Константы Стилтьеса

Площадь синей области сходится к постоянной Эйлера-Машерони , которая является 0-й постоянной Стилтьеса.

В математике константы Стилтьеса — это числа , которые встречаются в разложении в ряд Лорана дзета-функции Римана : ${\displaystyle \gamma _{k}}$

${\displaystyle \zeta (1+s)={\frac {1}{s}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}s^{n}.}$

Эта константа известна как константа Эйлера-Машерони . ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577\dots }$

Представительства

Константы Стилтьеса задаются пределом

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\to \infty }\left\{\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}-\int _{1}^{m}{\frac {(\ln x)^{n}}{x}}\,dx\right\}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left\{\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right\}}.}$

(В случае n = 0 первое слагаемое требует оценки 0 0 , которое принимается равным 1.)

Формула дифференцирования Коши приводит к интегральному представлению

${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.}$

Различные представления в терминах интегралов и бесконечных рядов даны в работах Йенсена , Франеля, Эрмита , Харди , Раманухана , Эйнсворта, Хауэлла, Коппо, Коннона, Коффи, Чой, Благушина и некоторых других авторов. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} В частности, интегральная формула Дженсена-Франеля, которую часто ошибочно приписывают Эйнсворту и Хауэллу, утверждает, что

${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {1}{2}}\delta _{n,0}+{\frac {1}{i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {(\ln(1-ix))^{n}}{1-ix}}-{\frac {(\ln(1+ix))^{n}}{1+ix}}\right\}\,,\qquad \quad n=0,1,2,\ldots }$

где δ _n,k — символ Кронекера (дельта Кронекера) . ^{[5] [6]} Среди других формул находим

${\displaystyle \gamma _{n}=-{\frac {\pi }{2(n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(\ln \left({\frac {1}{2}}\pm ix\right)\right)^{n+1}}{\cosh ^{2}\pi x}}\,dx\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad n=0,1,2,\ldots }$

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}=-\left[\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}\right]\ln 2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{\pi x}+1}}\left\{{\frac {\ln(1-ix)}{1-ix}}-{\frac {\ln(1+ix)}{1+ix}}\right\}\\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma ^{2}-\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right]e^{-x}\ln x\,dx\end{array}}}$

видеть. ^{[1] [5] [7]}

Что касается представлений серий, знаменитый ряд, подразумевающий целую часть логарифма, был предложен Харди в 1912 году ^[8]

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\ln 2}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\lfloor \log _{2}{k}\rfloor \cdot \left(2\log _{2}{k}-\lfloor \log _{2}{2k}\rfloor \right)}$

Исраилов ^[9] дал полусходящиеся ряды через числа Бернулли ${\displaystyle B_{2k}}$

${\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(\ln k)^{m}}{k}}-{\frac {(\ln n)^{m+1}}{m+1}}-{\frac {(\ln n)^{m}}{2n}}-\sum _{k=1}^{N-1}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left[{\frac {(\ln x)^{m}}{x}}\right]_{x=n}^{(2k-1)}-\theta \cdot {\frac {B_{2N}}{(2N)!}}\left[{\frac {(\ln x)^{m}}{x}}\right]_{x=n}^{(2N-1)}\,,\qquad 0<\theta <1}$

Коннон, ^[10] Благушин ^{[6] [11]} и Коппо ^[1] дали несколько рядов с биномиальными коэффициентами

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(\ln(k+1))^{m+1}\\[7mm]\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+2}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m+1}}{k+1}}\\[7mm]\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{n=0}^{\infty }H_{n+1}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(\ln(k+2))^{m+1}\\[7mm]\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{n=0}^{\infty }\left|G_{n+1}\right|\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}}\end{array}}}$

где Gn _— коэффициенты Грегори , _также известные как обратные логарифмические числа ( G1 =+1/2, _{G2 =} −1/12, G3 =+1/24, G4 = ₋₁₉ /720,...) . К более общим сериям того же характера относятся следующие примеры ^[11]

${\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {(\ln(1+a))^{m+1}}{m+1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}},\quad \Re (a)>-1}$

и

${\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{r(m+1)}}\sum _{l=0}^{r-1}(\ln(1+a+l))^{m+1}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}},\quad \Re (a)>-1,\;r=1,2,3,\ldots }$

