Конечная геометрия

Геометрическая система с конечным числом точек

Конечная аффинная плоскость второго порядка, содержащая 4 «точки» и 6 «прямых». Линии одного цвета «параллельны». Центр фигуры не является «точкой» этой аффинной плоскости, поэтому две зеленые «линии» не «пересекаются».

Конечная геометрия — это любая геометрическая система, имеющая только конечное число точек . Знакомая евклидова геометрия не конечна, поскольку евклидова прямая содержит бесконечное число точек. Геометрия, основанная на графике, отображаемой на экране компьютера, где пиксели считаются точками, будет конечной геометрией. Хотя существует множество систем, которые можно было бы назвать конечными геометриями, внимание в основном уделяется конечным проективным и аффинным пространствам из-за их регулярности и простоты. Другими важными типами конечной геометрии являются конечные плоскости Мёбиуса или инверсивные плоскости и плоскости Лагерра , которые являются примерами общего типа, называемого плоскостями Бенца , и их многомерные аналоги, такие как высшие конечные инверсивные геометрии .

Конечные геометрии могут быть построены с помощью линейной алгебры , начиная с векторных пространств над конечным полем ; построенные таким образом аффинные и проективные плоскости называются геометриями Галуа . Конечные геометрии также могут быть определены чисто аксиоматически. Наиболее распространенными конечными геометриями являются геометрии Галуа, поскольку любое конечное проективное пространство размерности три или больше изоморфно проективному пространству над конечным полем (то есть проективизации векторного пространства над конечным полем). Однако в измерении два есть аффинные и проективные плоскости, которые не изоморфны геометрии Галуа, а именно недесарговы плоскости . Аналогичные результаты справедливы и для других видов конечных геометрий.

Конечные плоскости

Конечная аффинная плоскость третьего порядка, содержащая 9 точек и 12 прямых.

Следующие замечания относятся только к конечным плоскостям . Существует два основных вида геометрии конечной плоскости: аффинная и проективная . В аффинной плоскости применяется обычный смысл параллельных прямых. В проективной плоскости , напротив, любые две прямые пересекаются в единственной точке, поэтому параллельных прямых не существует. И конечная геометрия аффинной плоскости, и геометрия конечной проективной плоскости могут быть описаны довольно простыми аксиомами .

Конечные аффинные плоскости

Аффинная плоская геометрия — это непустое множество X (элементы которого называются «точками»), а также непустой набор L подмножеств X (элементы которого называются «линиями»), такие что:

1. Для каждых двух различных точек существует ровно одна прямая, содержащая обе точки.
2. Аксиома Плейфэра : Учитывая линию и точку , не лежащую на , существует ровно одна линия , содержащая такую, что ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell '}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell \cap \ell '=\varnothing .}$
3. Существует набор из четырех точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой.

Последняя аксиома гарантирует, что геометрия не является тривиальной (либо пустой , либо слишком простой, чтобы представлять интерес, например, одна линия с произвольным количеством точек на ней), в то время как первые две определяют природу геометрии.

Простейшая аффинная плоскость содержит всего четыре точки; она называется аффинной плоскостью порядка 2. (Порядок аффинной плоскости — это количество точек на любой прямой, см. ниже.) Поскольку никакие три точки не лежат на одной прямой, любая пара точек определяет единственную прямую, и поэтому эта плоскость содержит шесть строк. Это соответствует тетраэдру, где непересекающиеся ребра считаются «параллельными», или квадрату, где не только противоположные стороны, но и диагонали считаются «параллельными».

Аффинная плоскость третьего порядка известна как конфигурация Гессе .

В более общем смысле, конечная аффинная плоскость порядка n имеет n ² точек и n ² + n прямых; каждая строка содержит n точек, и каждая точка находится на n + 1 строке.

Конечные проективные плоскости

Геометрия проективной плоскости — это непустое множество X (элементы которого называются «точками»), а также непустой набор L подмножеств X (элементы которого называются «линиями»), такие что:

1. Для каждых двух различных точек существует ровно одна прямая, содержащая обе точки.
2. Пересечение любых двух различных прямых содержит ровно одну точку.
3. Существует набор из четырех точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой.

Двойственность в плоскости Фано : каждая точка соответствует линии и наоборот.

Анализ первых двух аксиом показывает, что они почти идентичны, за исключением того, что роли точек и линий поменялись местами. Это предполагает принцип двойственности проективных плоских геометрий, означающий, что любое истинное утверждение, действительное во всех этих геометриях, остается верным, если мы меняем точки на линии, а линии на точки. Наименьшая геометрия, удовлетворяющая всем трем аксиомам, содержит семь точек. В этой простейшей из проективных плоскостей также имеется семь линий; каждая точка находится на трех строках, и каждая строка содержит три точки.

