stringtranslate.com

Классификация конечных простых групп

В математике классификация конечных простых групп является результатом теории групп, утверждающей, что каждая конечная простая группа является либо циклической , либо знакопеременной , либо принадлежит к широкому бесконечному классу, называемому группами типа Ли , или же является одним из двадцати шести исключений, называемых спорадическими ( группа Титса иногда рассматривается как спорадическая группа, поскольку она не является строго группой типа Ли , [1] в этом случае было бы 27 спорадических групп). Доказательство состоит из десятков тысяч страниц в нескольких сотнях журнальных статей, написанных примерно 100 авторами, опубликованных в основном между 1955 и 2004 годами.

Простые группы можно рассматривать как основные строительные блоки всех конечных групп , напоминающие то, как простые числа являются основными строительными блоками натуральных чисел (натуральные числа 0 и/или 1 не могут быть построены из простых чисел). Теорема Жордана–Гёльдера является более точным способом сформулировать этот факт о конечных группах. Однако существенное отличие от целочисленной факторизации заключается в том, что такие «строительные блоки» не обязательно определяют уникальную группу, поскольку может быть много неизоморфных групп с одинаковым композиционным рядом или, другими словами, проблема расширения не имеет единственного решения.

Дэниел Горенштейн , Ричард Лайонс и Рональд Соломон постепенно публикуют упрощенную и исправленную версию доказательства.

Формулировка теоремы классификации

Теорема  —  Каждая конечная простая группа изоморфна одной из следующих групп:

Классификация конечных простых групп

Теорема классификации имеет приложения во многих областях математики, поскольку вопросы о структуре конечных групп (и их действии на другие математические объекты) иногда можно свести к вопросам о конечных простых группах. Благодаря теореме классификации на такие вопросы иногда можно ответить, проверив каждое семейство простых групп и каждую спорадическую группу.

В 1983 году Дэниел Горенштейн объявил, что все конечные простые группы были классифицированы, но это было преждевременно, поскольку он был дезинформирован о доказательстве классификации квазитонких групп . Завершенное доказательство классификации было объявлено Ашбахером (2004) после того, как Ашбахер и Смит опубликовали 1221-страничное доказательство для отсутствующего квазитонкого случая.

Обзор доказательства теоремы классификации

Горенштейн (1982, 1983) написал два тома, в которых описал часть доказательства с низким рангом и нечетной характеристикой, а Майкл Ашбахер , Ричард Лайонс и Стивен Д. Смит и др. (2011) написали третий том, охватывающий оставшийся случай характеристики 2. Доказательство можно разбить на несколько основных частей следующим образом:

Группы небольшие 2-х ранговые

Простые группы низкого 2-го ранга в основном представляют собой группы лиева типа малого ранга над полями нечетной характеристики, а также пять знакопеременных и семь характеристических 2-го типа и девять спорадических групп.

К простым группам малых 2-х рангов относятся:

Классификация групп небольшого 2-ранга, особенно рангов не более 2, активно использует теорию обычных и модульных характеров, которая почти никогда напрямую не применяется в других частях классификации.

Все группы, не имеющие малого 2-ранга, можно разделить на два основных класса: группы компонентного типа и группы характеристического типа 2. Это связано с тем, что если группа имеет секционный 2-ранг не менее 5, то Мак-Вильямс показал, что ее силовские 2-подгруппы связаны, а теорема о балансе подразумевает, что любая простая группа со связанными силовскими 2-подгруппами имеет либо компонентный тип, либо характеристический тип 2. (Для групп низкого 2-ранга доказательство этого не работает, поскольку такие теоремы, как теорема о функторе сигнализатора, работают только для групп с элементарными абелевыми подгруппами ранга не менее 3.)

Группы типа компонента

Группа называется компонентного типа, если для некоторого централизатора C инволюции C / O ( C ) имеет компоненту (где O ( C ) — ядро ​​C , максимальная нормальная подгруппа нечетного порядка). Это более или менее группы типа Ли нечетной характеристики большого ранга и знакопеременные группы, а также некоторые спорадические группы. Важным шагом в этом случае является устранение препятствия в виде ядра инволюции. Это достигается с помощью B-теоремы , которая утверждает, что каждый компонент C / O ( C ) является образом компонента C .