или

${\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}+a}}\left\{{\frac {(-1)^{m}}{m+1}}\,\zeta ^{(m+1)}(0,1+a)-(-1)^{m}\zeta ^{(m)}(0)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}}\right\},\quad \Re (a)>-1}$

где ψ _n ( a ) — полиномы Бернулли второго рода, а N _n,r ( a ) — полиномы, заданные порождающим уравнением

${\displaystyle {\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,}$

соответственно (заметим, что N _n,1 ( a ) = ψ _n ( a ) ). ^[12] Олоа и Таурасо ^[13] показали, что ряды с номерами гармоник могут приводить к константам Стилтьеса

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}-(\gamma +\ln n)}{n}}=-\gamma _{1}-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}+{\frac {1}{12}}\pi ^{2}\\[6mm]\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}-(\gamma +\ln n)^{2}}{n}}=-\gamma _{2}-2\gamma \gamma _{1}-{\frac {2}{3}}\gamma ^{3}+{\frac {5}{3}}\zeta (3)\end{array}}}$

Благушин ^[6] получил медленно сходящиеся ряды, включающие беззнаковые числа Стирлинга первого рода ${\displaystyle \left[{\cdot \atop \cdot }\right]}$

${\displaystyle \gamma _{m}={\frac {1}{2}}\delta _{m,0}+{\frac {(-1)^{m}m!}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}\cdot \left[{2k+2 \atop m+1}\right]\cdot \left[{n \atop 2k+1}\right]}{(2\pi )^{2k+1}}}\,,\qquad m=0,1,2,...,}$

а также полусходящиеся ряды только с рациональными членами

${\displaystyle \gamma _{m}={\frac {1}{2}}\delta _{m,0}+(-1)^{m}m!\cdot \sum _{k=1}^{N}{\frac {\left[{2k \atop m+1}\right]\cdot B_{2k}}{(2k)!}}+\theta \cdot {\frac {(-1)^{m}m!\cdot \left[{2N+2 \atop m+1}\right]\cdot B_{2N+2}}{(2N+2)!}},\qquad 0<\theta <1,}$

где m =0,1,2,... В частности, ряд для первой константы Стилтьеса имеет удивительно простой вид

${\displaystyle \gamma _{1}=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k}\cdot H_{2k-1}}{k}}+\theta \cdot {\frac {B_{2N+2}\cdot H_{2N+1}}{2N+2}},\qquad 0<\theta <1,}$

где H _n — номер n- й гармоники . ^[6] Более сложные ряды для констант Стилтьеса приведены в работах Лемера, Лянга, Тодда, Лаврика, Исраилова, Станкуса, Кейпера, Нан-Ю, Уильямса, Коффи. ^{[2] [3] [6]}

Границы и асимптотический рост

Константы Стилтьеса удовлетворяют оценке

${\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[3mm]\displaystyle {\frac {4(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}}$

данные Берндтом в 1972 году. ^[14] Лучшие оценки в терминах элементарных функций были получены Лавриком ^[15]

${\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\frac {n!}{2^{n+1}}},\qquad n=1,2,3,\ldots }$

автор Исраилов ^[9]

${\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\frac {n!C(k)}{(2k)^{n}}},\qquad n=1,2,3,\ldots }$

с k =1,2,... и C (1)=1/2, C (2)=7/12,..., авторы Нан-Ю и Уильямс ^[16]

${\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[4mm]\displaystyle {\frac {4(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}}$

автор Благоушин ^[6]

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle -{\frac {{\big |}{B}_{m+1}{\big |}}{m+1}}<\gamma _{m}<{\frac {(3m+8)\cdot {\big |}{B}_{m+3}{\big |}}{24}}-{\frac {{\big |}{B}_{m+1}{\big |}}{m+1}},&m=1,5,9,\ldots \\[12pt]\displaystyle {\frac {{\big |}B_{m+1}{\big |}}{m+1}}-{\frac {(3m+8)\cdot {\big |}B_{m+3}{\big |}}{24}}<\gamma _{m}<{\frac {{\big |}{B}_{m+1}{\big |}}{m+1}},&m=3,7,11,\ldots \\[12pt]\displaystyle -{\frac {{\big |}{B}_{m+2}{\big |}}{2}}<\gamma _{m}<{\frac {(m+3)(m+4)\cdot {\big |}{B}_{m+4}{\big |}}{48}}-{\frac {{\big |}B_{m+2}{\big |}}{2}},\qquad &m=2,6,10,\ldots \\[12pt]\displaystyle {\frac {{\big |}{B}_{m+2}{\big |}}{2}}-{\frac {(m+3)(m+4)\cdot {\big |}{B}_{m+4}{\big |}}{48}}<\gamma _{m}<{\frac {{\big |}{B}_{m+2}{\big |}}{2}},&m=4,8,12,\ldots \\\end{array}}}$