Самолет Фано

Эту конкретную проективную плоскость иногда называют плоскостью Фано . Если какая-либо линия удалена из плоскости вместе с точками на этой прямой, полученная геометрия представляет собой аффинную плоскость порядка 2. Плоскость Фано называется проективной плоскостью порядка 2, поскольку она уникальна (с точностью до изоморфизма). . Вообще говоря, проективная плоскость порядка n имеет n ²  +  n  + 1 точек и такое же количество прямых; каждая строка содержит n  + 1 точку, и каждая точка находится на n  + 1 строке.

Перестановка семи точек плоскости Фано, которая переносит коллинеарные точки (точки на одной прямой) в коллинеарные точки, называется коллинеарностью плоскости. Полная группа коллинеации имеет порядок 168 и изоморфна группе PSL(2,7) ≈ PSL(3,2), которая в этом специальном случае также изоморфна общей линейной группе GL(3,2) ≈ PGL( 3,2) .

Заказ самолетов

Конечная плоскость порядка n — это такая плоскость, в которой каждая прямая имеет n точек (для аффинной плоскости), или такая, что каждая прямая имеет n + 1 точку (для проективной плоскости). Одним из основных открытых вопросов в конечной геометрии является:

Всегда ли порядок конечной плоскости является простой степенью?

Предполагается, что это правда.

Аффинные и проективные плоскости порядка n существуют всякий раз, когда n является простой степенью ( простое число , возведенное в положительный целочисленный показатель ), путем использования аффинных и проективных плоскостей над конечным полем с n = p ^k элементами. Плоскости, не производные от конечных полей, также существуют (например, для ), но все известные примеры имеют порядок простой степени. ^[1] ${\displaystyle n=9}$

Лучшим общим результатом на сегодняшний день является теорема Брука-Райзера 1949 года, которая гласит:

Если n — целое положительное число формы 4 k + 1 или 4 k + 2 и n не равно сумме двух целых квадратов , то n не встречается как порядок конечной плоскости.

Наименьшее целое число, не являющееся простой степенью и не подпадающее под действие теоремы Брука – Райзера, равно 10; 10 имеет вид 4 k + 2 , но оно равно сумме квадратов 1 ² + 3 ² . Несуществование конечной плоскости порядка 10 было доказано в ходе компьютерного доказательства , которое завершилось в 1989 году – подробности см. (Lam 1991).

Следующее наименьшее число, которое следует учитывать, — 12, для которого не доказано ни положительного, ни отрицательного результата.

История

Отдельные примеры можно найти в работах Томаса Пенингтона Киркмана (1847 г.) и систематическом развитии конечной проективной геометрии, данном фон Штаудтом (1856 г.).

Первая аксиоматическая трактовка конечной проективной геометрии была разработана итальянским математиком Джино Фано . В своей работе ^[2] по доказательству независимости разработанного им набора аксиом проективного n -пространства ^[3] он рассматривал конечное трехмерное пространство с 15 точками, 35 прямыми и 15 плоскостями (см. схему), в котором на каждой линии было только три точки. ^[4]

В 1906 году Освальд Веблен и У. Бюсси описали проективную геометрию, используя однородные координаты с элементами из поля Галуа GF( q ). Когда используются n + 1 координаты, n -мерная конечная геометрия обозначается PG( n, q ). ^[5] Оно возникает в синтетической геометрии и имеет связанную с ним группу преобразований .

Конечные пространства трех и более измерений.

Некоторые важные различия между геометрией конечной плоскости и геометрией конечных пространств более высокой размерности см. в аксиоматическом проективном пространстве . Обсуждение конечных пространств более высокой размерности в целом см., например, в работах Дж. В. П. Хиршфельда . Исследование этих многомерных пространств ( n ≥ 3 ) имеет множество важных приложений в передовых математических теориях.

Аксиоматическое определение

Проективное пространство S можно аксиоматически определить как набор P (набор точек) вместе с набором L подмножеств P (набор прямых), удовлетворяющих этим аксиомам: ^[6]

• Каждые две различные точки p и q лежат ровно на одной прямой.
• Аксиома Веблена: [ ^7] Если a , b , c , d — различные точки и линии, проходящие через ab и cd , пересекаются, то то же самое делают и линии, проходящие через ac и bd .
• Любая линия имеет как минимум 3 точки.

Последняя аксиома исключает приводимые случаи, которые можно записать как непересекающееся объединение проективных пространств вместе с двухточечными прямыми, соединяющими любые две точки в различных проективных пространствах. Более абстрактно, ее можно определить как структуру инцидентности ( P , L , I ) , состоящую из набора P точек, набора L линий и отношения инцидентности I , определяющего, какие точки лежат на каких прямых.

