В общей теории относительности конгруэнция (точнее, конгруэнция кривых ) — это набор интегральных кривых (никуда не исчезающего) векторного поля в четырехмерном лоренцевом многообразии , которое физически интерпретируется как модель пространства-времени . Часто это многообразие рассматривается как точное или приближенное решение уравнения поля Эйнштейна .
Сравнения, порожденные никуда не исчезающими времениподобными, нулевыми или пространственноподобными векторными полями, называются времениподобными , нулевыми или пространственноподобными соответственно.
Конгруэнция называется геодезической конгруэнцией , если она допускает касательное векторное поле с нулевой ковариантной производной , .
Интегральные кривые векторного поля представляют собой семейство непересекающихся параметризованных кривых, заполняющих пространство-время. Конгруэнтность состоит из самих кривых, без привязки к конкретной параметризации. Многие различные векторные поля могут порождать одно и то же сравнение кривых, поскольку если — никуда не исчезающая скалярная функция, то и порождают одно и то же сравнение.
Однако в лоренцевом многообразии мы имеем метрический тензор , который выбирает предпочтительное векторное поле среди векторных полей, всюду параллельных данному времениподобному или пространственноподобному векторному полю, а именно поле касательных векторов к кривым. Это соответственно времениподобные или пространственноподобные поля единичных векторов.
В общей теории относительности времяподобное сравнение в четырехмерном лоренцевом многообразии можно интерпретировать как семейство мировых линий некоторых идеальных наблюдателей в нашем пространстве-времени. В частности, времяподобную геодезическую конгруэнтность можно интерпретировать как семейство свободно падающих пробных частиц .
Нулевые конгруэнции также важны, особенно нулевые геодезические конгруэнции , которые можно интерпретировать как семейство свободно распространяющихся световых лучей.
Предупреждение: мировая линия импульса света, движущегося по оптоволоконному кабелю, в целом не будет нулевой геодезической, и свет в очень ранней Вселенной ( эпоха доминирования излучения ) не распространялся свободно. Однако мировая линия радиолокационного импульса, посылаемого с Земли мимо Солнца на Венеру, будет моделироваться как нулевая геодезическая дуга. В измерениях, отличных от четырех, связь между нулевой геодезической и «светом» больше не сохраняется: если «свет» определяется как решение волнового уравнения Лапласа , то пропагатор имеет как нулевые, так и времяподобные компоненты в нечетном пространстве-времени. измерений и больше не является чистой дельта-функцией Дирака даже в измерениях пространства-времени, превышающих четыре.
Описание взаимного движения пробных частиц в нулевой геодезической конгруэнции в пространстве-времени, таком как вакуум Шварцшильда или пыль FRW, является очень важной проблемой общей теории относительности. Она решается путем определения определенных кинематических величин , которые полностью описывают, как интегральные кривые в конгруэнции могут сходиться (расходиться) или закручиваться друг вокруг друга.
Следует подчеркнуть, что кинематическое разложение, которое мы собираемся описать, представляет собой чистую математику, справедливую для любого лоренцева многообразия. Однако физическая интерпретация в терминах пробных частиц и приливных ускорений (для времениподобных геодезических конгруэнций) или пучков световых лучей (для нулевых геодезических конгруэнций) справедлива только для общей теории относительности (аналогичные интерпретации могут быть справедливы и в тесно связанных теориях).
Рассмотрим времяподобное сравнение, порожденное некоторым времениподобным единичным векторным полем X, которое мы должны рассматривать как линейный оператор в частных производных первого порядка. Тогда компоненты нашего векторного поля теперь являются скалярными функциями, заданными в тензорной записи записью , где f — произвольная гладкая функция. Вектор ускорения является ковариантной производной ; мы можем записать его компоненты в тензорной записи как:
Далее заметим, что уравнение:
означает, что термин в скобках слева является поперечной частью . Это соотношение ортогональности выполняется только тогда, когда X является времениподобным единичным вектором лоренцева многообразия . В более общей ситуации это не справедливо. Писать:
для проекционного тензора , проецирующего тензоры на их поперечные части; например, поперечная часть вектора — это часть , ортогональная . Этот тензор можно рассматривать как метрический тензор гиперповерхности, касательные векторы которой ортогональны X. Таким образом, мы показали, что:
Далее мы разложим это на симметричную и антисимметричную части:
Здесь:
известны как тензор расширения и тензор завихренности соответственно.
