Закон смещения Вина

Relation between peak wavelengths of black body radiation and temperature

Излучение черного тела как функция длины волны для различных температур. Каждая температурная кривая достигает пика при разной длине волны, и закон Вина описывает смещение этого пика.

Существует множество способов связать характерную длину волны или частоту со спектром излучения черного тела Планка. Каждая из этих метрик масштабируется аналогично температуре, принцип, называемый законом смещения Вина. Для разных версий закона константа пропорциональности отличается — поэтому для данной температуры не существует уникальной характерной длины волны или частоты.

В физике закон смещения Вина гласит , что кривая излучения черного тела для разных температур будет достигать пика на разных длинах волн , которые обратно пропорциональны температуре. Смещение этого пика является прямым следствием закона излучения Планка , который описывает спектральную яркость или интенсивность излучения черного тела как функцию длины волны при любой заданной температуре. Однако он был открыт немецким физиком Вильгельмом Вином за несколько лет до того, как Макс Планк разработал это более общее уравнение, и описывает весь сдвиг спектра излучения черного тела в сторону более коротких длин волн при повышении температуры.

Формально, версия закона смещения Вина для длины волны гласит, что спектральная яркость излучения черного тела на единицу длины волны достигает пика при длине волны, определяемой выражением: где T — абсолютная температура , а b — константа пропорциональности, называемая константой смещения Вина , равная ${\displaystyle \lambda _{\text{peak}}}$ $${\displaystyle \lambda _{\text{peak}}={\frac {b}{T}}}$$2,897 771 955 ... × 10 ⁻³  м⋅К , ^{[1] [2]} или b ≈ 2898 мкм ⋅К .

Это обратная зависимость между длиной волны и температурой. Таким образом, чем выше температура, тем короче или меньше длина волны теплового излучения. Чем ниже температура, тем длиннее или больше длина волны теплового излучения. Для видимого излучения горячие объекты излучают более синий свет, чем холодные объекты. Если рассматривать пик излучения черного тела на единицу частоты или на пропорциональную ширину полосы пропускания, необходимо использовать другую константу пропорциональности. Однако форма закона остается прежней: пиковая длина волны обратно пропорциональна температуре, а пиковая частота прямо пропорциональна температуре.

Существуют и другие формулировки закона смещения Вина, которые параметризованы относительно других величин. Для этих альтернативных формулировок форма соотношения похожа, но константа пропорциональности b отличается.

Закон смещения Вина можно назвать просто «законом Вина», этот термин также используется для обозначения приближения Вина .

В «законе смещения Вина» слово «смещение» относится к тому, как графики зависимости интенсивности от длины волны выглядят смещенными (перемещенными) при различных температурах.

Примеры

Кузнецы обрабатывают железо , когда оно достаточно горячее, чтобы испускать отчетливо видимое тепловое излучение .

Цвет звезды определяется ее температурой, согласно закону Вина. В созвездии Ориона можно сравнить Бетельгейзе ( T  ≈ 3800 K, вверху слева), Ригель ( T  = 12100 K, внизу справа), Беллатрикс ( T  = 22000 K, вверху справа) и Минтака ( T  = 31800 K, самая правая из трех «звезд пояса» в середине).

Закон смещения Вина применим к некоторым повседневным ситуациям:

