Конечная геометрия

Конечная геометрия — это любая геометрическая система, которая имеет только конечное число точек . Знакомая евклидова геометрия не является конечной, поскольку евклидова прямая содержит бесконечно много точек. Геометрия, основанная на графике, отображаемой на экране компьютера, где пиксели считаются точками, была бы конечной геометрией. Хотя существует много систем, которые можно было бы назвать конечными геометриями, внимание в основном уделяется конечным проективным и аффинным пространствам из-за их регулярности и простоты. Другими значимыми типами конечной геометрии являются конечные плоскости Мёбиуса или инверсные плоскости и плоскости Лагерра , которые являются примерами общего типа, называемого плоскостями Бенца , и их более многомерные аналоги, такие как высшие конечные инверсные геометрии .

Конечные геометрии могут быть построены с помощью линейной алгебры , начиная с векторных пространств над конечным полем ; аффинные и проективные плоскости, построенные таким образом, называются геометриями Галуа . Конечные геометрии также могут быть определены чисто аксиоматически. Наиболее распространенными конечными геометриями являются геометрии Галуа, поскольку любое конечное проективное пространство размерности три или больше изоморфно проективному пространству над конечным полем (то есть проективизация векторного пространства над конечным полем). Однако размерность два имеет аффинные и проективные плоскости, которые не изоморфны геометриям Галуа, а именно недезарговы плоскости . Аналогичные результаты справедливы для других видов конечных геометрий.

Конечные плоскости

Следующие замечания применимы только к конечным плоскостям . Существует два основных вида геометрии конечных плоскостей: аффинная и проективная . В аффинной плоскости применяется обычный смысл параллельных прямых. В проективной плоскости , напротив, любые две прямые пересекаются в единственной точке, поэтому параллельных прямых не существует. Как конечная аффинная геометрия плоскостей, так и конечная проективная геометрия плоскостей могут быть описаны довольно простыми аксиомами .

Конечные аффинные плоскости

Аффинная плоская геометрия — это непустое множество X (элементы которого называются «точками»), а также непустой набор L подмножеств X (элементы которого называются «линиями»), такие, что:

Для каждых двух различных точек существует ровно одна линия, содержащая обе точки.
Аксиома Плейфера : Для данной прямой и точки, не лежащей на ней , существует ровно одна прямая, содержащая такую, что $\ell$ $p$ $\ell$ $\ell '$ $p$ $\ell \cap \ell '=\varnothing .$
Существует множество из четырех точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой.

Последняя аксиома гарантирует, что геометрия не является тривиальной ( пустой или слишком простой, чтобы представлять интерес, например, одна линия с произвольным числом точек на ней), в то время как первые две определяют природу геометрии.

Простейшая аффинная плоскость содержит всего четыре точки; она называется аффинной плоскостью порядка 2. (Порядок аффинной плоскости — это количество точек на любой прямой, см. ниже.) Поскольку никакие три не лежат на одной прямой, любая пара точек определяет уникальную прямую, и поэтому эта плоскость содержит шесть прямых. Она соответствует тетраэдру, где непересекающиеся ребра считаются «параллельными», или квадрату, где не только противоположные стороны, но и диагонали считаются «параллельными».

Аффинная плоскость порядка 3 известна как конфигурация Гессе .

^В более общем случае конечная аффинная плоскость порядка n имеет n2 ^точек и n2 + n прямых; каждая прямая содержит n точек, и каждая точка находится на n + 1 прямой.

Конечные проективные плоскости

Проективная плоская геометрия — это непустое множество X (элементы которого называются «точками»), а также непустой набор L подмножеств X (элементы которого называются «прямыми»), такие, что:

Для каждых двух различных точек существует ровно одна линия, содержащая обе точки.
Пересечение любых двух различных линий содержит ровно одну точку.
Существует множество из четырех точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой.

Рассмотрение первых двух аксиом показывает, что они почти идентичны, за исключением того, что роли точек и прямых поменялись местами. Это предполагает принцип двойственности для геометрий проективных плоскостей, означающий, что любое истинное утверждение, действительное во всех этих геометриях, остается верным, если мы меняем точки на прямые, а прямые на точки. Наименьшая геометрия, удовлетворяющая всем трем аксиомам, содержит семь точек. В этой простейшей из проективных плоскостей также есть семь прямых; каждая точка находится на трех прямых, и каждая прямая содержит три точки.

