stringtranslate.com

конический фон Штаудта

В проективной геометрии коника фон Штаудта — это множество точек, определяемое всеми абсолютными точками полярности, имеющей абсолютные точки. В вещественной проективной плоскости коника фон Штаудта — это коническое сечение в обычном смысле. В более общих проективных плоскостях это не всегда так. Карл Георг Христиан фон Штаудт ввел это определение в Geometrie der Lage (1847) как часть своей попытки удалить все метрические концепции из проективной геометрии.

Полярности

Полярность , π , проективной плоскости, P , является инволютивной (т.е. второго порядка) биекцией между точками и прямыми P , которая сохраняет отношение инцидентности . Таким образом, полярность связывает точку Q с прямой q и, следуя Жергонну , q называется полярой Q , а Q — полюсом q . [ 1] Абсолютная точка ( прямая ) полярности — это та, которая инцидентна ее поляре (полюсу). [ 2] [ 3]

Полярность может иметь или не иметь абсолютные точки. Полярность с абсолютными точками называется гиперболической полярностью , а без абсолютных точек — эллиптической полярностью . [4] В комплексной проективной плоскости все полярности являются гиперболическими, но в действительной проективной плоскости таковыми являются только некоторые. [4]

Классификация полярностей над произвольными полями следует из классификации полуторалинейных форм, данной Биркгофом и фон Нейманом. [5] Ортогональные полярности, соответствующие симметричным билинейным формам, также называются обычными полярностями , а геометрическое место абсолютных точек образует невырожденную конику (множество точек, координаты которых удовлетворяют неприводимому однородному квадратичному уравнению), если поле не имеет характеристики два. В характеристике два ортогональные полярности называются псевдополярностями , а на плоскости абсолютные точки образуют линию. [6]

Конечные проективные плоскости

Если π — полярность конечной проективной плоскости (которая не обязательно должна быть дезарговой), P , порядка n , то число ее абсолютных точек (или абсолютных прямых), a ( π ), определяется по формуле:

а ( π ) знак равно п + 2 р √ п + 1 ,

где r — неотрицательное целое число. [7] Поскольку a ( π ) — целое число, то a ( π ) = n + 1 , если n не является квадратом, и в этом случае π называется ортогональной полярностью .

Р. Бэр показал, что если n нечетно, то абсолютные точки ортогональной полярности образуют овал (то есть n + 1 точек, нет трех коллинеарных ), тогда как если n четно, то абсолютные точки лежат на неабсолютной прямой. [8]

Подводя итог, можно сказать, что коники фон Штаудта не являются овалами в конечных проективных плоскостях (десарговых или нет) четного порядка. [9] [10]

Связь с другими типами коник

В папповской плоскости (т.е. проективной плоскости, координированной полем ) , если поле не имеет характеристики два, коника фон Штаудта эквивалентна конике Штейнера . [11] Однако Р. Арци показал, что эти два определения коник могут производить неизоморфные объекты в (бесконечных) плоскостях Муфанг . [12]

Примечания

  1. ^ Коксетер 1964, стр. 60
  2. ^ Гарнер 1979, стр. 132
  3. ^ Коксетер и несколько других авторов используют термин «самосопряженный» вместо «абсолютный».
  4. ^ ab Coxeter 1964, стр. 72
  5. ^ Биркгоф, Г.; фон Нейман, Дж. (1936), «Логика квантовой механики», Ann. Math. , 37 : 823–843
  6. ^ Барвик, Сьюзен; Эберт, Гэри (2008), Униталы в проективных плоскостях , Springer, стр. 16–18, ISBN 978-0-387-76364-4
  7. ^ Болл, РВ (1948), «Двойственности конечных проективных плоскостей», Duke Mathematical Journal , 15 : 929–940, doi :10.1215/s0012-7094-48-01581-6
  8. ^ Бэр, Рейнхольд (1946), «Полярности в конечных проективных плоскостях», Бюллетень Американского математического общества , 52 : 77–93, doi : 10.1090/s0002-9904-1946-08506-7
  9. ^ Гарнер 1979, стр. 133
  10. ^ Дембовски 1968, стр. 154–155
  11. ^ Коксетер 1964, стр. 80
  12. ^ Артзи, Р. (1971), «Коника y = x 2 в плоскостях Муфанг», Aequationes Mathematicae , 6 : 30–35, doi : 10.1007/bf01833234

Ссылки

Дальнейшее чтение