Поскольку эти тензоры живут в элементах пространственной гиперплоскости, ортогональных , мы можем думать о них как о трехмерных тензорах второго ранга. Более строго это можно выразить, используя понятие производной Ферми . Следовательно, мы можем разложить тензор разложения на его безследовую часть плюс следовую часть . Записав трассировку как , мы имеем:
Поскольку тензор завихренности антисимметричен, его диагональные компоненты равны нулю, поэтому он автоматически бесследен (и мы можем заменить его трехмерным вектором , хотя мы не будем этого делать). Таким образом, теперь мы имеем:
Это и есть искомое кинематическое разложение . В случае времениподобного геодезического сравнения последний член тождественно обращается в нуль.
Скаляр разложения, тензор сдвига ( ) и тензор завихренности времениподобной геодезической конгруэнции имеют следующий интуитивный смысл:
См. цитаты и ссылки ниже для обоснования этих утверждений.
По тождеству Риччи (которое часто используется в качестве определения тензора Римана ) можно написать:
Подставив кинематическое разложение в левую часть, мы можем установить связь между тензором кривизны и кинематическим поведением времениподобных конгруэнций (геодезических или нет). Эти отношения можно использовать двумя способами, оба очень важны:
В знаменитом лозунге Джона Арчибальда Уиллера :
Пространство-время сообщает материи, как двигаться; материя сообщает пространству-времени, как искривляться.
Теперь мы видим, как точно оценить первую часть этого утверждения; уравнение поля Эйнштейна дает количественную оценку второй части.
В частности, согласно разложению Бела тензора Римана, взятого относительно нашего времениподобного единичного векторного поля, электрогравитационный тензор (или приливный тензор ) определяется как:
Тождество Риччи теперь дает:
Подставив кинематическую декомпозицию, мы в конечном итоге можем получить:
Здесь лишние точки обозначают дифференцирование по собственному времени , отсчитываемому вдоль нашего времениподобного сравнения (т.е. мы берем ковариантную производную по векторному полю X). Это можно рассматривать как описание того, как можно определить приливный тензор по наблюдениям одной времениподобной конгруэнтности.
В этом разделе мы обратимся к проблеме получения уравнений эволюции (также называемых уравнениями распространения или формулами распространения ).
Вектор ускорения будет удобно записать как и также положить:
Теперь из тождества Риччи для приливного тензора имеем:
Но:
итак у нас есть:
Подставляя определение и взяв соответственно диагональную, бесследовую симметричную и антисимметричную части этого уравнения, мы получаем искомые эволюционные уравнения для скаляра расширения, тензора сдвига и тензора завихренности.
Рассмотрим сначала более простой случай, когда вектор ускорения обращается в нуль. Тогда (замечая, что тензор проекции можно использовать для понижения индексов чисто пространственных величин), мы имеем:
или
С помощью элементарной линейной алгебры легко проверить, что если это трехмерные симметричные и антисимметричные линейные операторы соответственно, то они симметричны, а антисимметричны, поэтому, понижая индекс, соответствующие комбинации в скобках выше становятся симметричными и антисимметричными соответственно. Следовательно, прослеживание дает уравнение Райчаудхури (для времениподобных геодезических):
Взятие бесследовой симметричной части дает:
и взятие антисимметричной части дает:
Здесь:
являются квадратичными инвариантами, которые никогда не бывают отрицательными, поэтому являются четко определенными действительными инвариантами. След приливного тензора также можно записать:
Иногда его называют скаляром Райчаудхури ; разумеется, оно тождественно исчезает и в случае вакуумного раствора .