• Кусок металла, нагретый паяльной лампой, сначала становится «красно-красным», поскольку самые длинные видимые длины волн кажутся красными, затем становится более оранжево-красным по мере повышения температуры, а при очень высоких температурах его можно описать как «бело-красный», поскольку все более короткие длины волн начинают преобладать в спектре излучения черного тела. Еще до того, как он достиг температуры красного каления, тепловое излучение в основном находилось в более длинных инфракрасных длинах волн, которые не видны; тем не менее, это излучение можно было почувствовать, поскольку оно нагревало кожу человека.
• Легко наблюдать изменения цвета лампы накаливания (которая излучает свет посредством теплового излучения), когда температура ее нити накаливания изменяется с помощью регулятора яркости света . По мере того, как свет тускнеет и температура нити накаливания снижается, распределение цвета смещается в сторону более длинных волн, и свет кажется более красным, а также более тусклым.
• Древесный огонь при температуре 1500 К испускает пиковое излучение около 2000 нанометров. 98% его излучения приходится на длины волн длиннее 1000 нм, и только небольшая часть — на видимые длины волн (390–700 нанометров). Следовательно, костер может согреть человека, но является плохим источником видимого света.
• Эффективная температура Солнца составляет 5778 Кельвинов. Используя закон Вина, можно найти пиковое излучение на нанометр (длины волны) на длине волны около 500 нм, в зеленой части спектра вблизи пиковой чувствительности человеческого глаза. ^{[3] [4]} С другой стороны, с точки зрения мощности на единицу оптической частоты пиковое излучение Солнца приходится на 343 ТГц или длину волны 883 нм в ближнем инфракрасном диапазоне. С точки зрения мощности на процент ширины полосы, пик приходится на длину волны около 635 нм, красную длину волны. Около половины излучения Солнца приходится на длины волн короче 710 нм, что составляет предел человеческого зрения. Из них около 12% приходится на длины волн короче 400 нм, ультрафиолетовые длины волн, которые невидимы невооруженным глазом человека. Большое количество излучения Солнца попадает в довольно узкий видимый спектр .
• Однако преобладание излучения в видимом диапазоне не характерно для большинства звезд . Горячий сверхгигант Ригель излучает 60% своего света в ультрафиолетовом диапазоне, в то время как холодный сверхгигант Бетельгейзе излучает 85% своего света в инфракрасном диапазоне. Поскольку обе звезды находятся в созвездии Ориона , можно легко оценить разницу в цвете между сине-белым Ригелем ( T  = 12100 K) и красной Бетельгейзе ( T  ≈ 3800 K). ^[5] Хотя немногие звезды столь же горячи, как Ригель, звезды холоднее Солнца или даже такие же холодные, как Бетельгейзе, встречаются очень часто.
• Млекопитающие с температурой кожи около 300 К испускают пиковое излучение около 10 мкм в дальнем инфракрасном диапазоне. Следовательно, это диапазон инфракрасных длин волн, которые должны воспринимать змеи- гадюки и пассивные ИК-камеры .
• При сравнении видимого цвета источников освещения (включая флуоресцентные лампы , светодиодное освещение , компьютерные мониторы и фотовспышки ) принято ссылаться на цветовую температуру . Хотя спектры таких источников света неточно описываются кривой излучения черного тела, указывается цветовая температура ( коррелированная цветовая температура ), при которой излучение черного тела будет наиболее близко соответствовать субъективному цвету этого источника. Например, сине-белый флуоресцентный свет, иногда используемый в офисе, может иметь цветовую температуру 6500 К, тогда как красноватый оттенок приглушенного света лампы накаливания может иметь цветовую температуру (и фактическую температуру нити накаливания) 2000 К. Обратите внимание, что неформальное описание первого (голубоватого) цвета как «холодного», а второго (красноватого) как «теплого» прямо противоположно фактическому изменению температуры, связанному с излучением черного тела.

Открытие

Закон назван в честь Вильгельма Вина , который вывел его в 1893 году на основе термодинамического аргумента. ^[6] Вин рассмотрел адиабатическое расширение полости, содержащей волны света в тепловом равновесии. Используя принцип Доплера , он показал, что при медленном расширении или сжатии энергия света, отражающегося от стенок, изменяется точно так же, как и частота. Общий принцип термодинамики заключается в том, что состояние теплового равновесия при очень медленном расширении остается в тепловом равновесии.

Сам Вин вывел этот закон теоретически в 1893 году, следуя термодинамическим рассуждениям Больцмана. Ранее он наблюдался, по крайней мере полуколичественно, американским астрономом Лэнгли . Этот сдвиг вверх по с знаком каждому — когда железо нагревается на огне, первое видимое излучение (примерно при 900 К) — темно-красное, самая низкочастотная часть видимого света. Дальнейшее увеличение приводит к изменению цвета на оранжевый, затем на желтый и, наконец, на синий при очень высоких температурах (10 000 К или более), для которых пик интенсивности излучения сместился за пределы видимого в ультрафиолет. ^[7] ${\displaystyle \nu _{\mathrm {peak} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Адиабатический принцип позволил Вину заключить, что для каждой моды адиабатическая инвариантная энергия/частота является только функцией другого адиабатического инварианта, частоты/температуры. Из этого он вывел «сильную версию» закона смещения Вина: утверждение, что спектральная яркость черного тела пропорциональна для некоторой функции F одной переменной. Современный вариант вывода Вина можно найти в учебнике Ванье ^[8] и в статье Э. Бакингема ^[9] ${\displaystyle \nu ^{3}F(\nu /T)}$