где B _n — числа Бернулли , а Мацуока ^{[17] [18]}

${\displaystyle |\gamma _{n}|<10^{-4}e^{n\ln \ln n}\,,\qquad n=5,6,7,\ldots }$

Что касается оценок с использованием неэлементарных функций и решений, Кнесль, Коффи ^[19] и Феких-Ахмед ^[20] получили весьма точные результаты. Например, Кнесл и Коффи дают следующую формулу, которая относительно хорошо аппроксимирует константы Стилтьеса для больших n . ^[19] Если v — единственное решение

${\displaystyle 2\pi \exp(v\tan v)=n{\frac {\cos(v)}{v}}}$

с , и если , то ${\displaystyle 0<v<\pi /2}$ ${\displaystyle u=v\tan v}$

${\displaystyle \gamma _{n}\sim {\frac {B}{\sqrt {n}}}e^{nA}\cos(an+b)}$

где

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\ln(u^{2}+v^{2})-{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}}$

${\displaystyle B={\frac {2{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}{[(u+1)^{2}+v^{2}]^{1/4}}}}$

${\displaystyle a=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)+{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}}$

${\displaystyle b=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{u+1}}\right).}$

До n = 100000 приближение Кнесля-Коффи правильно предсказывает знак γ _n за единственным исключением n = 137. ^[19]

В 2022 г. К. Масланка ^[21] дал асимптотическое выражение констант Стилтьеса, которое одновременно проще и точнее известных ранее. В частности, он с относительно небольшой погрешностью воспроизводит проблемное значение для n = 137.

А именно, когда ${\displaystyle n>>1}$

${\displaystyle \gamma _{n}\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}n!\mathrm {Re} {\frac {\Gamma \left(s_{n}\right)e^{-cs_{n}}}{\left(s_{n}\right)^{n}{\sqrt {n+s_{n}+{\frac {3}{2}}}}}}}$

где находятся седловые точки: ${\displaystyle s_{n}}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {n+{\frac {3}{2}}}{W\left(\pm {\frac {n+{\frac {3}{2}}}{2\pi i}}\right)}}}$

${\displaystyle W}$представляет собой функцию Ламберта и является константой: ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c=\log(2\pi )+{\frac {\pi }{2}}i}$

Определение сложной «фазы» ${\displaystyle \varphi _{n}}$

${\displaystyle \varphi _{n}\equiv {\frac {1}{2}}\ln(8\pi )-n+(n+{\frac {1}{2}})\ln(n)+(s_{n}-n-{\frac {1}{2}})\ln \left(s_{n}\right)-{\frac {1}{2}}\ln \left(n+s_{n}\right)-(c+1)s_{n}}$

получаем особенно простое выражение, в котором отчетливо видны как быстро нарастающая амплитуда, так и колебания:

${\displaystyle \gamma _{n}\sim \mathrm {Re} \left[e^{\varphi _{n}}\right]=e^{\mathrm {Re} \varphi _{n}}\cos \left(\mathrm {Im} \varphi _{n}\right)}$

Числовые значения

Первые несколько значений: ^[22]

При больших n константы Стилтьеса быстро растут по абсолютной величине и меняют знаки сложным образом.

Дополнительную информацию, связанную с численной оценкой констант Стилтьеса, можно найти в работах Кейпера, ^[23] Креминского, ^[24] Плуффа, ^[25] Йоханссона ^{[26] [27]} и Благушина. ^[27] Во-первых, Йоханссон предоставил значения констант Стилтьеса до n = 100 000 с точностью более 10 000 цифр каждая (числовые значения можно получить из LMFDB [1]. Позже Йоханссон и Благушин разработали особенно эффективный алгоритм вычисления обобщенные константы Стилтьеса (см . ниже) для больших n и комплексных _a , которые также можно использовать для обычных констант Стилтьеса [ ²⁷ ] . 10 ¹⁰⁰ .

