Магическая константа или магическая сумма магического квадрата — это сумма чисел в любой строке, столбце или диагонали магического квадрата. Например, магический квадрат, показанный ниже, имеет магическую константу 15. Для обычного магического квадрата порядка n – то есть магического квадрата, который содержит числа 1, 2, ..., n 2 – магическая константа равна .
Для обычных магических квадратов порядков n = 3, 4, 5, 6, 7 и 8 магическими константами являются соответственно: 15, 34, 65, 111, 175 и 260 (последовательность A006003 в OEIS ) . Например, обычный квадрат 8 × 8 всегда будет равен 260 для каждой строки, столбца или диагонали. Нормальная магическая константа порядка n равна п 3 + н/2 . Самая большая магическая константа обычного магического квадрата, которая также является:
Обратите внимание, что 0 и 1 — единственные нормальные магические константы рационального порядка, которые также являются рациональными квадратами.
Однако существует бесконечно много рациональных треугольных чисел, рациональных обобщенных пятиугольных чисел и рациональных тетраэдрических чисел, которые также являются магическими константами рационального порядка.
Термин «магическая константа» или «магическая сумма » аналогичным образом применяется и к другим «магическим» фигурам, таким как волшебные звезды и магические кубы . Числовые фигуры на треугольной сетке, разделенные на равные области полиромба, содержащие равные суммы, дают магическую константу полиромба. [1]
Магическая константа n -конечной нормальной волшебной звезды равна .
В 2013 году Дирк Киннес нашел многогранник волшебной серии . Теперь известно количество уникальных последовательностей, образующих магическую константу, с точностью до . [2]
В массовой модели значение в каждой ячейке определяет массу этой ячейки. [3] Эта модель имеет два примечательных свойства. Во-первых, это демонстрирует сбалансированную природу всех магических квадратов. Если такую модель подвешивать к центральной ячейке, конструкция уравновешивается. (рассмотрим магические суммы строк/столбцов... равная масса на равном расстоянии). Второе свойство, которое можно вычислить, — это момент инерции . Суммирование отдельных моментов инерции (квадрат расстояния от центра × значение ячейки) дает момент инерции магического квадрата, который зависит исключительно от порядка квадрата. [4]
