В математике , в частности в проективной геометрии , конфигурация на плоскости состоит из конечного множества точек и конечного расположения прямых , так что каждая точка инцидентна одинаковому числу прямых, а каждая прямая инцидентна одинаковому числу точек. [1]
Хотя некоторые конкретные конфигурации изучались и ранее (например, Томасом Киркманом в 1849 году), формальное изучение конфигураций впервые было введено Теодором Рейе в 1876 году во втором издании его книги Geometrie der Lage в контексте обсуждения теоремы Дезарга . Эрнст Штейниц написал свою диссертацию на эту тему в 1894 году, и они были популяризированы книгой Гильберта и Кон-Фоссена 1932 года Anschauliche Geometrie , переизданной на английском языке как Hilbert & Cohn-Vossen (1952).
Конфигурации могут изучаться либо как конкретные наборы точек и линий в определенной геометрии, такой как евклидова или проективная плоскость (они считаются реализуемыми в этой геометрии), либо как тип абстрактной геометрии инцидентности . В последнем случае они тесно связаны с регулярными гиперграфами и бирегулярными двудольными графами , но с некоторыми дополнительными ограничениями: каждые две точки структуры инцидентности могут быть связаны не более чем с одной линией, а каждые две линии могут быть связаны не более чем с одной точкой. То есть обхват соответствующего двудольного графа ( графа Леви конфигурации) должен быть не менее шести.
Конфигурация на плоскости обозначается как ( p γ ℓ π ), где p — число точек, ℓ — число линий, γ — число линий в точке, а π — число точек в линии. Эти числа обязательно удовлетворяют уравнению
так как это произведение представляет собой число совпадений точки и линии ( флажков ).
Конфигурации, имеющие один и тот же символ, скажем ( p γ ℓ π ), не обязательно должны быть изоморфными как структуры инцидентности . Например, существуют три различные конфигурации (9 3 9 3 ): конфигурация Паппуса и две менее заметные конфигурации.
В некоторых конфигурациях p = ℓ и, следовательно, γ = π . Они называются симметричными или сбалансированными конфигурациями [2] , и обозначения часто сокращаются, чтобы избежать повторений. Например, (9 3 9 3 ) сокращается до (9 3 ).
Известные проективные конфигурации включают в себя следующее:
Проективно - двойственная конфигурация ( p γ ℓ π ) — это конфигурация ( ℓ π p γ ), в которой роли «точки» и «линии» меняются местами. Типы конфигураций, таким образом, попадают в двойственные пары, за исключением случаев, когда двойственные результаты берутся в изоморфной конфигурации. Эти исключения называются самодвойственными конфигурациями, и в таких случаях p = ℓ . [5]
Число неизоморфных конфигураций типа ( n 3 ), начиная с n = 7 , задается последовательностью
Эти числа подсчитывают конфигурации как абстрактные структуры инцидентности, независимо от реализуемости. [6] Как обсуждает Гропп (1997), девять из десяти (10 3 ) конфигураций и все (11 3 ) и (12 3 ) конфигурации реализуемы в евклидовой плоскости, но для каждого n ≥ 16 существует по крайней мере одна нереализуемая ( n 3 ) конфигурация. Гропп также указывает на давнюю ошибку в этой последовательности: в статье 1895 года была предпринята попытка перечислить все (12 3 ) конфигурации и было найдено 228 из них, но 229-я конфигурация, конфигурация Гроппа, была обнаружена только в 1988 году.
Существует несколько методов построения конфигураций, обычно начинающихся с известных конфигураций. Некоторые из самых простых из этих методов строят симметричные ( p γ ) конфигурации.
Любая конечная проективная плоскость порядка n является конфигурацией (( n 2 + n + 1) n + 1 ) . Пусть Π — проективная плоскость порядка n . Удалим из Π точку P и все прямые Π , которые проходят через P (но не точки, которые лежат на этих прямых, за исключением P ), и удалим прямую ℓ , не проходящую через P , и все точки, которые находятся на прямой ℓ . Результатом является конфигурация типа (( n 2 – 1) n ) . Если в этой конструкции прямая ℓ выбрана как прямая, которая проходит через P , то конструкция приводит к конфигурации типа (( n 2 ) n ) . Поскольку известно, что проективные плоскости существуют для всех порядков n , которые являются степенями простых чисел, эти конструкции обеспечивают бесконечные семейства симметричных конфигураций.
Не все конфигурации реализуемы, например, конфигурация (43 7 ) не существует. [7] Однако Гропп (1990) предложил конструкцию, которая показывает, что для k ≥ 3 конфигурация ( p k ) существует для всех p ≥ 2 ℓ k + 1 , где ℓ k — длина оптимальной линейки Голомба порядка k .
Концепция конфигурации может быть обобщена на более высокие измерения, [8] например, на точки и линии или плоскости в пространстве . В таких случаях ограничения, что никакие две точки не принадлежат более чем одной линии, могут быть ослаблены, поскольку две точки могут принадлежать более чем одной плоскости.
Известными трехмерными конфигурациями являются конфигурация Мёбиуса , состоящая из двух взаимно вписанных тетраэдров, конфигурация Рейе , состоящая из двенадцати точек и двенадцати плоскостей, с шестью точками на плоскость и шестью плоскостями на точку, конфигурация Грея, состоящая из сетки 3×3×3 из 27 точек и 27 ортогональных прямых, проходящих через них, и двойная шестерка Шлефли , конфигурация с 30 точками, 12 прямыми, двумя прямыми на точку и пятью точками на прямой.
Конфигурация в проективной плоскости, реализуемая точками и псевдопрямыми, называется топологической конфигурацией. [2] Например, известно, что не существует конфигураций точка-прямая (19 4 ), однако существует топологическая конфигурация с этими параметрами.
Другое обобщение концепции конфигурации касается конфигураций точек и окружностей, ярким примером которых является конфигурация Микеля (8 3 6 4 ) . [2]