Обобщенные константы Стилтьеса

Общая информация

В более общем смысле можно определить константы Стилтьеса γ _n (a), которые встречаются в разложении в ряд Лорана дзета-функции Гурвица :

${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)(s-1)^{n}.}$

Здесь a — комплексное число с Re( a )>0. Поскольку дзета-функция Гурвица является обобщением дзета-функции Римана, имеем γ _n (1)=γ _n . Нулевая константа — это просто дигамма-функция γ ₀ (a)=-Ψ(a), ^[28] в то время как другие Известно, что константы не могут быть сведены к какой-либо элементарной или классической функции анализа. Тем не менее, для них существует множество представлений. Например, существует следующее асимптотическое представление

${\displaystyle \gamma _{n}(a)=\lim _{m\to \infty }\left\{\sum _{k=0}^{m}{\frac {(\ln(k+a))^{n}}{k+a}}-{\frac {(\ln(m+a))^{n+1}}{n+1}}\right\},\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]a\neq 0,-1,-2,\ldots \end{array}}}$

благодаря Берндту и Уилтону. Аналогом формулы Йенсена-Франеля для обобщенной константы Стилтьеса является формула Эрмита ^[5]

${\displaystyle \gamma _{n}(a)=\left[{\frac {1}{2a}}-{\frac {\ln {a}}{n+1}}\right](\ln a)^{n}-i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {(\ln(a-ix))^{n}}{a-ix}}-{\frac {(\ln(a+ix))^{n}}{a+ix}}\right\},\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]\Re (a)>0\end{array}}}$

Аналогичные представления даются следующими формулами: ^[27]

${\displaystyle \gamma _{n}(a)=-{\frac {{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}){\big )}^{n+1}}{n+1}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}+1}}\left\{{\frac {{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}-ix){\big )}^{n}}{a-{\frac {1}{2}}-ix}}-{\frac {{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}+ix){\big )}^{n}}{a-{\frac {1}{2}}+ix}}\right\},\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]\Re (a)>{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

и

${\displaystyle \gamma _{n}(a)=-{\frac {\pi }{2(n+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}-ix){\big )}^{n+1}+{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}+ix){\big )}^{n+1}}{{\big (}\cosh(\pi x){\big )}^{2}}}\,dx,\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]\Re (a)>{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

Обобщенные константы Стилтьеса удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению

${\displaystyle \gamma _{n}(a+1)=\gamma _{n}(a)-{\frac {(\ln a)^{n}}{a}}\,,\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]a\neq 0,-1,-2,\ldots \end{array}}}$

а также теорема умножения

${\displaystyle \sum _{l=0}^{n-1}\gamma _{p}\left(a+{\frac {l}{n}}\right)=(-1)^{p}n\left[{\frac {\ln n}{p+1}}-\Psi (an)\right](\ln n)^{p}+n\sum _{r=0}^{p-1}(-1)^{r}{\binom {p}{r}}\gamma _{p-r}(an)\cdot (\ln n)^{r}\,,\qquad \qquad n=2,3,4,\ldots }$

где обозначает биномиальный коэффициент (см. ^[29] и ^[30] , с. 101–102). ${\displaystyle {\binom {p}{r}}}$

Первая обобщенная константа Стилтьеса

Первая обобщенная константа Стилтьеса обладает рядом замечательных свойств.

