Степень расширения поля

Размерность поля расширения, рассматриваемого как векторное пространство над базовым полем

В математике , а точнее в теории поля , степень расширения поля является грубой мерой «размера» расширения поля . Эта концепция играет важную роль во многих разделах математики, включая алгебру и теорию чисел — фактически в любой области, где поля играют заметную роль.

Определение и обозначения

Предположим, что E / F — это расширение поля . Тогда E можно рассматривать как векторное пространство над F (полем скаляров). Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения поля и обозначается [ E : F ].

Степень может быть конечной или бесконечной, поле называется конечным расширением или бесконечным расширением соответственно. Расширение E / F также иногда называют просто конечным, если оно является конечным расширением; это не следует путать с тем, что сами поля являются конечными полями (полями с конечным числом элементов).

Степень не следует путать со степенью трансцендентности поля; например, поле Q ( X ) рациональных функций имеет бесконечную степень над Q , но степень трансцендентности равна только 1.

Формула мультипликативности для степеней

Если три поля расположены в башне , скажем, K — подполе L , которое, в свою очередь, является подполем M , то существует простое соотношение между степенями трех расширений L / K , M / L и M / K :

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

Другими словами, степень, идущая от «низшего» к «верхнему» полю, есть просто произведение степеней, идущих от «низшего» к «среднему», а затем от «среднего» к «верхнему». Это вполне аналогично теореме Лагранжа в теории групп , которая связывает порядок группы с порядком и индексом подгруппы — действительно, теория Галуа показывает, что эта аналогия — больше, чем просто совпадение.

Формула справедлива как для конечных, так и для бесконечных расширений степени. В бесконечном случае произведение интерпретируется в смысле произведений кардинальных чисел . В частности, это означает, что если M / K конечно, то и M / L , и L / K конечны.

Если M / K конечно, то формула накладывает строгие ограничения на виды полей, которые могут встречаться между M и K , посредством простых арифметических соображений. Например, если степень [ M : K ] является простым числом p , то для любого промежуточного поля L может произойти одно из двух: либо [ M : L ] = p и [ L : K ] = 1, в этом случае L равно K , либо [ M : L ] = 1 и [ L : K ] = p , в этом случае L равно M. Следовательно, промежуточных полей нет (кроме самих M и K ).

Доказательство формулы мультипликативности в конечном случае

Предположим, что K , L и M образуют башню полей, как в приведенной выше формуле степени, и что d = [ L : K ] и e = [ M : L ] конечны. Это означает, что мы можем выбрать базис { u ₁ , ..., u _d } для L над K и базис { w ₁ , ..., w _e } для M над L . Мы покажем, что элементы u _m w _n , для m, изменяющегося через 1, 2, ..., d и n, изменяющегося через 1, 2, ..., e , образуют базис для M / K ; поскольку их ровно de , это доказывает, что размерность M / K равна de , что и является желаемым результатом.

Сначала мы проверяем, что они охватывают M / K. Если x — любой элемент M , то, поскольку w _n образуют базис для M над L , мы можем найти элементы a _n в L такие, что

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}a_{n}w_{n}=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{e}w_{e}.}$

Тогда, поскольку u _m образуют базис для L над K , мы можем найти элементы b _{m , n} в K такие, что для каждого n ,

${\displaystyle a_{n}=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}=b_{1,n}u_{1}+\cdots +b_{d,n}u_{d}.}$

Тогда, используя распределительный закон и ассоциативность умножения в M, имеем

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}),}$

что показывает, что x является линейной комбинацией u m _w n _с коэффициентами из K ; другими словами, они охватывают M по K .

Во-вторых, мы должны проверить, что они линейно независимы над K. Итак, предположим, что

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n})}$

для некоторых коэффициентов b _{m , n} в K . Используя дистрибутивность и ассоциативность снова, мы можем сгруппировать члены как

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n},}$

и мы видим, что члены в скобках должны быть равны нулю, поскольку они являются элементами L , а w _n линейно независимы над L. То есть,

${\displaystyle 0=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}}$

для каждого n . Тогда, поскольку коэффициенты b _{m , n} находятся в K , а u _m линейно независимы над K , мы должны иметь, что b _{m , n} = 0 для всех m и всех n . Это показывает, что элементы u _m w _n линейно независимы над K . Это завершает доказательство.

Доказательство формулы в бесконечном случае

В этом случае мы начинаем с базисов u _α и w _β L / K и M / L соответственно, где α берется из индексного множества A , а β — из индексного множества B. Используя совершенно аналогичный аргумент, как и выше, мы обнаруживаем, что произведения u _α w _β образуют базис для M / K. Они индексируются декартовым произведением A × B , которое по определению имеет мощность, равную произведению мощностей A и B.

Примеры

• Комплексные числа являются расширением поля над действительными числами со степенью [ C : R ] = 2, и, таким образом, между ними нет нетривиальных полей .
• Расширение поля Q ( √ 2 , √ 3 ), полученное присоединением √ 2 и √ 3 к полю Q рациональных чисел , имеет степень 4, то есть [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ] = 4. Промежуточное поле Q ( √ 2 ) имеет степень 2 над Q ; из формулы мультипликативности заключаем, что [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ( √ 2 )] = 4/2 = 2.
• Конечное поле (поле Галуа) GF (125) = GF (5 ³ ) имеет степень 3 над своим подполем GF (5). В более общем случае, если p — простое число, а n , m — положительные целые числа, причем n делит m , то [ GF ( p ^m ): GF ( p ⁿ )] = m / n .
• Расширение поля C ( T )/ C , где C ( T ) — поле рациональных функций над C , имеет бесконечную степень (на самом деле это чисто трансцендентное расширение). Это можно увидеть, заметив, что элементы 1, T , T ² и т. д. линейно независимы над C .
• Расширение поля C ( T ² ) также имеет бесконечную степень над C . Однако, если мы рассматриваем C ( T ² ) как подполе C ( T ), то на самом деле [ C ( T ): C ( T ² )] = 2. В более общем случае, если X и Y являются алгебраическими кривыми над полем K , а F  : X → Y является сюръективным морфизмом между ними степени d , то поля функций K ( X ) и K ( Y ) оба имеют бесконечную степень над K , но степень [ K ( X ): K ( Y )] оказывается равной d .

Обобщение

Если даны два деления E и F, причем F содержится в E , а умножение и сложение F являются ограничением операций в E , мы можем рассматривать E как векторное пространство над F двумя способами: имея скаляры, действующие слева, что дает размерность [ E : F ] _l , и имея их, действующие справа, что дает размерность [ E : F ] _r . Два измерения не обязательно должны совпадать. Однако оба измерения удовлетворяют формуле умножения для башен делений; доказательство выше применимо к скалярам, ​​действующим слева, без изменений.

Ссылки

• стр. 215, Якобсон, Н. (1985). Основы алгебры I. WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9.Доказательство формулы мультипликативности.
• стр. 465, Якобсон, Н. (1989). Основы алгебры II . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9.Кратко обсуждается бесконечномерный случай.