Омега-константа

Решение x * e^x = 1

Константа омега — это математическая константа, определяемая как уникальное действительное число , удовлетворяющее уравнению

${\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1.}$

Это значение W (1) , где W — функция Ламберта W. Название происходит от альтернативного названия функции Ламберта W — омега-функции . Численное значение Ω определяется как

Ω = 0,56714 32904 09783 87299 99686 62210 ... (последовательность A030178 в OEIS ).

1/Ω = 1,76322 28343 51896 71022 52017 76951 ... (последовательность A030797 в OEIS ).

Характеристики

Представление с фиксированной точкой

Определяющая идентичность может быть выражена, например, как

${\displaystyle \ln({\tfrac {1}{\Omega }})=\Omega .}$

или

${\displaystyle -\ln(\Omega )=\Omega }$

а также

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega .}$

Вычисление

Можно вычислить Ω итеративно , начав с начального предположения Ω ₀ и рассмотрев последовательность

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.}$

Эта последовательность будет сходиться к Ω, когда n стремится к бесконечности. Это происходит потому, что Ω является притягивающей неподвижной точкой функции e ^{− x} .

Гораздо эффективнее использовать итерацию

${\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},}$

потому что функция

${\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},}$

в дополнение к тому, что имеет ту же самую неподвижную точку, также имеет производную, которая там исчезает. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр примерно удваивается с каждой итерацией.

Используя метод Галлея , Ω можно аппроксимировать с помощью кубической сходимости (количество правильных цифр примерно утраивается с каждой итерацией): (см. также функцию Ламберта W § Численная оценка ).

${\displaystyle \Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{2\Omega _{j}+2}}}}.}$

Интегральные представления

Идентичность, присущая ^{[ нужна цитата ]} Виктору Адамчику ^{[ нужна цитата ],} дана отношением

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac {1}{1+\Omega }}.}$

Другие соотношения, полученные Мезё ^{[1] [2]} и Калугиным-Джеффри-Корлессом ^[3], таковы:

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt,}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

Последние два тождества можно распространить на другие значения функции W (см. также функцию Ламберта W § Представления ).

Трансцендентность

Константа Ω трансцендентна . Это можно рассматривать как прямое следствие теоремы Линдемана–Вейерштрасса . Для противоречия предположим, что Ω алгебраична. По теореме e ^−Ω трансцендентна, но Ω = e ^−Ω , что является противоречием. Следовательно, она должна быть трансцендентной. [ ^4]

Ссылки

1. Мезё, Иштван. "Интегральное представление для главной ветви функции Ламберта W" . Получено 24 апреля 2022 г.
2. Мезё, Иштван (2020). «Интегральное представление функции Ламберта W». arXiv : 2012.02480 [math.CA]..
3. Калугин, Герман А.; Джеффри, Дэвид Дж.; Корлесс, Роберт М. (2011). «Стилтьес, Пуассон и другие интегральные представления для функций Ламберта W». arXiv : 1103.5640 [math.CV]..
4. Mező, István; Baricz, Árpád (ноябрь 2017 г.). "On the Generalization of the Lambert W Function" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 369 (11): 7928 . Получено 28 апреля 2023 г. .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Омега». MathWorld .
• "Константа Омега (1 000 000 цифр)", Darkside communication group (в Японии) , получено 25.12.2017