Эту конкретную проективную плоскость иногда называют плоскостью Фано . Если удалить любую из прямых из плоскости вместе с точками на этой прямой, то полученная геометрия будет аффинной плоскостью порядка 2. Плоскость Фано называется проективной плоскостью порядка 2, потому что она уникальна (с точностью до изоморфизма). В общем случае проективная плоскость порядка n имеет n ² + n + 1 точек и то же количество прямых; каждая прямая содержит n + 1 точек, и каждая точка находится на n + 1 прямой.

Перестановка семи точек плоскости Фано, которая переводит коллинеарные точки (точки на одной прямой) в коллинеарные точки, называется коллинеацией плоскости. Полная группа коллинеаций имеет порядок 168 и изоморфна группе PSL(2,7) ≈ PSL(3,2), которая в этом частном случае также изоморфна общей линейной группе GL(3,2) ≈ PGL(3,2) .

Заказ самолетов

Конечная плоскость порядка n — это такая, что каждая линия имеет n точек (для аффинной плоскости), или такая, что каждая линия имеет n + 1 точек (для проективной плоскости). Один из основных открытых вопросов в конечной геометрии:

Всегда ли порядок конечной плоскости равен степени простого числа?

Предполагается, что это правда.

Аффинные и проективные плоскости порядка n существуют всякий раз, когда n является степенью простого числа ( простое число, возведенное в положительную целую степень ), с помощью аффинных и проективных плоскостей над конечным полем с n = p ^k элементами. Плоскости, не полученные из конечных полей, также существуют (например, для ), но все известные примеры имеют порядок степени простого числа. ^[1] $n=9$

Лучшим общим результатом на сегодняшний день является теорема Брука–Райзера 1949 года, которая гласит:

Если n — положительное целое число вида 4k + 1 или 4k + 2 и n не равно сумме двух целых квадратов , то n не встречается как порядок конечной плоскости.

Наименьшее целое число, которое не является степенью простого числа и не покрывается теоремой Брука–Райзера, равно 10; 10 имеет вид 4 k + 2 , но оно равно сумме квадратов 1 ² + 3 ² . Несуществование конечной плоскости порядка 10 было доказано в компьютерном доказательстве , которое было завершено в 1989 году – подробности см. в (Lam 1991).

Следующее наименьшее число, которое следует рассмотреть, — 12, для которого не было доказано ни положительного, ни отрицательного результата.

История

Отдельные примеры можно найти в трудах Томаса Пенингтона Киркмана (1847) и в систематическом развитии конечной проективной геометрии, данном фон Штаудтом (1856).

Первая аксиоматическая трактовка конечной проективной геометрии была разработана итальянским математиком Джино Фано . В своей работе ^[2] по доказательству независимости множества аксиом для проективного n -пространства , которое он разработал, ^[3] он рассмотрел конечное трехмерное пространство с 15 точками, 35 прямыми и 15 плоскостями (см. диаграмму), в котором каждая прямая имела только три точки. ^[4]

В 1906 году Освальд Веблен и У. Х. Бусси описали проективную геометрию , используя однородные координаты с элементами из поля Галуа GF( q ). Когда используются n + 1 координаты, n -мерная конечная геометрия обозначается PG( n, q ). ^[5] Она возникает в синтетической геометрии и имеет связанную с ней группу преобразований .

Конечные пространства 3 и более измерений

Для некоторых важных различий между конечной плоской геометрией и геометрией многомерных конечных пространств см. аксиоматическое проективное пространство . Для обсуждения многомерных конечных пространств в целом см., например, работы JWP Hirschfeld . Изучение этих многомерных пространств ( n ≥ 3 ) имеет много важных приложений в передовых математических теориях.

Аксиоматическое определение

Проективное пространство S можно определить аксиоматически как множество P (множество точек) вместе с множеством L подмножеств P (множество прямых), удовлетворяющих следующим аксиомам: ^[6]

Каждые две различные точки p и q находятся ровно на одной прямой.
Аксиома Веблена: [ ^7] Если a , b , c , d — различные точки и прямые, проходящие через ab и cd, пересекаются, то же самое происходит и с прямыми, проходящим через ac и bd .
На любой линии есть как минимум 3 точки.

Последняя аксиома устраняет сводимые случаи, которые могут быть записаны как несвязное объединение проективных пространств вместе с 2-точечными прямыми, соединяющими любые две точки в различных проективных пространствах. Более абстрактно, ее можно определить как структуру инцидентности ( P , L , I ), состоящую из множества точек P , множества прямых L и отношения инцидентности I, устанавливающего, какие точки лежат на каких прямых.

Для получения конечного проективного пространства требуется еще одна аксиома:

Множество точек P является конечным множеством.

