Контур Ганкеля

Контурный путь Ганкеля, пройденный в положительном смысле.

Это версия контура Ганкеля, состоящая из линейного зеркального изображения поперек действительной оси.

В математике контур Ганкеля — это путь в комплексной плоскости , который простирается от (+∞,δ) вокруг начала координат против часовой стрелки и обратно к (+∞,−δ), где δ — сколь угодно малое положительное число. Таким образом, контур остается сколь угодно близким к действительной оси , но не пересекает действительную ось, за исключением отрицательных значений x . Контур Ханкеля также можно представить в виде пути, имеющего зеркальные изображения чуть выше и ниже действительной оси, соединенного с кругом радиуса ε с центром в начале координат, где ε — сколь угодно малое число. Говорят, что две линейные части контура находятся на расстоянии δ от действительной оси. Таким образом, общее расстояние между линейными участками контура составляет 2δ. ^[1] Контур пересекается в положительном направлении, что означает, что окружность вокруг начала координат перемещается против часовой стрелки.

Использование контуров Ганкеля является одним из методов контурного интегрирования . Этот тип пути для контурных интегралов был впервые использован Германом Ханкелем в его исследованиях гамма-функции .

Контур Ханкеля используется для вычисления таких интегралов, как гамма-функция, дзета-функция Римана и другие функции Ханкеля (которые являются функциями Бесселя третьего рода). ^{[1] [2]}

Приложения

Контур Ханкеля и гамма-функция

Контур Ханкеля полезен при выражении и решении гамма-функции в комплексной t -плоскости. Гамма-функция может быть определена для любого комплексного значения на плоскости, если мы вычисляем интеграл по контуру Ганкеля. Контур Ханкеля особенно полезен для выражения гамма-функции для любого комплексного значения, поскольку конечные точки контура исчезают, и, таким образом, позволяет удовлетворить фундаментальному свойству гамма-функции, которое гласит : ^[2] ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$

Вывод контурного интегрального выражения гамма-функции

Источник: ^[2]

Обратите внимание, что формальное представление гамма-функции — . ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{C}f(t)t^{z-1}dt}$

Чтобы удовлетворить фундаментальному свойству гамма-функции, следует, что

${\displaystyle \int _{C}f(t)t^{z}dt=[t^{z}f(t)]-\int _{C}t^{z}f'(t)dt}$

после умножения обеих частей на z.

Таким образом, учитывая, что концы контура Ганкеля равны нулю, левая и правая части сводятся к

${\displaystyle f(t)+f'(t)=0}$.

Используя дифференциальные уравнения ,

${\displaystyle f(t)=Ae^{-t}}$

становится общим решением. Хотя A является постоянным по отношению к t , считается, что A может колебаться в зависимости от комплексного числа z . Поскольку A(z) произвольно, комплексная экспонента по z может быть включена в определение A(z). Подстановка f(t) в исходный интеграл дает . ${\displaystyle \Gamma (z)=A(z)\int _{C}e^{-t}(-t)^{z-1}dt}$

Интегрируя по контуру Ханкеля, контурное интегральное выражение гамма-функции становится . ^[2] ${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {i}{2\sin {\pi z}}}\int _{C}e^{-t}(-t)^{z-1}dt}$

Рекомендации

1. Кранц, Стивен Г. (Стивен Джордж), 1951- (1999). Справочник комплексных переменных . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. ISBN 0-8176-4011-8. ОСЛК  40964730.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
2. Моретти, Джино (1964). Функции комплексной переменной . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., стр. 179–184. LCCN  64012240.

дальнейшее чтение

• Шмельцер, Томас; Трефетен, Ллойд Н. (2007–01). «Вычисление гамма-функции с использованием контурных интегралов и рациональных приближений». Журнал SIAM по численному анализу. 45 (2): 558–571. дои : 10.1137/050646342. ISSN  0036-1429.
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт С. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . п. 515. ISBN 0-521-84903-9 . 

Внешние ссылки

• http://mathworld.wolfram.com/HankelContour.html
• Цифровая библиотека математических функций NIST: Гамма-функция: Интегральное представление