Для получения конечного проективного пространства требуется еще одна аксиома:

• Множество точек P является конечным множеством.

В любом конечном проективном пространстве каждая линия содержит одинаковое количество точек, а порядок пространства определяется на единицу меньше этого общего числа.

Подпространство проективного пространства — это такое подмножество X , что любая линия, содержащая две точки X, является подмножеством X (то есть полностью содержится в X ). Полное пространство и пустое пространство всегда являются подпространствами.

Геометрическая размерность пространства называется n, если это наибольшее число, для которого существует строго возрастающая цепочка подпространств такого вида:

${\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots \subset X_{n}=P.}$

Алгебраическая конструкция

Этим аксиомам удовлетворяет стандартная алгебраическая конструкция систем. Для тела D построим ( n + 1) -мерное векторное пространство над D (размерностью векторного пространства называется количество элементов в базисе). Пусть P — одномерные (один генератор) подпространства, а L — двумерные (два независимых генератора) подпространства (замкнутые относительно векторного сложения) этого векторного пространства. Заболеваемость – это сдерживание. Если D конечно, то оно должно быть конечным полем GF( q ), поскольку по малой теореме Веддерберна все конечные тела являются полями. В этом случае эта конструкция дает конечное проективное пространство. Более того, если геометрическая размерность проективного пространства не менее трех, то существует тело, из которого пространство можно построить таким образом. Следовательно, все конечные проективные пространства геометрической размерности не менее трех определены над конечными полями. Конечное проективное пространство, определенное над таким конечным полем, имеет q + 1 точку на прямой, поэтому два понятия порядка совпадают. Такое конечное проективное пространство обозначается PG( n , q ) , где PG обозначает проективную геометрию, n — геометрическая размерность геометрии, а q — размер (порядок) конечного поля, используемого для построения геометрии.

В общем, количество k -мерных подпространств PG( n , q ) определяется произведением: ^[8]

${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}_{q}=\prod _{i=0}^{k}{\frac {q^{n+1-i}-1}{q^{i+1}-1}},}$

который является гауссовским биномиальным коэффициентом , q- аналогом биномиального коэффициента .

Классификация конечных проективных пространств по геометрической размерности

• Размерность 0 (без линий): пространство представляет собой одну точку и настолько вырождено, что его обычно игнорируют.
• Размерность 1 (ровно одна линия): все точки лежат на единственной линии, называемой проективной линией .
• Размер 2: существует как минимум две линии, и любые две линии пересекаются. Проективное пространство при n = 2 является проективной плоскостью . Их гораздо сложнее классифицировать, поскольку не все из них изоморфны PG ( d , q ) . Дезарговы плоскости (те, которые изоморфны PG (2, q ) ) удовлетворяют теореме Дезарга и являются проективными плоскостями над конечными полями, но существует много недезарговых плоскостей .
• Размерность не менее 3: существуют две непересекающиеся линии. Теорема Веблена-Янга утверждает в конечном случае, что каждое проективное пространство геометрической размерности n ≥ 3 изоморфно PG( n , q ) , n -мерному проективному пространству над некоторым конечным полем GF( q ).

Наименьшее проективное трёхпространство

PG(3,2) но не все линии рисуются

Наименьшее трехмерное проективное пространство находится над полем GF(2) и обозначается PG(3,2) . Он имеет 15 точек, 35 линий и 15 плоскостей. Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 линий. Каждая строка содержит 3 точки. Как геометрии эти плоскости изоморфны плоскости Фано .

Квадратная модель Фано в 3-пространстве

Каждая точка содержится в 7 строках. Каждая пара различных точек содержится ровно в одной прямой, а каждая пара различных плоскостей пересекается ровно по одной прямой.

В 1892 году Джино Фано первым рассмотрел такую ​​конечную геометрию.

Проблема школьницы Киркмана

PG(3,2) возникает как фон для решения задачи Киркмана о школьницах , которая гласит: «Пятнадцать школьниц гуляют каждый день пятью группами по три человека. Организуйте прогулку девочек на неделю так, чтобы за это время каждая пара девочки гуляют вместе группой только один раз». Девочки могут пройти вместе 35 различных комбинаций. Также 7 дней недели и по 3 девочки в каждой группе. Два из семи неизоморфных решений этой проблемы могут быть сформулированы в терминах структур трехмерного пространства Фано PG(3,2), известных как упаковки . Разворот проективного пространства — это разбиение его точек на непересекающиеся линии, а упаковка — это разбиение прямых на непересекающиеся развороты. В PG(3,2) разброс будет представлять собой разделение 15 точек на 5 непересекающихся строк (по 3 точки в каждой строке), что соответствует расположению школьниц в конкретный день. Упаковка PG(3,2) состоит из семи непересекающихся разворотов и соответствует полной неделе договоренностей.

