Постоянная движения

В механике константа движения — это физическая величина , сохраняющаяся на протяжении всего движения, фактически накладывающая ограничение на движение. Однако это математическое ограничение , естественное следствие уравнений движения , а не физическое ограничение (которое потребовало бы дополнительных ограничивающих сил). Общие примеры включают энергию , линейный момент , угловой момент и вектор Лапласа-Рунге-Ленца (для законов обратных квадратов силы ).

Приложения

Константы движения полезны, потому что они позволяют получить свойства движения без решения уравнений движения . В удачных случаях даже траекторию движения можно получить как пересечение изоповерхностей , соответствующих константам движения. Например, конструкция Пуансо показывает, что вращение твердого тела без крутящего момента представляет собой пересечение сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоида (сохранение энергии), траектории, которую иначе было бы трудно получить и визуализировать. Поэтому выявление констант движения является важной задачей механики .

Методы определения констант движения

Существует несколько методов определения констант движения.

• Самый простой, но наименее систематический подход - это интуитивный («психический») вывод, при котором предполагается, что величина постоянна (возможно, из-за экспериментальных данных ), а затем математически показано, что она сохраняется на протяжении всего движения.
• Уравнения Гамильтона -Якоби представляют собой широко используемый и простой метод определения констант движения, особенно когда гамильтониан принимает узнаваемые функциональные формы в ортогональных координатах .
• Другой подход состоит в том, чтобы признать, что сохраняющаяся величина соответствует симметрии лагранжиана . Теорема Нётер обеспечивает систематический способ вывода таких величин из симметрии. Например, сохранение энергии является результатом инвариантности лагранжиана относительно сдвигов начала координат времени , сохранение линейного момента является результатом инвариантности лагранжиана относительно сдвигов начала координат пространства ( трансляционная симметрия ), а сохранение углового момента является результатом инвариантность лагранжиана относительно вращений . Обратное также верно; каждая симметрия лагранжиана соответствует константе движения, часто называемой сохраняющимся зарядом или током .
• Величина является константой движения, если ее полная производная по времени равна нулю. ${\displaystyle A}$
  $${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\{A,H\},}$$
  что происходит, когда скобка Пуассона с гамильтонианом равна минус его частная производная по времени ^[1] ${\displaystyle A}$
  $${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=-\{A,H\}.}$$

Еще одним полезным результатом является теорема Пуассона , которая утверждает, что если две величины и являются константами движения, то такой же является и их скобка Пуассона . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{A,B\}}$

Система с п степенями свободы и п константами движения, такая, что скобка Пуассона любой пары констант движения обращается в нуль, называется полностью интегрируемой системой . Говорят, что такой набор констант движения находится в инволюции друг с другом. Для замкнутой системы ( лагранжиана , не зависящего явно от времени) энергия системы является константой движения ( сохраняющейся величиной ).

В квантовой механике

Наблюдаемая величина Q будет константой движения, если она коммутирует с гамильтонианом H и сама не зависит явно от времени. Это потому что

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \,}$$

$${\displaystyle [H,Q]=HQ-QH\,}$$

Вывод

Скажем, существует некоторая наблюдаемая величина Q , которая зависит от положения, импульса и времени:

$${\displaystyle Q=Q(x,p,t)}$$

А также, что существует волновая функция , подчиняющаяся уравнению Шрёдингера

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi .}$$

Взятие производной по времени от ожидаемого значения Q требует использования правила произведения и приводит к

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle &={\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|Q\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=\left({\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|\right)Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|Q\left({\frac {d}{dt}}\left|\psi \right\rangle \right)\\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle H\psi \right|Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|Q\left|H\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|HQ\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|QH\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \end{aligned}}}$$

Итак, наконец,

Комментарий

Для произвольного состояния квантовомеханической системы, если H и Q коммутируют, т. е. если

$${\displaystyle \left[H,Q\right]=0}$$

Q

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}$$

Но если – собственная функция гамильтониана, то даже если ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \left[H,Q\right]\neq 0}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}$$

Q

Вывод

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left(HQ-QH\right)|\psi \rangle }$$

$${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle \,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle &=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(E\langle \psi |Q|\psi \rangle -E\langle \psi |Q|\psi \rangle \right)\\[1ex]&=0\end{aligned}}}$$

Актуальность для квантового хаоса

В общем случае интегрируемая система имеет константы движения, отличные от энергии. Напротив, энергия — единственная константа движения в неинтегрируемой системе ; такие системы называются хаотическими. В общем, классическую механическую систему можно квантовать, только если она интегрируема; по состоянию на 2006 год не существует известного последовательного метода квантования хаотических динамических систем.

Интеграл движения

Константа движения может быть определена в данном силовом поле как любая функция координат в фазовом пространстве (положение и скорость или положение и импульс) и времени, которая постоянна на протяжении всей траектории. Подмножеством констант движения являются интегралы движения или первые интегралы , определяемые как любые функции только координат фазового пространства, которые постоянны вдоль орбиты. Каждый интеграл движения является константой движения, но обратное неверно, поскольку константа движения может зависеть от времени. ^[2] Примерами интегралов движения являются вектор углового момента или гамильтониан без зависимости от времени, например . Примером функции, которая является константой движения, но не интегралом движения, может быть функция для объекта, движущегося с постоянной скоростью в одном измерении. ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {v} }$ ${\textstyle H(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle C(x,v,t)=x-vt}$

Наблюдаемые Дирака

Чтобы извлечь физическую информацию из калибровочных теорий , нужно либо построить калибровочно-инвариантные наблюдаемые, либо фиксировать калибровку. На каноническом языке это обычно означает либо построение функций, коммутирующих по Пуассону на поверхности ограничений с калибровкой, порождающей ограничения первого класса, либо фиксирование потока последних путем выделения точек внутри каждой калибровочной орбиты. Таким образом, такие калибровочно-инвариантные наблюдаемые являются «константами движения» калибровочных генераторов и называются наблюдаемыми Дирака.

Рекомендации

1. Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (1960). Механика . Пергамон Пресс. п. 135. ИСБН 0-7506-2896-0.
2. Бинни Дж. и Тремейн С.: Галактическая динамика. Издательство Принстонского университета. 27 января 2008 г. ISBN. 9780691130279. Проверено 5 мая 2011 г.

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-Х.