Структурные константы

Коэффициенты алгебры над полем

Используя перекрестное произведение как скобку Ли, алгебра 3-мерных действительных векторов является алгеброй Ли, изоморфной алгебрам Ли SU(2) и SO(3). Структурные константы равны , где — антисимметричный символ Леви-Чивиты . ${\displaystyle f^{abc}=\epsilon ^{abc}}$ ${\displaystyle \epsilon ^{abc}}$

В математике структурные константы или структурные коэффициенты алгебры над полем являются коэффициентами базисного разложения (в линейную комбинацию базисных векторов) произведений базисных векторов . Поскольку операция произведения в алгебре билинейна, по линейности знание произведения базисных векторов позволяет вычислить произведение любых элементов (точно так же, как матрица позволяет вычислить действие линейного оператора на любой вектор, предоставляя действие оператора на базисные векторы). Поэтому структурные константы можно использовать для указания операции произведения алгебры (точно так же, как матрица определяет линейный оператор). Учитывая структурные константы, результирующее произведение получается по билинейности и может быть однозначно расширено на все векторы в векторном пространстве, тем самым однозначно определяя произведение для алгебры.

Структурные константы используются всякий раз, когда необходимо задать явную форму алгебры. Таким образом, они часто используются при обсуждении алгебр Ли в физике , поскольку базисные векторы указывают конкретные направления в физическом пространстве или соответствуют конкретным частицам (напомним, что алгебры Ли — это алгебры над полем, причем билинейное произведение задается скобкой Ли , обычно определяемой через коммутатор ).

Определение

При наличии набора базисных векторов для базового векторного пространства алгебры операция произведения однозначно определяется произведениями базисных векторов: ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf {c} _{ij}}$.

Структурные константы или структурные коэффициенты — это просто коэффициенты в одном и том же базисе: ${\displaystyle c_{ij}^{\;k}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf {c} _{ij}=\sum _{k}c_{ij}^{\;\;k}\mathbf {e} _{k}}$.

Иначе говоря, это коэффициенты, которые выражаются в виде линейной комбинации базисных векторов . ${\displaystyle \mathbf {c} _{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

Верхние и нижние индексы часто не различаются, если только алгебра не наделена какой-либо другой структурой, которая этого требует (например, псевдориманова метрика на алгебре неопределенной ортогональной группы so( p , q )). То есть структурные константы часто записываются с использованием всех верхних или всех нижних индексов. Различие между верхними и нижними является тогда соглашением, напоминающим читателю, что нижние индексы ведут себя как компоненты дуального вектора , т. е. ковариантны относительно изменения базиса , тогда как верхние индексы контравариантны .

Структурные константы, очевидно, зависят от выбранного базиса. Для алгебр Ли часто используемым соглашением для базиса являются операторы лестницы, определяемые подалгеброй Картана ; это представлено далее в статье после некоторых предварительных примеров.

Пример: алгебры Ли

Для алгебры Ли базисные векторы называются генераторами алгебры , а произведение — скобкой Ли (часто скобка Ли — это дополнительная операция произведения, выходящая за рамки уже существующего произведения, что требует отдельного названия). Для двух векторов и в алгебре скобка Ли обозначается . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [A,B]}$

Опять же, нет особой необходимости различать верхние и нижние индексы; они могут быть записаны все вверху или все внизу. В физике принято использовать обозначения для генераторов и или (игнорируя верхнее-нижнее различие) для структурных констант. Линейное разложение скобки Ли пар генераторов тогда выглядит как ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle f_{ab}^{\;\;c}}$ ${\displaystyle f^{abc}}$

${\displaystyle [T_{a},T_{b}]=\sum _{c}f_{ab}^{\;\;c}T_{c}}$.

Опять же, путем линейного расширения структурные константы полностью определяют скобки Ли всех элементов алгебры Ли.

Все алгебры Ли удовлетворяют тождеству Якоби . Для базисных векторов его можно записать как

${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0}$

и это приводит непосредственно к соответствующей идентичности в терминах структурных констант:

${\displaystyle f_{ad}^{\;\;e}f_{bc}^{\;\;d}+f_{bd}^{\;\;e}f_{ca}^{\;\;d}+f_{cd}^{\;\;e}f_{ab}^{\;\;d}=0.}$

Вышеизложенное и остальная часть этой статьи использует правило суммирования Эйнштейна для повторяющихся индексов.

