Конечная мера

В теории мер , разделе математики , конечная мера или полностью конечная мера ^[1] — это специальная мера , которая всегда принимает конечные значения. Среди конечных мер есть вероятностные меры . Конечные меры часто проще в обращении, чем более общие меры, и они демонстрируют множество различных свойств в зависимости от множеств , на которых они определены.

Определение

Мера на измеримом пространстве называется конечной мерой, если она удовлетворяет ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

${\displaystyle \mu (X)<\infty .}$

По монотонности мер это означает

${\displaystyle \mu (A)<\infty {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}.}$

Если — конечная мера, то пространство меры называется пространством с конечной мерой или пространством с полностью конечной мерой . ^[1] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$

Характеристики

Общий случай

Для любого измеримого пространства конечные меры образуют выпуклый конус в банаховом пространстве знаковых мер с полной нормой вариации . Важными подмножествами конечных мер являются субвероятностные меры, которые образуют выпуклое подмножество , и вероятностные меры, которые являются пересечением единичной сферы в нормированном пространстве знаковых мер и конечных мер.

Топологические пространства

Если является хаусдорфовым пространством и содержит борелевскую алгебру , то каждая конечная мера является также локально конечной борелевской мерой . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Метрические пространства

Если — метрическое пространство и — снова Борелевская -алгебра, то можно определить слабую сходимость мер . Соответствующая топология называется слабой топологией и является исходной топологией всех ограниченных непрерывных функций на . Слабая топология соответствует слабой* топологии в функциональном анализе. Если также является сепарабельным , то слабая сходимость метризуется метрикой Леви–Прохорова . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Польские пространства

Если — польское пространство , а — борелевская алгебра, то каждая конечная мера является регулярной мерой и, следовательно, мерой Радона . ^[3] Если — польское пространство, то множество всех конечных мер со слабой топологией также является польским. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$

Ссылки

1. Аносов, ДВ (2001) [1994], "Измерение пространства", Энциклопедия математики , EMS Press
2. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. С. 252. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
3. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. С. 248. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
4. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Т. 77. Швейцария: Springer. С. 112. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.