Точечно-конечная коллекция

Топологическая концепция для совокупностей множеств

В математике совокупность или семейство подмножеств топологического пространства называется точечно-конечным, если каждая точка принадлежит только конечному числу членов ^{[1] [2]} ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Метакомпактное пространство — это топологическое пространство, в котором каждое открытое покрытие допускает точечно-конечное открытое измельчение . Каждое локально конечное множество подмножеств топологического пространства также является точечно-конечным. Топологическое пространство, в котором каждое открытое покрытие допускает локально-конечное открытое измельчение, называется паракомпактным пространством . Каждое паракомпактное пространство, следовательно, является метакомпактным. ^[2]

Теорема Дьедонне

Поскольку паракомпактное (хаусдорфово) пространство является нормальным, следующая теорема применима, в частности, к паракомпактному пространству.

Теорема  —  ^[3] Пусть будет нормальным пространством . Тогда каждое точечно-конечное открытое покрытие имеет сужение; то есть, если — открытое покрытие, индексированное множеством , то существует открытое покрытие, индексированное тем же множеством, такое что для каждого . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{i}\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{V_{i}\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\overline {V_{i}}}\subset U_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

Ссылки

1. Уиллард 2004, стр. 145–152.
2. Willard, Stephen (2012), Общая топология, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 145–152, ISBN 9780486131788, OCLC  829161886.
3. Дьедонне 1994, Теорема 6.Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFDieudonné1994 ( справка )

• Дьедонне, Жан (1944), «Обобщение компактных пространств», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 23 : 65–76, ISSN  0021-7824, MR  0013297
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• Уиллард, Стивен (2012) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Courier Dover Publications . ISBN 9780486131788. OCLC  829161886.

В данной статье использованы материалы из Point Finite на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .