая интерпретация

В общей теории относительности времениподобная конгруэнтность в четырехмерном лоренцевом многообразии может быть интерпретирована как семейство мировых линий определенных идеальных наблюдателей в нашем пространстве-времени. В частности, времениподобная геодезическая конгруэнтность может быть интерпретирована как семейство свободно падающих пробных частиц .

Нулевые конгруэнции также важны, особенно нулевые геодезические конгруэнции , которые можно интерпретировать как семейство свободно распространяющихся световых лучей.

Предупреждение: мировая линия импульса света, движущегося по оптоволоконному кабелю, в общем случае не будет нулевой геодезической, а свет в очень ранней Вселенной ( эпоха доминирования излучения ) не распространялся свободно. Мировая линия импульса радара, посланного с Земли мимо Солнца на Венеру, однако, будет смоделирована как нулевая геодезическая дуга. В измерениях, отличных от четырех, связь между нулевыми геодезическими и «светом» больше не сохраняется: если «свет» определяется как решение волнового уравнения Лапласа , то пропагатор имеет как нулевые, так и временные компоненты в нечетных измерениях пространства-времени и больше не является чистой дельта-функцией Дирака в четных измерениях пространства-времени, больших четырех.

Кинематическое описание

Описание взаимного движения тестовых частиц в нулевой геодезической конгруэнции в пространстве-времени, таком как вакуум Шварцшильда или пыль FRW, является очень важной проблемой в общей теории относительности. Она решается путем определения определенных кинематических величин , которые полностью описывают, как интегральные кривые в конгруэнции могут сходиться (расходиться) или закручиваться друг вокруг друга.

Следует подчеркнуть, что кинематическое разложение, которое мы собираемся описать, является чистой математикой, справедливой для любого лоренцева многообразия. Однако физическая интерпретация в терминах пробных частиц и приливных ускорений (для времениподобных геодезических конгруэнций) или пучков световых лучей (для нулевых геодезических конгруэнций) справедлива только для общей теории относительности (подобные интерпретации могут быть справедливы в тесно связанных теориях).

Кинематическое разложение времениподобной конгруэнтности

Рассмотрим времяподобную конгруэнтность, сгенерированную некоторым времениподобным единичным векторным полем X, которое мы должны рассматривать как линейный частный дифференциальный оператор первого порядка. Тогда компоненты нашего векторного поля теперь являются скалярными функциями, заданными в тензорной нотации путем записи , где f — произвольная гладкая функция. Вектор ускорения является ковариантной производной ; мы можем записать его компоненты в тензорной нотации как: ${\displaystyle {\vec {X}}f=f_{,a}\,X^{a}}$ ${\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {X}}^{a}={X^{a}}_{;b}X^{b}}$

Далее, обратите внимание, что уравнение:

${\displaystyle \left({\dot {X}}^{a}\,X_{b}+{X^{a}}_{;b}\right)\,X^{b}={X^{a}}_{;b}\,X^{b}-{\dot {X}}^{a}=0}$

означает, что член в скобках слева является поперечной частью . Это соотношение ортогональности выполняется только тогда, когда X является времениподобным единичным вектором лоренцева многообразия. Оно не выполняется в более общей ситуации. Запишите: ${\displaystyle {X^{a}}_{;b}}$

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

для проекционного тензора , который проецирует тензоры в их поперечные части; например, поперечная часть вектора — это часть, ортогональная . Этот тензор можно рассматривать как метрический тензор гиперповерхности, касательные векторы которой ортогональны X. Таким образом, мы показали, что : ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{m;n}}$

Далее разложим его на симметричную и антисимметричную части:

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}=\theta _{ab}+\omega _{ab}}$

Здесь:

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

известны как тензор расширения и тензор вихря соответственно.