В любом конечном проективном пространстве каждая линия содержит одинаковое число точек, а порядок пространства определяется как число, на единицу меньшее этого общего числа.

Подпространство проективного пространства — это подмножество X , такое, что любая линия, содержащая две точки X, является подмножеством X (то есть полностью содержится в X ). Полное пространство и пустое пространство всегда являются подпространствами.

Геометрическая размерность пространства называется равной n, если это наибольшее число, для которого существует строго возрастающая цепочка подпространств такого вида:

\varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots \subset X_{n}=P.

Алгебраическая конструкция

Стандартная алгебраическая конструкция систем удовлетворяет этим аксиомам. Для деления D построим ( n + 1) -мерное векторное пространство над D (размерность векторного пространства — это число элементов в базисе). Пусть P — одномерное (с одним генератором) подпространство, а L — двумерное (с двумя независимыми генераторами) подпространство (замкнутое относительно сложения векторов) этого векторного пространства. Инцидентность — это включение. Если D конечно, то оно должно быть конечным полем GF( q ), поскольку по малой теореме Веддерберна все конечные деления являются полями. В этом случае эта конструкция дает конечное проективное пространство. Более того, если геометрическая размерность проективного пространства не менее трех, то существует деление, из которого пространство можно построить таким образом. Следовательно, все конечные проективные пространства геометрической размерности не менее трех определены над конечными полями. Конечное проективное пространство, определенное над таким конечным полем, имеет q + 1 точек на прямой, поэтому два понятия порядка совпадают. Такое конечное проективное пространство обозначается как PG( n , q ) , где PG обозначает проективную геометрию, n — геометрическая размерность геометрии, а q — размер (порядок) конечного поля, используемого для построения геометрии.

В общем случае число k -мерных подпространств PG( n , q ) определяется произведением: ^[8]

{{n+1} \choose {k+1}}_{q}=\prod _{i=0}^{k}{\frac {q^{n+1-i}-1}{q^{i+1}-1}},

который является гауссовым биномиальным коэффициентом , q- аналогом биномиального коэффициента .

Классификация конечных проективных пространств по геометрической размерности

Измерение 0 (нет линий): Пространство представляет собой одну точку и настолько вырождено, что его обычно игнорируют.
Измерение 1 (ровно одна прямая): Все точки лежат на единственной прямой, называемой проективной прямой .
Измерение 2: Существует по крайней мере 2 прямые, и любые две прямые пересекаются. Проективное пространство для n = 2 является проективной плоскостью . Их гораздо сложнее классифицировать, так как не все из них изоморфны PG( d , q ) . Дезарговы плоскости (те, которые изоморфны PG(2, q ) ) удовлетворяют теореме Дезарга и являются проективными плоскостями над конечными полями, но существует много недезарговых плоскостей .
Размерность не менее 3: существуют две непересекающиеся прямые. Теорема Веблена–Янга утверждает в конечном случае, что каждое проективное пространство геометрической размерности n ≥ 3 изоморфно PG( n , q ) , n -мерному проективному пространству над некоторым конечным полем GF( q ).

Наименьшее проективное трехмерное пространство

Наименьшее 3-мерное проективное пространство находится над полем GF(2) и обозначается PG(3,2) . Оно имеет 15 точек, 35 прямых и 15 плоскостей. Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 прямых. Каждая прямая содержит 3 точки. Как геометрии, эти плоскости изоморфны плоскости Фано .

Квадратная модель Фано 3-х пространственный

Каждая точка содержится в 7 прямых. Каждая пара различных точек содержится ровно в одной прямой, и каждая пара различных плоскостей пересекается ровно в одной прямой.

В 1892 году Джино Фано был первым, кто рассмотрел такую конечную геометрию.

Проблема школьницы Киркмана

PG(3,2) возникает как фон для решения проблемы школьниц Киркмана , которая гласит: «Пятнадцать школьниц гуляют каждый день пятью группами по три человека. Организуйте прогулку девочек на неделю так, чтобы за это время каждая пара девочек гуляла вместе в группе только один раз». Существует 35 различных комбинаций для прогулок девочек вместе. Также есть 7 дней недели и 3 девочки в каждой группе. Два из семи неизоморфных решений этой задачи можно сформулировать в терминах структур в 3-пространстве Фано, PG(3,2), известных как упаковки . Разброс проективного пространства — это разбиение его точек на непересекающиеся прямые, а упаковка — это разбиение прямых на непересекающиеся разбросы. В PG(3,2) разброс будет разбиением 15 точек на 5 непересекающихся прямых (с 3 точками на каждой прямой), таким образом, соответствуя расположению школьниц в определенный день. Упаковка PG(3,2) состоит из семи непересекающихся спредов и, таким образом, соответствует полной неделе расстановок.