Структурные константы играют роль в представлениях алгебры Ли и фактически дают в точности матричные элементы присоединенного представления . Форма Киллинга и инвариант Казимира также имеют особенно простую форму, когда записаны в терминах структурных констант.

Структурные константы часто появляются в приближении к формуле Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа для произведения двух элементов группы Ли . Для малых элементов алгебры Ли структура группы Ли вблизи единичного элемента задается выражением ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)\approx \exp(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]).}$

Обратите внимание на фактор 1/2. Они также появляются в явных выражениях для дифференциалов, таких как ; см. формулу Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа#бесконечно малый случай для подробностей. ${\displaystyle e^{-X}de^{X}}$

Примеры алгебры Ли

𝔰𝔲(2) и 𝔰𝔬(3)

Алгебра специальной унитарной группы SU(2) является трехмерной, с генераторами, заданными матрицами Паули . Генераторы группы SU(2) удовлетворяют коммутационным соотношениям (где — символ Леви-Чивита ): где ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{abc}}$ $${\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon ^{abc}\sigma _{c}}$$ $${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},~~\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},~~\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$

В этом случае константы структуры равны . Обратите внимание, что константа 2 i может быть включена в определение базисных векторов; таким образом, определяя , можно с тем же успехом записать ${\displaystyle f^{abc}=2i\varepsilon ^{abc}}$ ${\displaystyle t_{a}=-i\sigma _{a}/2}$ $${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=\varepsilon ^{abc}t_{c}}$$

Это подчеркивает, что алгебра Ли группы Ли SU(2) изоморфна алгебре Ли SO (3) . Это приводит структурные константы в соответствие с константами группы вращения SO(3) . То есть коммутатор для операторов углового момента обычно записывается как , где записываются так, чтобы подчиняться правилу правой руки для вращений в трехмерном пространстве. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ $${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\varepsilon ^{ijk}L_{k}}$$ $${\displaystyle L_{x}=L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}},~~L_{y}=L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}},~~L_{z}=L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$$

Разница в множителе 2 i между этими двумя наборами структурных констант может быть раздражающей, поскольку она подразумевает некоторую тонкость. Так, например, двумерному комплексному векторному пространству можно придать действительную структуру . Это приводит к двум неэквивалентным двумерным фундаментальным представлениям , которые изоморфны, но являются комплексно сопряженными представлениями ; оба, однако, считаются действительными представлениями , именно потому, что они действуют на пространство с действительной структурой . ^[1] В случае трех измерений существует только одно трехмерное представление, сопряженное представление , которое является действительным представлением ; точнее, оно совпадает со своим дуальным представлением , показанным выше. То есть, получается, что транспонирование равно минусу самого себя: ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle L_{k}^{T}=-L_{k}.}$

В любом случае группы Ли считаются действительными именно потому, что структурные константы можно записать так, что они будут чисто действительными.

𝔰𝔲(3)

Менее тривиальный пример дает SU(3) : ^[2]

Его генераторы T в определяющем представлении следующие:

${\displaystyle T^{a}={\frac {\lambda ^{a}}{2}}.\,}$

где матрицы Гелл-Манна являются аналогами матриц Паули для SU(2) для SU(3): ${\displaystyle \lambda \,}$

Они подчиняются соотношениям

${\displaystyle \left[T^{a},T^{b}\right]=if^{abc}T^{c}\,}$

${\displaystyle \{T^{a},T^{b}\}={\frac {1}{3}}\delta ^{ab}+d^{abc}T^{c}.\,}$

Структурные константы полностью антисимметричны. Они определяются как:

${\displaystyle f^{123}=1\,}$

${\displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,}$

${\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}},\,}$

а все остальные, не связанные с ними перестановкой индексов, равны нулю. ${\displaystyle f^{abc}}$

D принимает значения :

${\displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}$

${\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}$

${\displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}.\,}$

𝔰𝔲(Н)

Для общего случая 𝔰𝔲(N) существует замкнутая формула для получения структурной константы без необходимости вычисления коммутационных и антикоммутационных соотношений между генераторами. Сначала мы определяем генераторы 𝔰𝔲(N) на основе обобщения матриц Паули и матриц Гелл-Манна (используя обозначение скобок, где — единица матрицы). Существуют симметричные матрицы, ${\displaystyle N^{2}-1}$ ${\displaystyle |m\rangle \langle n|}$ ${\displaystyle N(N-1)/2}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{\alpha _{nm}}={\frac {1}{2}}(|m\rangle \langle n|+|n\rangle \langle m|)}$,