Идея состоит в том, что эти группы имеют централизатор инволюции с компонентой, которая является меньшей квазипростой группой, которую можно считать уже известной по индукции. Таким образом, чтобы классифицировать эти группы, берется каждое центральное расширение каждой известной конечной простой группы и находят все простые группы с централизатором инволюции с этим компонентом. Это дает довольно большое количество различных случаев для проверки: есть не только 26 спорадических групп и 16 семейств групп типа Ли и знакопеременных групп, но также многие группы малого ранга или над малыми полями ведут себя иначе, чем в общем случае, и должны рассматриваться отдельно, а группы типа Ли четной и нечетной характеристики также совершенно различны.

Группы характеристик 2 типа

Группа имеет тип характеристики 2, если обобщенная подгруппа Фиттинга F *( Y ) каждой 2-локальной подгруппы Y является 2-группой. Как следует из названия, это примерно группы типа Ли над полями характеристики 2, плюс несколько других, которые являются чередующимися или спорадическими или нечетной характеристики. Их классификация делится на случаи малого и большого ранга, где ранг является наибольшим рангом нечетной абелевой подгруппы, нормализующей нетривиальную 2-подгруппу, которая часто (но не всегда) совпадает с рангом подалгебры Картана, когда группа является группой типа Ли в характеристике 2.

Группы ранга 1 — это тонкие группы, классифицированные Ашбахером, а группы ранга 2 — это печально известные квазитонкие группы , классифицированные Ашбахером и Смитом. Они примерно соответствуют группам типа Ли ранга 1 или 2 над полями характеристики 2.

Группы ранга не ниже 3 далее подразделяются на 3 класса теоремой о трихотомии , доказанной Ашбахером для ранга 3 и Горенштейном и Лайонсом для ранга не ниже 4. Эти три класса — это группы типа GF(2) (классифицированные в основном Тиммесфельдом), группы «стандартного типа» для некоторого нечетного простого числа (классифицированные теоремой Гилмана–Гриса и работами нескольких других) и группы типа уникальности, где результат Ашбахера подразумевает, что простых групп нет. Общий случай более высокого ранга состоит в основном из групп типа Ли над полями характеристики 2 ранга не ниже 3 или 4.

Существование и единственность простых групп

Основная часть классификации дает характеристику каждой простой группы. Затем необходимо проверить, что существует простая группа для каждой характеристики и что она уникальна. Это дает большое количество отдельных проблем; например, исходные доказательства существования и уникальности группы- монстра составили около 200 страниц, а идентификация групп Ри Томпсоном и Бомбьери была одной из самых сложных частей классификации. Многие из доказательств существования и некоторые из доказательств уникальности для спорадических групп изначально использовали компьютерные вычисления, большинство из которых с тех пор были заменены более короткими ручными доказательствами.

История доказательства

Программа Горенштейна

В 1972 году Горенштейн (1979, Приложение) объявил о программе завершения классификации конечных простых групп, состоящей из следующих 16 шагов:

  1. Группы низкого 2-ранга. Это было по сути сделано Горенштейном и Харадой, которые классифицировали группы с секционным 2-рангом не более 4. Большинство случаев 2-ранга не более 2 были рассмотрены к тому времени, когда Горенштейн объявил о своей программе.
  2. Полупростота 2-слоев. Задача состоит в том, чтобы доказать, что 2-слой централизатора инволюции в простой группе является полупростым.
  3. Стандартная форма в нечетной характеристике. Если группа имеет инволюцию с 2-компонентой, которая является группой типа Ли нечетной характеристики, цель состоит в том, чтобы показать, что она имеет централизатор инволюции в "стандартной форме", что означает, что централизатор инволюции имеет компоненту, которая имеет тип Ли в нечетной характеристике, а также имеет централизатор 2-ранга 1.
  4. Классификация групп нечетного типа. Задача состоит в том, чтобы показать, что если группа имеет централизатор инволюции в "стандартной форме", то она является группой лиева типа нечетной характеристики. Это было решено классической теоремой Ашбахера об инволюции .
  5. Квазистандартная форма
  6. Центральные инволюции
  7. Классификация чередующихся групп.
  8. Некоторые спорадические группы
  9. Тонкие группы. Простые тонкие конечные группы , имеющие 2-локальный p -ранг не более 1 для нечетных простых чисел p , были классифицированы Ашбахером в 1978 году.
  10. Группы с сильно p-вложенной подгруппой для p нечетного
  11. Метод сигнализаторного функтора для нечетных простых чисел. Основная проблема — доказать теорему сигнализаторного функтора для неразрешимых сигнализаторных функторов. Это было решено Макбрайдом в 1982 году.
  12. Группы характеристического типа p . Это проблема групп с сильно p -вложенной 2-локальной подгруппой с p нечетным, которой занимался Ашбахер.
  13. Квазитонкие группы. Квазитонкая группа — это группа, 2-локальные подгруппы которой имеют p -ранг не более 2 для всех нечетных простых чисел p , и проблема состоит в классификации простых подгрупп с характеристикой типа 2. Это было выполнено Ашбахером и Смитом в 2004 году.
  14. Группы низкого 2-локального 3-ранга. Это было по существу решено теоремой Ашбахера о трихотомии для групп с e ( G )=3. Главное изменение состоит в том, что 2-локальный 3-ранг заменяется на 2-локальный p -ранг для нечетных простых чисел.
  15. Централизаторы 3-элементов в стандартной форме. По сути, это было сделано теоремой трихотомии .
  16. Классификация простых групп типа характеристики 2. Это было сделано с помощью теоремы Гилмана–Грисса , в которой 3-элементы были заменены на p -элементы для нечетных простых чисел.

