Коническая поверхность

Поверхность, нарисованная движущейся линией, проходящей через фиксированную точку

Эллиптический конус, частный случай конической поверхности.

В геометрии коническая поверхность — это трехмерная поверхность, образованная объединением линий , проходящих через фиксированную точку, и пространственной кривой .

Определения

( Общая ) коническая поверхность — это неограниченная поверхность, образованная объединением всех прямых линий, проходящих через фиксированную точку — вершину или вертекс — и любую точку некоторой фиксированной пространственной кривой — директрисы — которая не содержит вершину. Каждая из этих линий называется образующей поверхности. Директриса часто принимается за плоскую кривую в плоскости, не содержащей вершину, но это не является обязательным требованием. ^[1]

В общем случае коническая поверхность состоит из двух конгруэнтных неограниченных половин, соединенных вершиной. Каждая половина называется nappe и представляет собой объединение всех лучей , которые начинаются в вершине и проходят через точку некоторой фиксированной пространственной кривой. ^[2] Иногда термин «коническая поверхность» используется для обозначения только одной nappe. ^[3]

Особые случаи

Если директриса является окружностью , а вершина расположена на оси окружности (прямой, которая содержит центр и перпендикулярна ее плоскости), то получается правильная круговая коническая поверхность или двойной конус . ^[2] В более общем случае, когда директриса является эллипсом или любым коническим сечением , а вершина является произвольной точкой не на плоскости , то получается эллиптический конус ^[4] (также называемый коническим квадриком или квадратным конусом ), ^[5] который является частным случаем квадрической поверхности . ^{[4] [5]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Уравнения

Коническую поверхность можно параметрически описать как ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S(t,u)=v+uq(t)}$,

где — вершина, а — директриса. ^[6] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle q}$

Связанная поверхность

Конические поверхности — это линейчатые поверхности , поверхности, которые имеют прямую линию, проходящую через каждую из их точек. ^[7] Участки конических поверхностей, которые избегают вершины, являются особыми случаями развертывающихся поверхностей , поверхностей, которые могут быть развернуты в плоскую плоскость без растяжения. Когда направляющая обладает свойством, что угол, который она образует с вершиной, равен точно , то каждая поверхность конической поверхности, включая вершину, является развертывающейся поверхностью. ^[8] ${\displaystyle 2\pi }$

Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как предельный случай конической поверхности, вершина которой удалена на бесконечность в определенном направлении. Действительно, в проективной геометрии цилиндрическая поверхность является всего лишь частным случаем конической поверхности. ^[9]

Смотрите также

• Коническое сечение
• Квадрик

Ссылки

1. Адлер, Альфонс А. (1912), "1003. Коническая поверхность", Теория инженерного черчения , Д. Ван Ностранд, стр. 166
2. Wells, Webster; Hart, Walter Wilson (1927), Современная стереометрия, ступенчатый курс, книги 6-9, DC Heath, стр. 400–401
3. Шуттс, Джордж К. (1913), "640. Коническая поверхность", Solid Geometry , Аткинсон, Ментцер, стр. 410
4. Young, JR (1838), Аналитическая геометрия, J. Souter, стр. 227
5. Оденал, Борис; Стачел, Хельмут; Глезер, Георг (2020), «Линейно-алгебраический подход к квадрикам», The Universe of Quadrics , Springer, стр. 91–118, doi : 10.1007/978-3-662-61053-4_3, ISBN 9783662610534
6. Грей, Альфред (1997), «19.2 Плоские линейчатые поверхности», Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica (2-е изд.), CRC Press, стр. 439–441, ISBN 9780849371646
7. Математическое общество Японии (1993), Ито, Киёси (ред.), Энциклопедический словарь математики, Vol. I: A – N (2-е изд.), MIT Press, стр. 419
8. Одоли, Базиль; Помо, Ив (2010), Эластичность и геометрия: от завитков волос до нелинейной реакции оболочек, Oxford University Press, стр. 326–327, ISBN 9780198506256
9. Гизеке, Ф. Э.; Митчелл, А. (1916), Начертательная геометрия, Von Boeckmann–Jones Company, стр. 66