Смотрите также

Блочная конструкция — обобщение конечной проективной плоскости.
Дискретное пространство
Конечное пространство
Обобщенный многоугольник
Геометрия падения
Линейное пространство (геометрия)
Рядом с полигоном
Частичная геометрия
Полярное пространство

Примечания

^ Лейвин, Чарльз Ф.; Маллен, Гэри Л. (1998-09-17). Дискретная математика с использованием латинских квадратов. John Wiley & Sons. ISBN 9780471240648.
^ Фано, Г. (1892), "Sui postulati Fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche , 30 : 106–132.
^ Коллино, Конте и Верра 2013, с. 6
^ Конечные геометрии Малкевича? Избранная колонка AMS
^ Освальд Веблен (1906) Конечные проективные геометрии, Труды Американского математического общества 7: 241–59
^ Beutelspacher & Rosenbaum 1998, стр. 6–7.
^ также упоминается как аксиома Веблена–Юнга и ошибочно как аксиома Паша (Beutelspacher & Rosenbaum 1998, стр. 6–7). Паш интересовался реальным проективным пространством и пытался ввести порядок, который не является задачей аксиомы Веблена–Юнга.
^ Дембовски 1968, стр. 28, где формула задается в терминах размерности векторного пространства как N _{k +1} ( n + 1, q ) .

Ссылки

Баттен, Линн Маргарет (1997), Комбинаторика конечных геометрий , Cambridge University Press, ISBN 0521590140
Бойтельспахер, Альбрехт; Розенбаум, Уте (1998), Проективная геометрия: от основ к приложениям , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48364-3, г-н 1629468
Коллино, Альберто; Конте, Альберто; Верра, Алессандро (2013). «О жизни и научной деятельности Джино Фано». arXiv : 1311,7177 [math.HO].
Дембовский, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, МР 0233275
Ивс, Говард (1963), Обзор геометрии: Том первый , Бостон: Allyn and Bacon Inc.
Холл, Маршалл (1943), «Проективные плоскости», Труды Американского математического общества , 54 (2), Американское математическое общество: 229–277, doi : 10.2307/1990331 , ISSN 0002-9947, JSTOR 1990331, MR 0008892
Лэм, CWH (1991), «Поиск конечной проективной плоскости порядка 10», American Mathematical Monthly , 98 (4): 305–318, doi :10.2307/2323798, JSTOR 2323798

Malkevitch, Joe. "Конечные геометрии?" . Получено 2 декабря 2013 г.
Месерв, Брюс Э. (1983), Фундаментальные концепции геометрии , Нью-Йорк: Dover Publications
Польстер, Буркард (1999). «Да, зачем пробовать ее сырую мокрую шляпу: Экскурсия по наименьшему проективному пространству». The Mathematical Intelligencer . 21 (2): 38–43. doi :10.1007/BF03024845. S2CID 122352568.
Сегре, Беньямино (1960), О геометрии Галуа (PDF) , Нью-Йорк: Cambridge University Press, стр. 488–499, архивировано из оригинала (PDF) 2015-03-30 , извлечено 2015-07-02

Шульт, Эрнест Э. (2011), Точки и линии , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4, ISBN 978-3-642-15626-7

Болл, Симеон (2015), Конечная геометрия и комбинаторные приложения, Студенческие тексты Лондонского математического общества, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-1107518438.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. "Конечная геометрия". MathWorld .
Геометрия инцидентности Эрика Мурхауса
Алгебраическая комбинаторная геометрия Теренса Тао
Эссе о конечной геометрии Майкла Гринберга
Конечная геометрия (Скрипт)
Ресурсы по конечной геометрии Архивировано 27.09.2011 на Wayback Machine
JWP Hirschfeld, исследователь конечных геометрий
- Книги Хиршфельда по конечной геометрии
Колонка AMS: Конечные геометрии?
Геометрия Галуа и обобщенные многоугольники, интенсивный курс в 1998 г.
Карнахан, Скотт (27.10.2007), «Малые конечные множества», Secret Blogging Seminar , заметки о докладе Жана-Пьера Серра о канонических геометрических свойствах малых конечных множеств.{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
«Задача 31: Задача Киркмана о школьницах» на Wayback Machine (архив 17 августа 2010 г.)
Проективная плоскость порядка 12 на MathOverflow.