Хронология доказательства

Многие пункты в таблице ниже взяты из книги Соломона (2001). Приведенная дата обычно является датой публикации полного доказательства результата, которая иногда на несколько лет позже доказательства или первого объявления результата, поэтому некоторые пункты появляются в «неправильном» порядке.

Классификация второго поколения

Доказательство теоремы, каким оно было примерно в 1985 году, можно назвать доказательством первого поколения . Из-за чрезвычайной длины доказательства первого поколения много усилий было направлено на поиск более простого доказательства, называемого доказательством классификации второго поколения . Эти усилия, называемые «ревизионизмом», изначально возглавлял Дэниел Горенштейн .

По состоянию на 2023 год было опубликовано десять томов доказательства второго поколения (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; & Capdeboscq, 2021, 2023). В 2012 году Соломон подсчитал, что проекту понадобится еще 5 томов, но сказал, что работа над ними идет медленно. Предполагается, что новое доказательство в конечном итоге займет около 5000 страниц. (Эта длина отчасти обусловлена ​​тем, что доказательство второго поколения было написано в более расслабленном стиле.) Однако с публикацией тома 9 серии GLS и включением вклада Ашбахера–Смита эта оценка уже была достигнута, и еще несколько томов все еще находятся в стадии подготовки (остальная часть того, что изначально предназначалось для тома 9, плюс запланированные тома 10 и 11). Ашбахер и Смит написали свои два тома, посвященные квазитонкому случаю, таким образом, что эти тома могут быть частью доказательства второго поколения.

Горенштейн и его коллеги привели несколько причин, по которым возможно более простое доказательство.

Ашбахер (2004) назвал работу Ульриха Майерфранкенфельда, Бернда Штельмахера, Гернота Штрота и некоторых других над проблемой классификации программой третьего поколения . Одна из целей этого — единообразно обрабатывать все группы в характеристике 2 с использованием метода амальгамы.

Длина доказательства

Горенштейн обсудил некоторые причины, по которым может не существовать короткого доказательства классификации, аналогичной классификации компактных групп Ли .

Последствия классификации

В этом разделе перечислены некоторые результаты, которые были доказаны с использованием классификации конечных простых групп.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Бесконечное семейство групп Ри типа 2 F 4 (2 2 n +1 ) содержит только конечные группы лиева типа. Они просты при n ≥1 ; при n =0 группа 2 F 4 (2) не является простой, но содержит простой коммутант 2 F 4 (2)′ . Таким образом, если бесконечное семейство коммутантов типа 2 F 4 (2 2 n +1 )′ рассматривать как систематическое бесконечное семейство (все лиева типа, за исключением n =0 ), то группа Титса T := 2 F 4 (2)′ (как член этого бесконечного семейства) не является спорадической.

Цитаты

  1. ^ Конвей и др. (1985, стр. viii)
  2. ^ "Теорема Фейта–Томпсона полностью проверена в Coq". Msr-inria.inria.fr. 2012-09-20. Архивировано из оригинала 2016-11-19 . Получено 2012-09-25 .
  3. ^ Cameron, PJ ; Praeger, CE ; Saxl, J. ; Seitz, GM (1983). «О гипотезе Симса и транзитивных по расстоянию графах». Bull. London Math. Soc. 15 (5): 499–506. doi :10.1112/blms/15.5.499.

Ссылки

Внешние ссылки