Константа интегрирования

Константа, выражающая неоднозначность из неопределенных интегралов

В исчислении константа интегрирования , часто обозначаемая как (или ), является постоянным членом, добавляемым к первообразной функции, чтобы указать, что неопределенный интеграл ( т. е. набор всех первообразных ) в связной области определен только с точностью до аддитивной константы. ^{[1] [2] [3]} Эта константа выражает неоднозначность, присущую построению первообразных. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Более конкретно, если функция определена на интервале и является первообразной для , то множество всех первообразных для задается функциями , где — произвольная константа (это означает, что любое значение будет давать допустимую первообразную). По этой причине неопределенный интеграл часто записывается как ^[4], хотя константа интегрирования иногда может быть опущена в списках интегралов для простоты. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)+C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(x)+C}$ ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C,}$

Источник

Производная любой постоянной функции равна нулю. Как только найдена одна первообразная для функции, добавление или вычитание любой константы даст нам другую первообразную, потому что Константа — это способ выражения того, что каждая функция с хотя бы одной первообразной будет иметь бесконечное их количество. ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle C}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x).}$

Пусть и — две всюду дифференцируемые функции. Предположим, что для каждого действительного числа x . Тогда существует действительное число такое, что для каждого действительного числа x . ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(x)-G(x)=C}$

Чтобы доказать это, заметим, что So можно заменить на и на постоянную функцию, получив в результате цель доказать, что всюду дифференцируемая функция, производная которой всегда равна нулю, должна быть постоянной: ${\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F-G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0,}$

Выберите действительное число и пусть Для любого x основная теорема исчисления вместе с предположением, что производная обращается в нуль, подразумевает, что ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle C=F(a).}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}}$$

тем самым показывая, что является постоянной функцией. ${\displaystyle F}$

Два факта имеют решающее значение в этом доказательстве. Во-первых, вещественная линия связана . Если бы вещественная линия не была связана, не всегда можно было бы интегрировать от нашего фиксированного a до любого заданного x . Например, если бы кто-то попросил функции, определенные на объединении интервалов [0,1] и [2,3], и если бы a было равно 0, то было бы невозможно интегрировать от 0 до 3, потому что функция не определена между 1 и 2. Здесь будет две константы, по одной для каждого связного компонента области . В общем, заменив константы локально постоянными функциями , можно распространить эту теорему на несвязные области. Например, существует две константы интегрирования для и бесконечно много для , так что, например, общая форма для интеграла от 1/ x имеет вид: ^{[5] [6]} ${\textstyle \int dx/x}$ ${\textstyle \int \tan x\,dx}$

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$$

Во-вторых, и предполагалось, что они всюду дифференцируемы. Если и не дифференцируемы хотя бы в одной точке, то теорема может оказаться ошибочной. Например, пусть будет ступенчатой ​​функцией Хевисайда , которая равна нулю для отрицательных значений x и единице для неотрицательных значений x , и пусть Тогда производная от равна нулю там, где она определена, а производная от всегда равна нулю. Тем не менее, ясно, что и не отличаются на константу, даже если предположить, что и всюду непрерывны и почти всюду дифференцируемы, теорема все равно не выполняется. Например, пусть будет функцией Кантора и снова пусть ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle G(x)=0.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G=0.}$

Оказывается, что добавление и вычитание констант — единственная доступная гибкость при нахождении различных первообразных одной и той же функции. То есть, все первообразные одинаковы с точностью до константы. Чтобы выразить этот факт для можно записать: где — константа интегрирования . Легко определить, что все следующие функции являются первообразными : ${\displaystyle \cos(x),}$ $${\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}\sin(x)+{\frac {d}{dx}}C\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}$$

Значение

Включение константы интегрирования необходимо в некоторых, но не во всех случаях. Например, при оценке определенных интегралов с использованием фундаментальной теоремы исчисления константу интегрирования можно игнорировать, поскольку она всегда будет сокращаться сама с собой.

Однако различные методы вычисления неопределенных интегралов могут привести к нескольким результирующим первообразным, каждая из которых неявно содержит различные константы интегрирования, и ни один конкретный вариант не может считаться самым простым. Например, может быть интегрирована по крайней мере тремя различными способами. ${\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-\cos ^{2}(x)+C=&&\sin ^{2}(x)-1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)-{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+C\\\end{alignedat}}}$$Кроме того, пропуск константы или установка ее в ноль может сделать невозможным решение ряда задач, например, задач с начальными условиями . Общее решение, содержащее произвольную константу, часто необходимо для определения правильного частного решения. Например, чтобы получить первообразную , которая имеет значение 400 при x = π, то будет работать только одно значение (в данном случае ). ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=400}$

Константа интегрирования также явно или неявно появляется в языке дифференциальных уравнений . Почти все дифференциальные уравнения будут иметь много решений, и каждая константа представляет собой единственное решение корректно поставленной задачи начального значения.

Дополнительное обоснование исходит из абстрактной алгебры . Пространство всех (подходящих) вещественных функций от вещественных чисел является векторным пространством , а дифференциальный оператор является линейным оператором . Оператор отображает функцию в ноль тогда и только тогда, когда эта функция является константой. Следовательно, ядро ​​является пространством всех постоянных функций. Процесс неопределенного интегрирования сводится к нахождению прообраза данной функции. Для данной функции не существует канонического прообраза, но множество всех таких прообразов образует смежный класс . Выбор константы аналогичен выбору элемента смежного класса. В этом контексте решение задачи начального значения интерпретируется как лежащее в гиперплоскости, заданной начальными условиями . ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$

Ссылки

1. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентали (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 0-495-01166-5.
2. Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 0-547-16702-4.
3. "Определение константы интегрирования | Dictionary.com". www.dictionary.com . Получено 2020-08-14 .
4. Weisstein, Eric W. "Constant of Integration". mathworld.wolfram.com . Получено 14 августа 2020 г.
5. «Опрос читателей: log|x| + C», Том Лейнстер, Кафе n -категории , 19 марта 2012 г.
6. Баннер, Адриан (2007). Спасатель исчисления: все инструменты, необходимые для преуспевания в исчислении . Принстон [ua]: Princeton University Press. стр. 380. ISBN 978-0-691-13088-0.