Степень расширения поля

В математике , а точнее в теории поля , степень расширения поля является грубой мерой «размера» расширения поля . Это понятие играет важную роль во многих разделах математики, включая алгебру и теорию чисел , да и вообще в любой области, где поля занимают видное место.

Определение и обозначения

Предположим, что E / F — расширение поля . Тогда E можно рассматривать как векторное пространство над F (полем скаляров). Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения поля и обозначается [ E : F ].

Степень может быть конечной или бесконечной, причем поле называется соответственно конечным расширением или бесконечным расширением . Расширение E / F также иногда называют просто конечным , если оно является конечным расширением; это не следует путать с тем, что сами поля являются конечными полями (полями с конечным числом элементов).

Эту степень не следует путать со степенью трансцендентности поля; например, поле Q ( X ) рациональных функций имеет бесконечную степень над Q , но степень трансцендентности равна только 1.

Формула мультипликативности для степеней

Учитывая три поля, расположенные в башне , скажем, K — подполе L , которое, в свою очередь, является подполем M , существует простое соотношение между степенями трех расширений L / K , M / L и M / K :

[M:K]=[M:L]\cdot [L:K].

Другими словами, степень, идущая от «нижнего» поля к «верхнему», представляет собой просто произведение степеней, идущих от «низа» к «середине», а затем от «середины» к «верху». Это вполне аналогично теореме Лагранжа в теории групп , которая связывает порядок группы с порядком и индексом подгруппы — действительно, теория Галуа показывает, что эта аналогия — нечто большее, чем просто совпадение.

Формула справедлива как для расширений конечной, так и для бесконечной степени. В бесконечном случае произведение интерпретируется в смысле произведения кардинальных чисел . В частности, это означает, что если M / K конечно, то и M / L , и L / K конечны.

Если M / K конечно, то формула накладывает строгие ограничения на типы полей, которые могут возникнуть между M и K , посредством простых арифметических соображений. Например, если степень [ M : K ] является простым числом p , то для любого промежуточного поля L может произойти одно из двух: либо [ M : L ] = p и [ L : K ] = 1, в котором случай L равен K или [ M : L ] = 1 и [ L : K ] = p , и в этом случае L равен M . Поэтому промежуточных полей (кроме самих М и К ) нет .

Доказательство формулы мультипликативности в конечном случае.

Предположим, что K , L и M образуют башню полей, как в приведенной выше формуле степени, и что оба d = [ L : K ] и e = [ M : L ] конечны. Это означает, что мы можем выбрать базис { u ₁ , ..., u _d } для L над K и базис { w ₁ , ..., w _e } для M над L . Мы покажем, что элементы _um w n _, для m в пределах 1, 2,..., d и n в пределах 1, 2, ..., e , образуют основу для M / K ; поскольку их ровно de , это доказывает, что размерность M / K равна de , что и является искомым результатом.

Сначала мы проверяем, что они охватывают M / K . Если x — любой элемент M , то, поскольку w _n образуют базис M над L , мы можем найти элементы a _n в L такие, что

x=\sum _{n=1}^{e}a_{n}w_{n}=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{e}w_{e}.

Тогда, поскольку _umобразуют базис L над K , мы можем найти элементы bm _,_n в K такие, что _для каждого n

a_{n}=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}=b_{1,n}u_{1}+\cdots +b_{d,n }u_{d}.

Тогда, используя дистрибутивный закон и ассоциативность умножения в M , имеем

x=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}= \sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}),

который показывает, что _x является линейной комбинацией um w n _с коэффициентами из K ; другими словами, они охватывают M над K.

Во-вторых , мы должны проверить, что они линейно независимы над K. Итак, предположим, что

0=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n})

для некоторых коэффициентов b _{m , n} в K . Снова используя дистрибутивность и ассоциативность, мы можем сгруппировать термины как

{\ displaystyle 0 = \ sum _ {n = 1} ^ {e} \ left (\ sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m} \ right) w_ {n}, }

и мы видим , что члены в круглых скобках должны быть равны нулю, поскольку они являются элементами L , а w _n линейно независимы над L. То есть,

0=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}

для каждого н . Тогда, поскольку коэффициенты bm _,_n находятся в K , а um линейно независимы над K , _мы должны иметь, что _bm , _n₌₀ для всех m и всех n . Это показывает _, что элементы um w _n линейно независимы над K . На этом доказательство завершается.

Доказательство формулы в бесконечном случае

В этом случае мы начинаем с базисов _uαи wβ из L / K и M / L соответственно , где α берется из набора индексов A , а _β из набора индексов B. Используя аргумент, полностью аналогичный приведенному выше, мы находим, что произведения u _αw _β образуют базис для M / K . Они индексируются декартовым произведением A × B , мощность которого по определению равна произведению мощностей A и B.

Примеры

Комплексные числа являются расширением поля действительных чисел степени [ C : R ] = 2, и поэтому между ними нет нетривиальных полей .
Расширение поля Q ( √ 2 , √ 3 ), полученное присоединением √ 2 и √ 3 к полю Q рациональных чисел , имеет степень 4, то есть [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ] = 4. Промежуточное поле Q ( √ 2 ) имеет степень 2 над Q ; из формулы мультипликативности заключаем, что [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ( √ 2 )] = 4/2 = 2.
Конечное поле (поле Галуа) GF (125) = GF (5 ³ ) имеет степень 3 над своим подполем GF (5). В более общем смысле, если p — простое число и n , m — положительные целые числа, где ⁿ делит m , то [ GF ( pm ): GF ( p ⁿ )] = m / n .
Расширение поля C ( T )/ C , где C ( T ) — поле рациональных функций над C , имеет бесконечную степень (действительно, это чисто трансцендентное расширение). В этом можно убедиться , заметив, что элементы 1, T , T2 ^и т. д. линейно независимы над C.
Расширение поля C ( T2 ) ^также имеет бесконечную степень над C. Однако если мы рассматриваем C ( T2 ) как подполе C ( T ), то на самом деле [ C ( T ): C ( T2 ⁾ ] = 2. В более общем смысле, если X и Y ^— алгебраические кривые над полем K и F : X → Y — сюръективный морфизм между ними степени d , то функциональные поля K ( X ) и K ( Y ) оба имеют бесконечную степень над K , но степень [ K ( X ): K ( Y )] оказывается равным d .

Обобщение

Учитывая два тела E и F , где F содержится в E , а умножение и сложение F являются ограничением операций в E , мы можем рассматривать E как векторное пространство над F двумя способами: если скаляры действуют слева, давая размерность [ E : F ] _l и заставляя их действовать справа, давая размерность [ E : F ] _r . Эти два измерения не обязательно должны совпадать. Однако оба измерения удовлетворяют формуле умножения для башен разделительных колец; приведенное выше доказательство применимо к скалярам левого действия без изменений.