Смотрите также

• Блочный дизайн – обобщение конечной проективной плоскости.
• Дискретное пространство
• Конечное пространство
• Обобщенный многоугольник
• Геометрия падения
• Линейное пространство (геометрия)
• Рядом с полигоном
• Частичная геометрия
• Полярное пространство

Примечания

1. Лейвин, Чарльз Ф.; Маллен, Гэри Л. (17 сентября 1998 г.). Дискретная математика с использованием латинских квадратов. Джон Уайли и сыновья. ISBN 9780471240648.
2. Фано, Г. (1892), "Sui postulati Fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche , 30 : 106–132.
3. Коллино, Конте и Верра 2013, с. 6
4. Конечные геометрии Малкевича? Рекомендуемая колонка AMS
5. Освальд Веблен (1906) Конечные проективные геометрии, Труды Американского математического общества 7: 241–59
6. Beutelspacher & Rosenbaum 1998, стр. 6–7.
7. также называется аксиомой Веблена-Янга и ошибочно называется аксиомой Паша (Beutelspacher & Rosenbaum 1998, стр. 6–7). Паш интересовался реальным проективным пространством и пытался ввести порядок, который не касается аксиомы Веблена-Янга.
8. Дембовский 1968, с. 28, где формула в терминах размерности векторного пространства равна N _{k +1} ( n + 1, q ) .

Рекомендации

• Баттен, Линн Маргарет (1997), Комбинаторика конечной геометрии , издательство Кембриджского университета, ISBN 0521590140
• Бойтельспехер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия: от основ к приложениям , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48364-3, МР  1629468
• Коллино, Альберто; Конте, Альберто; Верра, Алессандро (2013). «О жизни и научной деятельности Джино Фано». arXiv : 1311,7177 [math.HO].
• Дембовский, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, МР  0233275
• Ивс, Ховард (1963), Обзор геометрии: Том первый , Бостон: Allyn and Bacon Inc.
• Холл, Маршалл (1943), «Проективные плоскости», Труды Американского математического общества , 54 (2), Американское математическое общество: 229–277, doi : 10.2307/1990331 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1990331, MR  0008892
• Лам, CWH (1991), «Поиск конечной проективной плоскости порядка 10», American Mathematical Monthly , 98 (4): 305–318, doi : 10.2307/2323798, JSTOR  2323798

• Малкевич, Джо. «Конечная геометрия?» . Проверено 2 декабря 2013 г.
• Месерв, Брюс Э. (1983), Фундаментальные концепции геометрии , Нью-Йорк: Dover Publications.
• Польстер, Буркард (1999). «Да, зачем пробовать ее сырую мокрую шляпу: экскурсия по самому маленькому проективному пространству». Математический интеллект . 21 (2): 38–43. дои : 10.1007/BF03024845. S2CID  122352568.
• Сегре, Бениамино (1960), О геометрии Галуа (PDF) , Нью-Йорк: Cambridge University Press, стр. 488–499, заархивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2015 г. , получено 2 июля 2015 г.

• Шульт, Эрнест Э. (2011), Точки и линии , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4, ISBN 978-3-642-15626-7

• Болл, Симеон (2015), Конечная геометрия и комбинаторные приложения, Студенческие тексты Лондонского математического общества, Cambridge University Press, ISBN 978-1107518438.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Конечная геометрия». Математический мир .
• Геометрия заболеваемости Эрика Мурхауса
• Алгебраическая комбинаторная геометрия Теренса Тао
• Эссе по конечной геометрии Майкла Гринберга
• Конечная геометрия (Скрипт)
• Ресурсы по конечной геометрии, заархивированные 27 сентября 2011 г. на Wayback Machine.
• JWP Хиршфельд, исследователь конечной геометрии
  • Книги Хиршфельда по конечной геометрии
• Колонка AMS: Конечные геометрии?
• Геометрия Галуа и обобщенные многоугольники, интенсивный курс в 1998 г.
• Карнахан, Скотт (27 октября 2007 г.), «Маленькие конечные множества», Секретный семинар по ведению блогов , заметки о выступлении Жан-Пьера Серра о канонических геометрических свойствах малых конечных множеств.{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• «Задача 31: проблема школьницы Киркмана» в Wayback Machine (архивировано 17 августа 2010 г.)
• Проективная плоскость порядка 12 в MathOverflow.