• Тождество Мальмстена (формула отражения для первых обобщенных констант Стилтьеса): формула отражения для первой обобщенной константы Стилтьеса имеет следующий вид

${\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}}$

где m и n — положительные целые числа такие, что m < n . Эту формулу долгое время приписывали Альмквисту и Меурману, которые вывели ее в 1990-х годах. ^[31] Однако недавно сообщалось, что это тождество, хотя и в несколько иной форме, было впервые получено Карлом Мальмстеном в 1846 году. ^{[5] [32]}

• Теорема о рациональных аргументах: первая обобщенная константа Стилтьеса при рациональном аргументе может быть оценена в квазизамкнутой форме с помощью следующей формулы

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+\gamma ^{2}+\gamma \ln 2\pi m+\ln 2\pi \cdot \ln {m}+{\frac {1}{2}}(\ln m)^{2}+(\gamma +\ln 2\pi m)\cdot \Psi \left({\frac {r}{m}}\right)\\[5mm]\displaystyle &\displaystyle \qquad +\pi \sum _{l=1}^{m-1}\sin {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{m}}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{m-1}\cos {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta ''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)\end{array}}\,,\qquad \quad r=1,2,3,\ldots ,m-1\,.}$

см. Благоушин. ^{[5] [28]} Альтернативное доказательство было позже предложено Коффи ^[33] и рядом других авторов.

• Конечные суммирования: существует множество формул суммирования для первых обобщенных констант Стилтьеса. Например,

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\gamma _{1}\left(a+{\frac {r}{m}}\right)=m\ln {m}\cdot \Psi (am)-{\frac {m}{2}}(\ln m)^{2}+m\gamma _{1}(am)\,,\qquad a\in \mathbb {C} \\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma _{1}-m\gamma \ln {m}-{\frac {m}{2}}(\ln m)^{2}\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{2m-1}(-1)^{r}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{2m}}{\biggr )}=-\gamma _{1}+m(2\gamma +\ln 2+2\ln m)\ln 2\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=0}^{2m-1}(-1)^{r}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {2r+1}{4m}}{\biggr )}=m\left\{4\pi \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}-\pi {\big (}4\ln 2+3\ln \pi +\ln m+\gamma {\big )}\right\}\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=-\gamma _{1}+m(\gamma +\ln 2\pi m)\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+{\frac {m}{2}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {k}{m}}\right)+\zeta ''\left(0,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}\,,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}\cdot \sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(\gamma +\ln 2\pi m)(2k-m)-{\frac {\pi m}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {k\pi }{m}}\right\}+m\pi \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {k}{m}}{\biggr )}\,,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=\displaystyle {\frac {\pi }{6}}{\Big \{}(1-m)(m-2)\gamma +2(m^{2}-1)\ln 2\pi -(m^{2}+2)\ln {m}{\Big \}}-2\pi \sum _{l=1}^{m-1}l\cdot \ln \Gamma \left({\frac {l}{m}}\right)\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}={\frac {1}{2}}\left\{(m-1)\gamma _{1}-m\gamma \ln {m}-{\frac {m}{2}}(\ln m)^{2}\right\}-{\frac {\pi }{2m}}(\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}l\cdot \cot {\frac {\pi l}{m}}-{\frac {\pi }{2}}\sum _{l=1}^{m-1}\cot {\frac {\pi l}{m}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{m}}{\biggr )}\end{array}}}$

Более подробную информацию и дальнейшие формулы суммирования см. ^{[5] [30]}

• Некоторые частные значения: некоторые частные значения первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах могут быть сведены к гамма-функции , первой константе Стилтьеса и элементарным функциям. Например,

${\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)=-2\gamma \ln 2-(\ln 2)^{2}+\gamma _{1}=-1.353459680\ldots }$

В точках 1/4, 3/4 и 1/3 значения первых обобщенных констант Стилтьеса были независимо получены Конноном ^[34] и Благушиным ^[30]

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=2\pi \ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)-{\frac {3\pi }{2}}\ln \pi -{\frac {7}{2}}(\ln 2)^{2}-(3\gamma +2\pi )\ln 2-{\frac {\gamma \pi }{2}}+\gamma _{1}=-5.518076350\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=-2\pi \ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)+{\frac {3\pi }{2}}\ln \pi -{\frac {7}{2}}(\ln 2)^{2}-(3\gamma -2\pi )\ln 2+{\frac {\gamma \pi }{2}}+\gamma _{1}=-0.3912989024\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}+{\frac {\pi }{4{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 3-8\ln 2\pi -2\gamma +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}+\gamma _{1}=-3.259557515\ldots \end{array}}}$

В точках 2/3, 1/6 и 5/6.