Следствием этого является то, что форма функции излучения черного тела (которая еще не была понята) будет смещаться пропорционально частоте (или обратно пропорционально длине волны) с температурой. Когда Макс Планк позже сформулировал правильную функцию излучения черного тела, она явно не включала постоянную Вина . Вместо этого постоянная Планка была создана и введена в его новую формулу. Из постоянной Планка и постоянной Больцмана можно получить постоянную Вина . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b}$

Пик отличается в зависимости от параметризации

Результаты в таблицах выше суммируют результаты из других разделов этой статьи. Процентили являются процентилями спектра черного тела Планка. ^[10] Только 25 процентов энергии в спектре черного тела связано с длинами волн короче значения, заданного версией закона Вина для пиковой длины волны.

Спектр черного тела Планка, параметризованный длиной волны, дробной шириной полосы (логарифмом длины волны или логарифмом частоты) и частотой для температуры 6000 К.

Обратите внимание, что для данной температуры разные параметризации подразумевают разные максимальные длины волн. В частности, кривая интенсивности на единицу частоты достигает пика на другой длине волны, чем кривая интенсивности на единицу длины волны. ^[11]

Например, при использовании = 6000 K (5730 °C; 10340 °F) и параметризации по длине волны длина волны для максимальной спектральной яркости равна = 482,962 нм с соответствующей частотой = 620,737 ТГц . Для той же температуры, но параметризации по частоте, частота для максимальной спектральной яркости равна = 352,735 ТГц с соответствующей длиной волны = 849,907 нм . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \lambda }$

Эти функции являются функциями плотности излучения , которые являются функциями плотности вероятности, масштабированными для получения единиц излучения. Функция плотности имеет разные формы для разных параметризаций в зависимости от относительного растяжения или сжатия абсциссы, которая измеряет изменение плотности вероятности относительно линейного изменения заданного параметра. Поскольку длина волны и частота имеют обратную связь, они представляют собой существенно нелинейные сдвиги плотности вероятности относительно друг друга.

Полная яркость — это интеграл распределения по всем положительным значениям, и это инвариант для данной температуры при любой параметризации. Кроме того, для данной температуры яркость, состоящая из всех фотонов между двумя длинами волн, должна быть одинаковой независимо от того, какое распределение вы используете. То есть, интегрирование распределения длин волн от до приведет к тому же значению, что и интегрирование распределения частот между двумя частотами, которые соответствуют и , а именно от до . ^{[12] Однако} форма распределения зависит от параметризации, и для другой параметризации распределение, как правило, будет иметь другую пиковую плотность, как показывают эти расчеты. ^[11] ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle c/\lambda _{2}}$ ${\displaystyle c/\lambda _{1}}$

Однако важным моментом закона Вина является то, что любой такой маркер длины волны, включая медианную длину волны (или, альтернативно, длину волны, ниже которой происходит любой указанный процент излучения), пропорционален обратной величине температуры. То есть, форма распределения для данной параметризации масштабируется и транслируется в соответствии с температурой и может быть рассчитана один раз для канонической температуры, а затем соответствующим образом смещена и масштабирована, чтобы получить распределение для другой температуры. Это следствие сильного утверждения закона Вина.

Частотно-зависимая формулировка

Для спектрального потока, рассматриваемого на единицу частоты (в герцах ), закон смещения Вина описывает пиковое излучение на оптической частоте, определяемое выражением: ^[13] или, что эквивалентно, где = ${\displaystyle d\nu }$ ${\displaystyle \nu _{\text{peak}}}$ $${\displaystyle \nu _{\text{peak}}={x \over h}k\,T\approx (5.879\times 10^{10}\ \mathrm {Hz/K} )\cdot T}$$ $${\displaystyle h\nu _{\text{peak}}=x\,k\,T\approx (2.431\times 10^{-4}\ \mathrm {eV/K} )\cdot T}$$ ${\displaystyle x}$2,821 439 372 122 078 893 ... ^[14] — константа, полученная из уравнения максимизации, k — постоянная Больцмана , h — постоянная Планка , а T — абсолютная температура. При излучении, рассматриваемом теперь на единицу частоты, этот пик теперь соответствует длине волны примерно на 76% длиннее пика, рассматриваемого на единицу длины волны. Соответствующая математика подробно описана в следующем разделе.

