Конфигурационное пространство (физика)

Пространство возможных положений всех объектов физической системы.

В классической механике параметры, определяющие конфигурацию системы, называются обобщенными координатами , а пространство, определяемое этими координатами, — конфигурационным пространством физической системы . Часто эти параметры удовлетворяют математическим ограничениям, например, набор реальных конфигураций системы представляет собой многообразие в пространстве обобщенных координат. Это многообразие называется конфигурационным многообразием системы. Обратите внимание, что это понятие «неограниченного» конфигурационного пространства, т.е. в котором разные точечные частицы могут занимать одно и то же положение. В математике, в частности в топологии, чаще всего используется понятие «ограниченного» конфигурационного пространства , в котором удалены диагонали, представляющие «сталкивающиеся» частицы.

Пример: частица в трехмерном пространстве.

Положение отдельной частицы, движущейся в обычном евклидовом трехмерном пространстве, определяется вектором , и, следовательно, ее конфигурационное пространство равно . Обычно этот символ используется для обозначения точки в конфигурационном пространстве; это соглашение как в гамильтоновой формулировке классической механики , так и в лагранжевой механике . Этот символ используется для обозначения импульсов; символ относится к скоростям. ${\displaystyle q=(x,y,z)}$ ${\displaystyle Q=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\dot {q}}=dq/dt}$

Частица может быть вынуждена двигаться по определенному многообразию . Например, если частица прикреплена к жесткой связи, которая может свободно вращаться вокруг начала координат, она фактически вынуждена лежать на сфере. Его конфигурационное пространство представляет собой подмножество координат, определяющих точки на сфере . В этом случае говорят, что многообразие есть сфера , т.е. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q=S^{2}}$

Для n несвязных, невзаимодействующих точечных частиц конфигурационное пространство равно . В целом, однако, интересен случай, когда частицы взаимодействуют: например, они представляют собой определенные места в каком-то узле из шестерен, шкивов, катящихся шариков и т. д., часто вынужденных двигаться без проскальзывания. В этом случае конфигурационным пространством является не все , а подпространство (подмногообразие) допустимых положений, которые могут занимать точки. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3n}}$

Пример: твердое тело в трехмерном пространстве.

Набор координат, определяющих положение опорной точки и ориентацию системы координат, прикрепленной к твердому телу в трехмерном пространстве, образует его конфигурационное пространство, часто обозначаемое где, представляет собой координаты начала системы координат, прикрепленной к телу. , и представляет матрицы вращения, которые определяют ориентацию этого кадра относительно наземного кадра. Конфигурация твердого тела определяется шестью параметрами, тремя из и тремя из и, как говорят, имеет шесть степеней свободы . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

В этом случае конфигурационное пространство шестимерно, а точка — это всего лишь точка в этом пространстве. «Расположение» в этом конфигурационном пространстве описывается с использованием обобщенных координат ; таким образом, три координаты могут описывать положение центра масс твердого тела, а еще три могут быть углами Эйлера, описывающими его ориентацию. Канонического выбора координат не существует; можно также выбрать какую-нибудь вершину или конечную точку твердого тела вместо его центра масс; можно было бы использовать кватернионы вместо углов Эйлера и так далее. Однако параметризация не меняет механические характеристики системы; все различные параметризации в конечном итоге описывают одно и то же (шестимерное) многообразие, один и тот же набор возможных положений и ориентаций. ${\displaystyle Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle q}$

С некоторыми параметризациями работать легче, чем с другими, и многие важные утверждения можно сделать, работая бескоординатным способом. Примеры бескоординатных утверждений: касательное пространство соответствует скоростям точек , а коткасательное пространство соответствует импульсам. (Скорости и импульсы могут быть связаны; в наиболее общем, абстрактном случае это делается с помощью довольно абстрактного понятия тавтологической одной формы .) ${\displaystyle TQ}$ ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$

Пример: роботизированная рука

Для роботизированной руки, состоящей из множества жестких рычагов, пространство конфигурации состоит из местоположения каждого рычага (принимаемого за твердое тело, как в разделе выше) с учетом ограничений того, как рычаги прикреплены друг к другу, и их разрешенный диапазон движения. Таким образом, для связей можно рассматривать общее пространство ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \left[\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)\right]^{n}}$$

${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$

Однако обратите внимание, что в робототехнике термин « пространство конфигурации» может также относиться к еще более сокращенному подмножеству: набору позиций, достижимых конечным исполнительным устройством робота . ^[1] Однако это определение приводит к сложностям, описываемым голономией : то есть может существовать несколько различных способов расположения руки робота для получения определенного местоположения рабочего органа, и даже возможно заставить руку робота двигаться. сохраняя при этом концевой эффектор неподвижным. Таким образом, полное описание руки, пригодное для использования в кинематике, требует указания всех положений и углов суставов, а не только некоторых из них.

Параметры суставов робота используются как обобщенные координаты для определения конфигураций. Набор значений параметров сустава называется пространством сустава . Уравнения прямой и обратной кинематики робота определяют карты между конфигурациями и положениями рабочих органов или между суставным пространством и пространством конфигурации. При планировании движения робота это отображение используется для поиска пути в суставном пространстве, который обеспечивает достижимый маршрут в пространстве конфигурации рабочего органа.

Формальное определение

В классической механике конфигурация системы относится к положению всех составляющих точечных частиц системы. ^[2]

Фазовое пространство

Конфигурационного пространства недостаточно для полного описания механической системы: оно не учитывает скорости. Набор скоростей, доступных системе, определяет плоскость, касательную к конфигурационному многообразию системы. В точке эта касательная плоскость обозначается . Векторы импульса представляют собой линейные функционалы касательной плоскости, известные как котангенсные векторы; для точки эта кокасательная плоскость обозначается . Совокупность положений и импульсов механической системы образует кокасательное расслоение конфигурационного многообразия . Это большее многообразие называется фазовым пространством системы. ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle T_{q}Q}$ ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle Q}$

Квантовое пространство состояний

В квантовой механике можно использовать конфигурационное пространство (см., например, проблему Мотта ), но расширение классической механики на фазовое пространство — нет. Вместо этого в аналогичной концепции, называемой пространством квантовых состояний, используется совершенно другой набор формализмов и обозначений . Аналогом «точечной частицы» становится одна точка на комплексной проективной линии , также известной как сфера Блоха . Это сложно, потому что квантовомеханическая волновая функция имеет сложную фазу; он проективен, поскольку волновая функция нормирована на единичную вероятность. То есть, данную волновую функцию можно нормализовать по полной вероятности , что делает ее проективной. ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\textstyle \int \psi ^{*}\psi }$

Смотрите также

• Пространство признаков (тема распознавания образов)
• Пространство параметров
• Конфигурационное пространство (математика)

Рекомендации

1. Джон Дж. Крейг, Введение в робототехнику: механика и управление , 3-е изд. Прентис-Холл, 2004 г.
2. Сассман, Джеральд Джей; Мудрость, Джек; с Майером, Мейнхардом Э. (2001). Структура и интерпретация классической механики . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. п. 9. ISBN 0262194554.

Внешние ссылки

• Интуитивное объяснение классических конфигурационных пространств.
• Интерактивная визуализация C-пространства для руки робота с двумя вращательными звеньями от Калифорнийского университета в Беркли .
• Визуализация пространства конфигурации от Свободного университета Берлина.
• Конфигурационные пространства, косы и робототехника от Роберта Гриста