${\displaystyle N(N-1)/2}$антисимметричные матрицы,

${\displaystyle {\hat {T}}_{\beta _{nm}}=-i{\frac {1}{2}}(|m\rangle \langle n|-|n\rangle \langle m|)}$,

и диагональные матрицы, ${\displaystyle N-1}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{\gamma _{n}}={\frac {1}{\sqrt {2n(n-1)}}}{\Big (}\sum _{l=1}^{n-1}|l\rangle \langle l|+(1-n)|n\rangle \langle n|){\Big )}}$.

Для дифференциации этих матриц мы определяем следующие индексы:

${\displaystyle \alpha _{nm}=n^{2}+2(m-n)-1}$,

${\displaystyle \beta _{nm}=n^{2}+2(m-n)}$,

${\displaystyle \gamma _{n}=n^{2}-1}$,

с условием . ${\displaystyle 1\leq m<n\leq N}$

Все ненулевые полностью антисимметричные структурные константы равны

${\displaystyle f^{\alpha _{nm}\alpha _{kn}\beta _{km}}=f^{\alpha _{nm}\alpha _{nk}\beta _{km}}=f^{\alpha _{nm}\alpha _{km}\beta _{kn}}={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle f^{\beta _{nm}\beta _{km}\beta _{kn}}={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{m}}=-{\sqrt {\frac {m-1}{2m}}},~f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{n}}={\sqrt {\frac {n}{2(n-1)}}}}$,

${\displaystyle f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {1}{2k(k-1)}}},~m<k<n}$.

Все ненулевые полностью симметричные структурные константы равны

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{kn}\alpha _{km}}=d^{\alpha _{nm}\beta _{kn}\beta _{km}}=d^{\alpha _{nm}\beta _{mk}\beta _{nk}}={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\beta _{nk}\beta _{km}}=-{\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{m}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{m}}=-{\sqrt {\frac {m-1}{2m}}}}$,

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{k}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {1}{2k(k-1)}}},~m<k<n}$,

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{n}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{n}}={\frac {2-n}{\sqrt {2n(n-1)}}}}$,

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{k}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {2}{k(k-1)}}},~n<k}$,

${\displaystyle d^{\gamma _{n}\gamma _{k}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {2}{n(n-1)}}},~k<n}$,

${\displaystyle d^{\gamma _{n}\gamma _{n}\gamma _{n}}=(2-n){\sqrt {\frac {2}{n(n-1)}}}}$.

Более подробную информацию о выводе см. в ^[3] и ^{[4] .}

Примеры из других алгебр

Полиномы Холла

Полиномы Холла являются структурными константами алгебры Холла .

алгебры Хопфа

В дополнение к произведению, копроизведение и антипод алгебры Хопфа могут быть выражены в терминах структурных констант. Связующая аксиома, которая определяет условие согласованности на алгебре Хопфа, может быть выражена как отношение между этими различными структурными константами.

Приложения

• Группа Ли является абелевой именно тогда, когда все структурные константы равны 0.
• Группа Ли действительна ровно тогда, когда ее структурные константы действительны.
• Структурные константы полностью антисимметричны по всем индексам тогда и только тогда, когда алгебра Ли является прямой суммой простых компактных алгебр Ли .
• Нильпотентная группа Ли допускает решетку тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли допускает базис с рациональными структурными константами: это критерий Мальцева. Не все нильпотентные группы Ли допускают решетки; для получения более подробной информации см. также Рагхунатхан. ^[5]
• В квантовой хромодинамике символ представляет калибровочно-ковариантный тензор напряженности глюонного поля , аналогичный тензору напряженности электромагнитного поля , F ^μν , в квантовой электродинамике . Он задается как: ^[6] где f _abc — структурные константы SU (3). Обратите внимание, что правила для подъема или опускания индексов a , b или c тривиальны , (+,... +), так что f ^abc = f _abc = f ${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}\,}$ $${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{\mu }^{b}{\mathcal {A}}_{\nu }^{c}\,,}$$^{до нашей}
  _эрытогда как для индексов μ или ν имеются нетривиальные релятивистские правила, соответствующие, например, метрической сигнатуре (+ − − −).