Вывод из закона Планка

Параметризация по длине волны

Закон Планка для спектра излучения черного тела предсказывает закон смещения Вина и может быть использован для численной оценки постоянной, связывающей температуру и пиковое значение параметра для любой конкретной параметризации. Обычно используется параметризация длины волны, и в этом случае спектральная яркость черного тела (мощность на излучающую площадь на телесный угол) равна: $${\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.}$$

Дифференцируя по и приравнивая производную к нулю, получаем: что можно упростить так: ${\displaystyle u(\lambda ,T)}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,}$$ $${\displaystyle {hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.}$$

Определив: уравнение становится уравнением с одной переменной x : что эквивалентно: $${\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kT},}$$ $${\displaystyle {xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.}$$ $${\displaystyle x=5(1-e^{-x})\,.}$$

Это уравнение решается следующим образом: где — главная ветвь функции Ламберта W , и дает $${\displaystyle x=5+W_{0}(-5e^{-5})}$$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle x=}$ 4,965 114 231 744 276 303 ... . ^[15] Решая для длины волныв миллиметрах и используя кельвины для температуры, получаем: ^{[16] [2]} ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;}$(2,897 771 955 185 172 661 ... мм⋅К ) . ${\displaystyle /T}$

Параметризация по частоте

Другая распространенная параметризация — по частоте . Вывод, дающий пиковое значение параметра, аналогичен, но начинается с формы закона Планка как функции частоты : ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={2h\nu ^{3} \over c^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.}$$

Предыдущий процесс с использованием этого уравнения дает: Конечный результат: Это аналогично решается с помощью функции Ламберта W : ^[17] давая = $${\displaystyle -{h\nu \over kT}{e^{h\nu /kT} \over e^{h\nu /kT}-1}+3=0.}$$ $${\displaystyle x=3(1-e^{-x})\,.}$$ $${\displaystyle x=3+W_{0}(-3e^{-3})}$$ ${\displaystyle x}$2.821 439 372 122 078 893 ... . ^[14]

Решение для производит: ^[13] ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nu _{\mathrm {peak} }=xkT/h=}$(0,058 789 257 576 468 249 46 ... ТГц⋅К ^-1 ) . ${\displaystyle \cdot T}$

Параметризация по логарифму длины волны или частоты

Использование неявного уравнения дает пик в функции спектральной плотности излучения, выраженный в параметре яркости на пропорциональную ширину полосы пропускания . (То есть плотность излучения на полосу пропускания частоты, пропорциональную самой частоте, которую можно вычислить, рассматривая бесконечно малые интервалы (или эквивалентно ), а не самой частоты.) Это, возможно, более интуитивный способ представления «длины волны пикового излучения». Это дает = ${\displaystyle x=4(1-e^{-x})}$ ${\displaystyle \ln \nu }$ ${\displaystyle \ln \lambda }$ ${\displaystyle x}$3,920 690 394 872 886 343 ... . ^[18]

Средняя энергия фотона как альтернативная характеристика

Другой способ характеризовать распределение яркости — через среднюю энергию фотона ^[11], где — дзета-функция Римана . Длина волны, соответствующая средней энергии фотона, определяется как $${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T\approx (\mathrm {3.7294\times 10^{-23}\,J/K} )\cdot T\;,}$$ ${\displaystyle \zeta }$ $${\displaystyle \lambda _{\langle E\rangle }\approx (\mathrm {0.532\,65\,cm{\cdot }K} )/T\,.}$$

Критика

Марр и Уилкин (2012) утверждают, что широкое преподавание закона смещения Вина во вводных курсах нежелательно, и его лучше заменить альтернативным материалом. Они утверждают, что преподавание закона проблематично, потому что:

1. кривая Планка слишком широка, чтобы пик выделялся или считался значимым;
2. местоположение пика зависит от параметризации, и они ссылаются на несколько источников, которые сходятся во мнении, что «обозначение любого пика функции не имеет смысла и, следовательно, должно быть ослаблено»;
3. На практике этот закон не используется для определения температур, вместо этого полагаются на прямое использование функции Планка .