Поскольку эти тензоры находятся в элементах пространственной гиперплоскости, ортогональных к , мы можем думать о них как о трехмерных тензорах второго ранга. Это можно выразить более строго, используя понятие производной Ферми . Следовательно, мы можем разложить тензор расширения на его бесследовую часть плюс следовую часть . Записывая след как , мы имеем: ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{ab}=\sigma _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

Поскольку тензор вихреобразования антисимметричен, его диагональные компоненты исчезают, поэтому он автоматически становится бесследовым (и мы можем заменить его трехмерным вектором , хотя мы этого делать не будем). Таким образом, теперь мы имеем:

${\displaystyle X_{a;b}=\sigma _{ab}+\omega _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

Это и есть искомое кинематическое разложение . В случае времениподобной геодезической конгруэнтности последний член тождественно равен нулю.

Скаляр расширения, тензор сдвига ( ) и тензор вихря времениподобной геодезической конгруэнции имеют следующий интуитивный смысл: ${\displaystyle \sigma _{ab}}$

1. Скаляр расширения представляет собой дробную скорость, с которой объем небольшого изначально сферического облака тестовых частиц изменяется по отношению к собственному времени частицы в центре облака,
2. Тензор сдвига отражает любую тенденцию исходной сферы деформироваться в эллипсоидальную форму,
3. Тензор вихря отражает любую тенденцию исходной сферы к вращению; вихрь исчезает тогда и только тогда, когда мировые линии в конгруэнции всюду ортогональны пространственным гиперповерхностям в некотором расслоении пространства-времени, и в этом случае для подходящей координатной карты каждый гиперсрез можно рассматривать как поверхность «постоянного времени».

Для обоснования этих утверждений см. приведенные ниже цитаты и ссылки.

Кривизна и временные конгруэнтности

По тождеству Риччи (которое часто используется как определение тензора Римана ) мы можем записать:

${\displaystyle X_{a;bn}-X_{a;nb}=R_{ambn}\,X^{m}}$

Подставляя кинематическое разложение в левую часть, мы можем установить связи между тензором кривизны и кинематическим поведением времениподобных конгруэнций (геодезических или нет). Эти связи можно использовать двумя способами, оба из которых очень важны:

1. Мы можем (в принципе) экспериментально определить тензор кривизны пространства-времени из подробных наблюдений кинематического поведения любой времениподобной конгруэнтности (геодезической или нет),
2. Мы можем получить уравнения эволюции для частей кинематического разложения (скаляр расширения, тензор сдвига и тензор вихря ), которые демонстрируют прямую связь кривизны .

В знаменитом лозунге Джона Арчибальда Уиллера :

Пространство-время говорит материи, как двигаться; материя говорит пространству-времени, как искривляться.

Теперь мы видим, как точно количественно оценить первую часть этого утверждения; уравнение поля Эйнштейна количественно оценивает вторую часть.

В частности, согласно разложению Бела тензора Римана, взятому относительно нашего времениподобного единичного векторного поля, электрогравитационный тензор (или приливной тензор ) определяется как:

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

Тождество Риччи теперь дает:

${\displaystyle \left(X_{a:bn}-X_{a:nb}\right)\,X^{n}=E[{\vec {X}}]_{ab}}$

Подставляя кинематическое разложение, мы в конечном итоге можем получить:

${\displaystyle {\begin{aligned}E[{\vec {X}}]_{ab}&={\frac {2}{3}}\,\theta \,\sigma _{ab}-\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}-\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\\&-{\frac {1}{3}}\left({\dot {\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{3}}\right)\,h_{ab}-{h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}\,\left({\dot {\sigma }}_{mn}-{\dot {X}}_{(m;n)}\right)-{\dot {X}}_{a}\,{\dot {X}}_{b}\\\end{aligned}}}$

Здесь точки над точками обозначают дифференциацию по собственному времени , отсчитываемому вдоль нашей времениподобной конгруэнции (т.е. мы берем ковариантную производную по векторному полю X). Это можно рассматривать как описание того, как можно определить приливной тензор из наблюдений одной времениподобной конгруэнции.

Уравнения эволюции

В этом разделе мы обратимся к проблеме получения уравнений эволюции (также называемых уравнениями распространения или формулами распространения ).