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {2}{3}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}-{\frac {\pi }{4{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 3-8\ln 2\pi -2\gamma +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}+\gamma _{1}=-0.5989062842\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}-(\ln 2)^{2}-(3\ln 3+2\gamma )\ln 2+{\frac {3\pi {\sqrt {3}}}{2}}\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\\[5mm]\displaystyle \qquad \qquad \quad -{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\left\{3\ln 3+11\ln 2+{\frac {15}{2}}\ln \pi +3\gamma \right\}+\gamma _{1}=-10.74258252\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {5}{6}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}-(\ln 2)^{2}-(3\ln 3+2\gamma )\ln 2-{\frac {3\pi {\sqrt {3}}}{2}}\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\\[6mm]\displaystyle \qquad \qquad \quad +{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\left\{3\ln 3+11\ln 2+{\frac {15}{2}}\ln \pi +3\gamma \right\}+\gamma _{1}=-0.2461690038\ldots \end{array}}}$

Эти значения были рассчитаны Благушиным. ^[30] Тому же автору принадлежат и

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {1}{5}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {1}{5}}\right)+\zeta ''\left(0,{\frac {4}{5}}\right)\right\}+{\frac {\pi {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{5}}{\biggr )}\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {\pi {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{2}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {2}{5}}{\biggr )}+\left\{{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln {2}-{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln {\big (}1+{\sqrt {5}}{\big )}-{\frac {5}{4}}\ln 5-{\frac {\pi {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{10}}\right\}\cdot \gamma \\[5mm]&\displaystyle -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\left\{\ln 2+\ln 5+\ln \pi +{\frac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{10}}\right\}\cdot \ln {\big (}1+{\sqrt {5}})+{\frac {\sqrt {5}}{2}}(\ln 2)^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}{\big (}1-{\sqrt {5}}{\big )}}{8}}(\ln 5)^{2}\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {3{\sqrt {5}}}{4}}\ln 2\cdot \ln 5+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln 2\cdot \ln \pi +{\frac {\sqrt {5}}{4}}\ln 5\cdot \ln \pi -{\frac {\pi {\big (}2{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}+5{\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{\big )}}{20}}\ln 2\\[5mm]&\displaystyle -{\frac {\pi {\big (}4{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}-5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{\big )}}{40}}\ln 5-{\frac {\pi {\big (}5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{\big )}}{10}}\ln \pi \\[5mm]&\displaystyle =-8.030205511\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {1}{8}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+{\sqrt {2}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {1}{8}}\right)+\zeta ''\left(0,{\frac {7}{8}}\right)\right\}+2\pi {\sqrt {2}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{8}}{\biggr )}-\pi {\sqrt {2}}{\big (}1-{\sqrt {2}}{\big )}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}\\[5mm]&\displaystyle -\left\{{\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\pi +4\ln {2}+{\sqrt {2}}\ln {\big (}1+{\sqrt {2}}{\big )}\right\}\cdot \gamma -{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}\pi +8\ln 2+2\ln \pi {\big )}\cdot \ln {\big (}1+{\sqrt {2}})\\[5mm]&\displaystyle -{\frac {7{\big (}4-{\sqrt {2}}{\big )}}{4}}(\ln 2)^{2}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln 2\cdot \ln \pi -{\frac {\pi {\big (}10+11{\sqrt {2}}{\big )}}{4}}\ln 2-{\frac {\pi {\big (}3+2{\sqrt {2}}{\big )}}{2}}\ln \pi \\[5mm]&\displaystyle =-16.64171976\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {1}{12}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+{\sqrt {3}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {1}{12}}\right)+\zeta ''\left(0,{\frac {11}{12}}\right)\right\}+4\pi \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}+3\pi {\sqrt {3}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}\\[5mm]&\displaystyle -\left\{{\frac {2+{\sqrt {3}}}{2}}\pi +{\frac {3}{2}}\ln 3-{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {3}})\ln {2}+2{\sqrt {3}}\ln {\big (}1+{\sqrt {3}}{\big )}\right\}\cdot \gamma \\[5mm]&\displaystyle -2{\sqrt {3}}{\big (}3\ln 2+\ln 3+\ln \pi {\big )}\cdot \ln {\big (}1+{\sqrt {3}})-{\frac {7-6{\sqrt {3}}}{2}}(\ln 2)^{2}-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {3{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {3}})}{2}}\ln 3\cdot \ln 2+{\sqrt {3}}\ln 2\cdot \ln \pi -{\frac {\pi {\big (}17+8{\sqrt {3}}{\big )}}{2{\sqrt {3}}}}\ln 2\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {\pi {\big (}1-{\sqrt {3}}{\big )}{\sqrt {3}}}{4}}\ln 3-\pi {\sqrt {3}}(2+{\sqrt {3}})\ln \pi =-29.84287823\ldots \end{array}}}$