Выбор базиса для алгебры Ли

Один из традиционных подходов к предоставлению базиса для алгебры Ли заключается в использовании так называемых «операторов лестницы», которые появляются как собственные векторы подалгебры Картана . Построение этого базиса с использованием общепринятых обозначений кратко изложено здесь. Альтернативную конструкцию ( конструкцию Серра ) можно найти в статье полупростая алгебра Ли .

Если задана алгебра Ли , подалгебра Картана является максимальной абелевой подалгеброй. По определению она состоит из тех элементов, которые коммутируют друг с другом. Ортонормированный базис может быть свободно выбран на ; запишем этот базис как с ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle H_{1},\cdots ,H_{r}}$

${\displaystyle \langle H_{i},H_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

где — скалярное произведение на векторном пространстве. Размерность этой подалгебры называется рангом алгебры. В присоединенном представлении матрицы взаимно коммутируют и могут быть одновременно диагонализированы. Матрицы имеют (одновременные) собственные векторы ; те, у которых собственное значение не равно нулю, обычно обозначаются как . Вместе с ними они охватывают все векторное пространство . Тогда коммутационные соотношения будут такими: ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} (H_{i})}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} (H_{i})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle E_{\alpha }}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0\quad {\mbox{and}}\quad [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }}$

Собственные векторы определяются только до общего масштаба; одна общепринятая нормализация заключается в установке ${\displaystyle E_{\alpha }}$

${\displaystyle \langle E_{\alpha },E_{-\alpha }\rangle =1}$

Это позволяет записать оставшиеся коммутационные соотношения как

${\displaystyle [E_{\alpha },E_{-\alpha }]=\alpha _{i}H_{i}}$

и

${\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }}$

с этим последним условием, что корни (определенные ниже) в сумме дают ненулевое значение: . Иногда их называют операторами лестницы , поскольку они обладают этим свойством повышения/понижения значения . ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \alpha +\beta \neq 0}$ ${\displaystyle E_{\alpha }}$ ${\displaystyle \beta }$

Для данного существует столько же, сколько и поэтому можно определить вектор , этот вектор называется корнем алгебры. Корни алгебр Ли появляются в регулярных структурах (например, в простых алгебрах Ли корни могут иметь только две разные длины); подробности см. в корневой системе . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle \alpha =\alpha _{i}H_{i}}$

Структурные константы обладают свойством, что они не равны нулю только тогда, когда являются корнем. Кроме того, они антисимметричны: ${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{\beta ,\alpha }}$

и всегда может быть выбрано таким образом, что

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{-\alpha ,-\beta }}$

Они также подчиняются условиям коцикла: ^[7]

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=N_{\beta ,\gamma }=N_{\gamma ,\alpha }}$

всякий раз , когда , а также что ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =0}$

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }N_{\gamma ,\delta }+N_{\beta ,\gamma }N_{\alpha ,\delta }+N_{\gamma ,\alpha }N_{\beta ,\delta }=0}$

в любое время . ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =0}$

Ссылки

1. Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
2. Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . Том 1. Основы. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7.
3. Боссион, Д.; Хуо, П. (2021). «Общие формулы структурных констант в алгебре Ли 𝔰𝔲(N)». arXiv : 2108.07219 [math-ph].
4. Bossion, D.; Ying, W.; Chowdhury, SN; Huo, P. (2022). "Неадиабатическая динамика отображения в фазовом пространстве группы Ли SU(N)". J. Chem. Phys . 157 (8): 084105. Bibcode :2022JChPh.157h4105B. doi :10.1063/5.0094893. PMID  36049982. S2CID  251187368.
5. Рагхунатхан, Мадабуси С. (2012) [1972]. "2. Решетки в нильпотентных группах Ли". Дискретные подгруппы групп Ли. Springer. ISBN 978-3-642-86428-5.
6. Эйдемюллер, М.; Дош, Х. Г.; Жамин, М. (2000) [1999]. "Коррелятор напряженности поля из правил сумм КХД". Nucl. Phys. B Proc. Suppl . 86 (1–3): 421–5. arXiv : hep-ph/9908318 . Bibcode :2000NuPhS..86..421E. doi :10.1016/S0920-5632(00)00598-3. S2CID  18237543.
7. Корнуэлл, Дж. Ф. (1984). Теория групп в физике . Том 2 Группы Ли и их приложения. Academic Press. ISBN 0121898040. OCLC  969857292.