Вектор ускорения удобно записать как и также положить: ${\displaystyle {\dot {X}}^{a}=W^{a}}$

${\displaystyle J_{ab}=X_{a:b}={\frac {\theta }{3}}\,h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

Теперь из тождества Риччи для приливного тензора имеем:

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=J_{an;b}\,X^{n}-E[{\vec {X}}]_{ab}}$

Но:

${\displaystyle \left(J_{an}\,X^{n}\right)_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{an}\,{X^{n}}_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{am}\,{J^{m}}_{b}}$

итак, имеем:

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-J_{am}\,{J^{m}}_{b}-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+W_{a;b}}$

Подставляя определение и взяв соответственно диагональную часть, бесследовую симметричную часть и антисимметричную часть этого уравнения, мы получаем искомые уравнения эволюции для скаляра расширения, тензора сдвига и тензора завихренности. ${\displaystyle J_{ab}}$

Рассмотрим сначала более простой случай, когда вектор ускорения равен нулю. Тогда (заметив, что тензор проекции может быть использован для понижения индексов чисто пространственных величин), имеем:

${\displaystyle J_{am}\,{J^{m}}_{b}={\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}+{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

или

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-{\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}-{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}}$

С помощью элементарной линейной алгебры легко проверить, что если — соответственно трехмерные симметричные и антисимметричные линейные операторы, то симметрично, а антисимметрично, поэтому, понижая индекс, соответствующие комбинации в скобках выше становятся симметричными и антисимметричными соответственно. Поэтому, взяв след, получаем уравнение Райчаудхури (для времениподобных геодезических): ${\displaystyle \Sigma ,\Omega }$ ${\displaystyle \Sigma ^{2}+\Omega ^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma \,\Omega +\Omega \,\Sigma }$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega ^{2}-\sigma ^{2}-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}$

Взяв бесследовую симметричную часть, получаем:

${\displaystyle {\dot {\sigma }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\sigma _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+{\frac {\sigma ^{2}-\omega ^{2}+{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}{3}}\,h_{ab}}$

и взяв антисимметричную часть, получаем:

${\displaystyle {\dot {\omega }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\omega _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

Здесь:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

являются квадратичными инвариантами, которые никогда не бывают отрицательными, так что являются вполне определенными действительными инвариантами. След приливного тензора также можно записать: ${\displaystyle \sigma ,\omega }$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

Иногда его называют скаляром Райчаудхури ; само собой разумеется, что он тождественно исчезает в случае вакуумного решения .

Смотрите также

• конгруэнтность (многообразия)
• расширение скаляра
• тензор расширения
• тензор сдвига
• тензор вихреобразования
• Уравнение Райчаудхури

Ссылки

• Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста: Математика механики черных дыр . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Bibcode :2004rtmb.book.....P. ISBN 978-0-521-83091-1.См. главу 2 для превосходного и подробного введения в геодезические конгруэнции. Обсуждение Пуассоном нулевых геодезических конгруэнций особенно ценно.
• Кэрролл, Шон М. (2004). Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности . Сан-Франциско: Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8732-2.См. приложение F для хорошего элементарного обсуждения геодезических конгруэнций. (Обозначения Кэрролла несколько нестандартны. ^{[ требуется ссылка ]} )
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малкольм; Хоенселаерс, Корнелиус; Херлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46136-8.Подробное введение во времениподобные и нулевые конгруэнтности см . в главе 6.
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-87033-5.Кинематика времениподобных геодезических конгруэнций описана в разделе 9.2 .
• Хокинг, Стивен; Эллис, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09906-6.Кинематика времениподобных и нулевых конгруэнций описана в разделе 4.1 .
• Дасгупта, Анирван; Нандан, Хемвати; Кар, Саян (2009). «Кинематика потоков в искривленных деформируемых средах». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 6 (4): 645–666. arXiv : 0804.4089 . Bibcode : 2009IJGMM..06..645D. doi : 10.1142/S0219887809003746. S2CID  115154964.Подробное введение в кинематику геодезических потоков на конкретных двумерных криволинейных поверхностях (а именно, сфере, гиперболическом пространстве и торе) см. в разделе.