В геометрии невсис ( νεῦσις ; от др.-греч. νεύειν ( neuein) «наклоняться к»; множественное число: νεύσεις , neuseis ) — геометрический метод построения , который использовался в древности греческими математиками .
Конструкция neusis состоит из размещения линейного элемента заданной длины ( a ) между двумя заданными линиями ( l и m ) таким образом, чтобы линейный элемент или его продолжение проходило через заданную точку P. То есть один конец линейного элемента должен лежать на l , другой конец на m , в то время как линейный элемент «наклонен» к P.
Точка P называется полюсом невзиса, линия l — директрисой, или направляющей линией, а линия m — линией захвата. Длина a называется диастемой ( греч . διάστημα , букв. «расстояние»).
Построение невзиса может быть выполнено с помощью отмеченной линейки, которая может вращаться вокруг точки P (это можно сделать, вставив булавку в точку P и затем прижав линейку к булавке). На рисунке один конец линейки отмечен желтым глазом с перекрестьем: это начало деления шкалы на линейке. Вторая отметка на линейке (синий глаз) указывает расстояние a от начала координат. Желтый глаз перемещается вдоль линии l , пока синий глаз не совпадет с линией m . Положение найденного таким образом элемента линии показано на рисунке в виде темно-синей полосы.
Пусть l будет горизонтальной линией на соседней диаграмме. Угол a (слева от точки B ) является предметом трисекции. Сначала на луче угла рисуется точка A , находящаяся на расстоянии одной единицы от B . Рисуется окружность радиуса AB . Затем в игру вступает разметка линейки: одна отметка линейки помещается в A , а другая в B . Удерживая линейку (но не отметку) касающейся A , линейку скользят и вращают до тех пор, пока одна отметка не окажется на окружности, а другая — на линии l . Отметка на окружности обозначается C , а отметка на линии обозначается D . Угол b = CDB равен одной трети угла a .
Нейсис был важен, потому что иногда он давал возможность решать геометрические задачи, которые невозможно решить с помощью только циркуля и линейки . Примерами являются трисекция любого угла на три равные части и удвоение куба . [1] [2] Такие математики, как Архимед из Сиракуз (287–212 до н. э.) и Папп Александрийский (290–350 н. э.) свободно использовали нейсис ; сэр Исаак Ньютон (1642–1726) следовал их ходу мысли и также использовал построения нейзиса. [3] Тем не менее, постепенно этот метод вышел из употребления.
В 2002 году А. Барагар показал, что каждая точка, которую можно построить с помощью отмеченной линейки и циркуля, лежит в башне полей над , , такой, что степень расширения на каждом шаге не превышает 6. Из всех многоугольников с простой степенью, меньших 128-угольника, этого достаточно, чтобы показать, что правильные 23- , 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, 89-, 103-, 107-, 113-, 121- и 127-угольники не могут быть построены с помощью невзиса. (Если правильный p -угольник конструктивен, то конструктивен, и в этих случаях p − 1 имеет простой множитель, больший 5.) 3- , 4- , 5- , 6- , 8- , 10- , 12- , 15- , 16- , 17- , 20- , 24- , 30- , 32- , 34-, 40-, 48-, 51-, 60-, 64-, 68-, 80-, 85-, 96-, 102-, 120- и 128-угольники можно построить только с помощью линейки и циркуля, а 7- , 9- , 13- , 14- , 18- , 19-, 21-, 26-, 27-, 28-, 35-, 36-, 37-, 38-, 39-, 42-, 52-, 54-, 56-, 57-, 63-, 65-, 70-, 72-, 73-, 74-, 76-, 78-, 81-, 84-, 91-, 95-, 97-, 104-, 105-, 108-, 109-, 111-, 112-, 114-, 117-, 119- и 126-угольники с трисекцией угла. Однако в целом неизвестно, имеют ли все квинтики (многочлены пятого порядка) корни, которые можно построить с помощью нейзиса, что актуально для 11- , 25-, 31-, 41-, 61-, 101- и 125-угольников. [4] Бенджамин и Снайдер показали в 2014 году, что правильный 11-угольник можно построить с помощью нейзиса; [1] 25-, 31-, 41-, 61-, 101- и 125-угольники остаются открытыми проблемами. В более общем плане, построение всех степеней числа 5, больших самого числа 5, с помощью размеченной линейки и циркуля является открытой проблемой, как и всех простых чисел, больших 11, вида p = 2 r 3 s 5 t + 1, где t > 0 (все простые числа, большие 11 и равные на единицу большему, чем обычное число , делящееся на 10). [4]
Историк математики Т. Л. Хит предположил, что греческий математик Энопид ( ок. 440 г. до н. э. ) был первым, кто поставил построения с помощью циркуля и линейки выше neuseis . Принцип избегать neuseis, когда это возможно, мог быть распространен Гиппократом Хиосским ( ок. 430 г. до н. э. ), который был родом с того же острова, что и Энопид, и который был — насколько нам известно — первым, кто написал систематически упорядоченный учебник по геометрии. Спустя сто лет после него Евклид также избегал neuseis в своем очень влиятельном учебнике «Начала» .
Следующая атака на невсис произошла, когда с четвертого века до нашей эры идеализм Платона набирал силу. Под его влиянием была разработана иерархия из трех классов геометрических конструкций. Спускаясь от «абстрактного и благородного» к «механическому и земному», эти три класса были :
В конце концов, использование невзиса было признано приемлемым только тогда, когда две другие, более высокие категории конструкций не предлагали решения. Невзис стал своего рода последним средством, к которому прибегали только тогда, когда все другие, более респектабельные, методы не срабатывали. Использование невзиса там, где можно было бы использовать другие методы построения, было заклеймено покойным греческим математиком Паппом Александрийским ( ок. 325 г. н. э. ) как «немаленькая ошибка».
