Высоты треугольника выходят из каждой вершины и пересекают противоположную сторону под прямым углом . Точка, в которой пересекаются три высоты, является ортоцентром .
Биссектрисы угла — это лучи, исходящие из каждой вершины треугольника и делящие пополам соответствующий угол . Все они встречаются во вписанном центре .
Медианы соединяют каждую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы встречаются в центроиде .
Перпендикулярные биссектрисы — это линии, выходящие из середин каждой стороны треугольника под углом 90 градусов. Три перпендикулярных биссектрисы пересекаются в центре описанной окружности .
Другие наборы линий, связанных с треугольником, также являются конкурирующими. Например:
Любая медиана (которая обязательно является биссектрисой площади треугольника ) совпадает с двумя другими биссектрисами площади, каждая из которых параллельна стороне. [1]
Скалывающий треугольник — это отрезок прямой, который делит периметр треугольника пополам и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Три скалывающих треугольника сходятся в центре окружности Шпикера , которая является вписанной окружностью срединного треугольника .
Разделитель треугольника — это отрезок прямой, имеющий одну конечную точку в одной из трех вершин треугольника и делящий периметр пополам. Три разделителя сходятся в точке Нагеля треугольника.
Любая линия, проходящая через треугольник и делящая пополам как площадь треугольника, так и его периметр, проходит через инцентр треугольника , и в каждом треугольнике есть одна, две или три таких линии. [2] Таким образом, если их три, они пересекаются во вписанном центре.
Точка Тарри треугольника — это точка пересечения прямых, проходящих через вершины треугольника и перпендикулярных соответствующим сторонам первого треугольника Брокара треугольника .
Точка Шиффлера треугольника — это точка пересечения прямых Эйлера четырех треугольников: рассматриваемого треугольника и трех треугольников, каждый из которых имеет с ним две общие вершины и имеет его инцентр в качестве другой вершины.
Точки Наполеона и их обобщения являются точками совпадения. Например, первая точка Наполеона является точкой совпадения трех линий, каждая из которых исходит из вершины и проходит через центроид равностороннего треугольника, проведенный на внешней стороне противоположной вершине стороны. Обобщением этого понятия является точка Якоби .
Три линии, каждая из которых образована путем рисования внешнего равностороннего треугольника на одной из сторон данного треугольника и соединения новой вершины с противоположной вершиной исходного треугольника, пересекаются в точке, называемой первым изогональным центром . В случае, когда исходный треугольник не имеет углов больше 120°, эта точка также является точкой Ферма .
Точка Аполлония — это точка пересечения трех прямых, каждая из которых соединяет точку касания окружности, к которой внутренне касаются вневписанные окружности треугольника , с противолежащей вершиной треугольника.
Четырехугольники
Две бимедианы четырехугольника (отрезки , соединяющие середины противоположных сторон) и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей, пересекаются и делятся пополам точкой пересечения. [3] : стр.125
Выпуклый четырехугольник является внеописанным тогда и только тогда, когда существует шесть совпадающих биссектрис углов: биссектрисы внутренних углов в двух противолежащих вершинах, биссектрисы внешних углов в двух других вершинах и биссектрисы внешних углов в углах, образованных в местах пересечения продолжений противоположных сторон.
Шестиугольники
Если последовательными сторонами циклического шестиугольника являются a , b , c , d , e , f , то три главные диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ace = bdf . [7]
Для каждой стороны вписанного шестиугольника продлить смежные стороны до их пересечения, образуя треугольник, внешний данной стороне. Тогда отрезки, соединяющие центры описанных окружностей противолежащих треугольников, будут совпадать. [8]
Правильные многоугольники
Если правильный многоугольник имеет четное число сторон, то диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в центре многоугольника.
Круги
Серединные перпендикуляры всех хорд окружности пересекаются в центре окружности .
Прямые, перпендикулярные касательным к окружности в точках касания, пересекаются в центре.
Следующие точки также являются совпадающими: (1) окружность с центром в центре гиперболы, проходящая через ее вершины; (2) любая из директрис; и (3) любая из асимптот.
Тетраэдры
В тетраэдре четыре медианы и три бимедианы пересекаются в точке, называемой центроидом тетраэдра. [9]
Изодинамический тетраэдр — это тетраэдр, в котором чевианы , соединяющие вершины с инцентрами противоположных граней, совпадают, а изогонический тетраэдр имеет совпадающие чевианы, соединяющие вершины с точками контакта противоположных граней с вписанной сферой тетраэдра.
Согласно теореме Руше–Капелли , система уравнений является согласованной тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы (матрицы коэффициентов, расширенной столбцом свободных членов), и система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда этот общий ранг равен числу переменных. Таким образом, при двух переменных k прямых на плоскости, связанных с набором из k уравнений, являются совпадающими тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов k × 2 и ранг расширенной матрицы k × 3 оба равны 2. В этом случае только два из k уравнений являются независимыми , и точка совпадения может быть найдена путем решения любых двух взаимно независимых уравнений одновременно для двух переменных.
^ ab Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), Courier Dover, стр. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045
^ Хонсбергер, Росс (1995), «4.2 Циклические четырехугольники», Эпизоды в евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого века , Новая математическая библиотека, т. 37, Cambridge University Press, стр. 35–39, ISBN978-0-88385-639-0
^ Картенсен, Йенс, «О шестиугольниках», Mathematical Spectrum 33(2) (2000-2001), 37-40.
^ Николаос Дергиадес, «Теорема Дао о шести центрах описанных окружностей, связанных с вписанным шестиугольником», Forum Geometricorum 14, 2014, 243--246. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html
^ Лёнг, Кам-тим; и Суен, Сук-нам; «Векторы, матрицы и геометрия», Hong Kong University Press, 1994, стр. 53-54