Они предлагают представить среднюю энергию фотона вместо закона смещения Вина, как более физически значимый индикатор изменений, происходящих при изменении температуры. В связи с этим они рекомендуют обсуждать среднее число фотонов в секунду в связи с законом Стефана-Больцмана . Они рекомендуют изобразить спектр Планка как «спектральную плотность энергии на распределение дробной полосы пропускания», используя логарифмическую шкалу для длины волны или частоты. ^[11]

Смотрите также

• приближение Вина
• Излучательная способность
• Уравнение Сакумы–Хаттори
• Закон Стефана-Больцмана
• Термометр
• Ультрафиолетовая катастрофа

Ссылки

1. "Значение CODATA 2022: константа закона смещения длины волны Вина". Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . NIST . Май 2024 г. Получено 18 мая 2024 г.
2. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A081819 (Десятичное разложение константы закона смещения длины волны Вина)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
3. Уокер, Дж. Основы физики, 8-е изд., John Wiley and Sons, 2008, стр. 891. ISBN 9780471758013 . 
4. Фейнман, Р.; Лейтон, Р.; Сэндс, М. Фейнмановские лекции по физике, т. 1, стр. 35-2 – 35-3. ISBN 0201510030 . 
5. Нойхойзер, Р.; Торрес, Г.; Муграуэр, М.; Нойхойзер, Д.Л.; Чапман, Дж.; Люге, Д.; Коски, М. (29 июля 2022 г.). «Цветовая эволюция Бетельгейзе и Антареса на протяжении двух тысячелетий, полученная из исторических записей, как новое ограничение на массу и возраст». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 516 (1): 693–719. arXiv : 2207.04702 . doi : 10.1093/mnras/stac1969 . ISSN  0035-8711.
6. Mehra, J. ; Rechenberg, H. (1982). Историческое развитие квантовой теории . Нью-Йорк: Springer-Verlag. Глава 1. ISBN 978-0-387-90642-3.
7. "1.1: Излучение черного тела невозможно объяснить классически". 18 марта 2020 г.
8. Ванье, ГХ (1987) [1966]. Статистическая физика . Dover Publications . Глава 10.2. ISBN 978-0-486-65401-0. OCLC  15520414.
9. Buckingham, E. (1912). «О выведении закона смещения Вина» (PDF) . Bulletin of the Bureau of Standards . 8 (3): 545–557. doi :10.6028/bulletin.196. Архивировано из оригинала (PDF) 6 декабря 2020 г. . Получено 18 октября 2020 г. .
10. Лоуэн, А. Н.; Бланч, Г. (1940). «Таблицы функций излучения и фотонов Планка». Журнал Оптического общества Америки . 30 (2): 70. Bibcode : 1940JOSA...30...70L. doi : 10.1364/JOSA.30.000070.
11. Марр, Джонатан М.; Уилкин, Фрэнсис П. (2012). «Лучшее представление закона излучения Планка». American Journal of Physics . 80 (5): 399. arXiv : 1109.3822 . Bibcode : 2012AmJPh..80..399M. doi : 10.1119/1.3696974. S2CID  10556556.
12. Кинг, Фрэнк (2003). «Вероятность 2003-04, Глава 11, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПЛОТНОСТИ». Кембриджский университет.
13. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A357838 (десятичное разложение константы закона смещения частоты Вина)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
14. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A194567". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
15. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A094090". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
16. Das, Biman (2002). «Получение закона смещения Вина из закона излучения Планка». The Physics Teacher . 40 (3): 148–149. Bibcode : 2002PhTea..40..148D. doi : 10.1119/1.1466547.
17. Уильямс, Брайан Уэсли (2014). «Конкретная математическая форма закона смещения Вина при νmax/T = константа». Журнал химического образования . 91 (5): 623. Bibcode : 2014JChEd..91..623W. doi : 10.1021/ed400827f .
18. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A256501". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

Дальнейшее чтение

• Соффер, Б. Х.; Линч, Д. К. (1999). «Некоторые парадоксы, ошибки и решения, касающиеся спектральной оптимизации человеческого зрения». American Journal of Physics . 67 (11): 946–953. Bibcode : 1999AmJPh..67..946S. doi : 10.1119/1.19170. S2CID  16025855.
• Хилд, МА (2003). «Где находится „пик Вены“?». Американский журнал физики . 71 (12): 1322–1323. Bibcode : 2003AmJPh..71.1322H. doi : 10.1119/1.1604387.

Внешние ссылки

• Мир физики Эрика Вайсштейна