Вторая обобщенная константа Стилтьеса

Вторая обобщенная константа Стилтьеса гораздо менее изучена, чем первая. Подобно первой обобщенной константе Стилтьеса, вторую обобщенную константу Стилтьеса при рациональном аргументе можно оценить по следующей формуле

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\displaystyle \gamma _{2}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}=\gamma _{2}+{\frac {2}{3}}\sum _{l=1}^{m-1}\cos {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta '''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)-2(\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}\cos {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta ''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)\\[6mm]\displaystyle \quad +\pi \sum _{l=1}^{m-1}\sin {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta ''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)-2\pi (\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}\sin {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{m}}{\biggr )}-2\gamma _{1}\ln {m}\\[6mm]\displaystyle \quad -\gamma ^{3}-\left[(\gamma +\ln 2\pi m)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]\cdot \Psi {\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}+{\frac {\pi ^{3}}{12}}\cot {\frac {\pi r}{m}}-\gamma ^{2}\ln {\big (}4\pi ^{2}m^{3}{\big )}+{\frac {\pi ^{2}}{12}}(\gamma +\ln {m})\\[6mm]\displaystyle \quad -\gamma {\big (}(\ln 2\pi )^{2}+4\ln m\cdot \ln 2\pi +2(\ln m)^{2}{\big )}-\left\{(\ln 2\pi )^{2}+2\ln 2\pi \cdot \ln m+{\frac {2}{3}}(\ln m)^{2}\right\}\ln m\end{array}}\,,\qquad \quad r=1,2,3,\ldots ,m-1.}$

см. Благоушин. ^[5] Аналогичный результат был позднее получен Коффи другим методом. ^[33]

Рекомендации

1. Coppo, Марк-Антуан (1999). «Новые выражения констант де Стилтьеса». Экспозиции Mathematicae . 17 : 349–358.
2. Коффи, Марк В. (2009). «Рядные представления констант Стилтьеса». arXiv : 0905.1111 [математика-ph].
3. Коффи, Марк В. (2010). «Представление ряда типа Аддисона для констант Стилтьеса». Дж. Теория чисел . 130 (9): 2049–2064. дои : 10.1016/j.jnt.2010.01.003 .
4. Чой, Джунесанг (2013). «Некоторые интегральные представления констант Стилтьеса». Журнал неравенств и приложений . 532 : 1–10.
5. Благоушин, Ярослав В. (2015). «Теорема для оценки в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и ​​некоторые связанные с ней суммирования». Журнал теории чисел . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724 . дои : 10.1016/j.jnt.2014.08.009.И об. 151, стр. 276–277, 2015. arXiv : 1401.3724.
6. Благоушин, Ярослав В. (2016). «Разложение обобщенных констант Эйлера в ряды полиномов от π ⁻² и в формальный обертывающий ряд только с рациональными коэффициентами». Журнал теории чисел . 158 : 365–396. arXiv : 1501.00740 . дои : 10.1016/j.jnt.2015.06.012.Исправление: т. 173, стр. 631-632, 2017.
7. «Пара определенных интегралов, связанных с константами Стилтьеса». Обмен стеками .
8. Харди, GH (2012). «Заметка о серии доктора Вакки по γ». QJ Pure Appl. Математика . 43 : 215–216.
9. Исраилов, М.И. (1981). «О лорановском разложении дзета-функции Римана». Труди Мат. Инст. Акад. Наук. СССР . 158 : 98–103.
10. Донал Ф. Коннон Некоторые применения констант Стилтьеса , arXiv:0901.2083
11. Благоушин, Ярослав В. (2018). «Три примечания к представлениям Сера и Хассе для дзета-функций» (PDF) . ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: Электронный журнал комбинаторной теории чисел . 18А (#А3): 1–45. arXiv : 1606.02044 .
12. На самом деле Благушин дает более общие формулы, которые справедливы и для обобщенных констант Стилтьеса.
13. «Закрытая форма серии…» Stack Exchange .
14. Брюс К. Берндт. О дзета-функции Гурвица . Математический журнал Роки Маунтин, том. 2, нет. 1, стр. 151–157, 1972.
15. А. Ф. Лаврик. О главном члене проблемы делителей и степенном ряде дзета-функции Римана в окрестности ее полюса . Труди Мат. Инст. Акад. Наук. СССР, вып. 142, стр. 165–173, 1976.
16. З. Нан-Ю и К.С. Уильямс. Некоторые результаты об обобщенных константах Стилтьеса . Анализ, том. 14, стр. 147–162, 1994.
17. Ю. Мацуока. Обобщенные константы Эйлера, связанные с дзета-функцией Римана . Теория чисел и комбинаторика: Япония, 1984 г., World Scientific, Сингапур, стр. 279–295, 1985 г.
18. Ю. Мацуока. О коэффициентах степенного ряда дзета-функции Римана . Токийский математический журнал, том. 12, нет. 1, стр. 49–58, 1989.
19. Чарльз Кнесл и Марк В. Коффи. Эффективная асимптотическая формула для констант Стилтьеса . Математика. Комп., вып. 80, нет. 273, стр. 379–386, 2011.
20. Лажар Феких-Ахмед. Новая эффективная асимптотическая формула для констант Стилтьеса , arXiv:1407.5567
21. Кшиштоф Масланка. Асимптотические свойства констант Стилтьеса . Вычислительные методы в науке и технике, вып. 28 (2022), с.123-131; https://arxiv.org/abs/2210.07244v1
22. Чоудхури, БК (1995). «Дзета-функция Римана и ее производные». Учеб. Р. Сок. А. _ 450 (1940): 477–499. Бибкод : 1995RSPSA.450..477C. дои : 10.1098/rspa.1995.0096. S2CID  124034712.
23. Кейпер, Дж. Б. (1992). «Разложение в степенной ряд ζ-функции Римана». Математика. Комп . 58 (198): 765–773. Бибкод : 1992MaCom..58..765K. дои : 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 .
24. Кремински, Рик (2003). «Интеграция Ньютона-Котеса для аппроксимации обобщенных констант Эйлера Стилтьеса». Математика. Комп . 72 (243): 1379–1397. Бибкод : 2003MaCom..72.1379K. дои : 10.1090/S0025-5718-02-01483-7 .
25. Саймон Плуфф. Константы Стилтьеса, от 0 до 78, по 256 цифр каждая.
26. Йоханссон, Фредрик (2015). «Строгое высокоточное вычисление дзета-функции Гурвица и ее производных». Число. Алг . 69 (2): 253–570. arXiv : 1309.2877 . doi : 10.1007/s11075-014-9893-1. S2CID  10344040.
27. Йоханссон, Фредрик; Благоушин, Ярослав (2019). «Вычисление констант Стилтьеса с использованием комплексной интеграции». Математика вычислений . 88 (318): 1829–1850. arXiv : 1804.01679 . дои : 10.1090/mcom/3401. S2CID  4619883.
28. «Определенный интеграл». Обмен стеками .
29. Коннон, Донал Ф. (2009). «Новые доказательства формул удвоения и умножения гамма-функций и двойных гамма-функций Барнса». arXiv : 0903.4539 [math.CA].
30. Ярослав В. Благоушин Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты. Журнал Рамануджана, том. 35, нет. 1, стр. 21–110, 2014 г. Дополнение о поправках: том. 42, стр. 777-781, 2017. PDF
31. В. Адамчик. Класс логарифмических интегралов. Материалы Международного симпозиума 1997 г. по символическим и алгебраическим вычислениям, стр. 1-8, 1997 г.
32. «Оценка конкретного интеграла». Обмен стеками .
33. Марк В. Коффи Функциональные уравнения для констант Стилтьеса , arXiv : 1402.3746
34. Донал Ф. Коннон. Разница между двумя константами Стилтьеса , arXiv:0906.0277.