В геометрии конфигурация Рейе , введенная Теодором Рейе (1882), представляет собой конфигурацию из 12 точек и 16 прямых . Каждая точка конфигурации принадлежит четырем прямым, а каждая прямая содержит три точки. Поэтому в обозначениях конфигураций конфигурация Рейе записывается как 12 4 16 3 .
Конфигурация Рейе может быть реализована в трехмерном проективном пространстве, если взять линии за 12 ребер и четыре длинные диагонали куба , а точки за восемь вершин куба, его центр и три точки, где группы из четырех параллельных ребер куба встречаются с плоскостью на бесконечности. Два правильных тетраэдра могут быть вписаны в куб, образуя звездчатый октаэдр ; эти два тетраэдра являются перспективными фигурами друг для друга четырьмя различными способами, а другие четыре точки конфигурации являются их центрами перспективности. Эти два тетраэдра вместе с тетраэдром оставшихся 4 точек образуют десмическую систему из трех тетраэдров.
Любые две непересекающиеся сферы в трехмерном пространстве с разными радиусами имеют два двойных конуса , вершины которых называются центрами подобия. Если даны три сферы с неколлинеарными центрами, то их шесть центров подобия образуют шесть точек полного четырехугольника , четыре линии которого называются осями подобия. А если даны четыре сферы с некомпланарными центрами, то они определяют 12 центров подобия и 16 осей подобия, которые вместе образуют пример конфигурации Рейе (Hilbert & Cohn-Vossen 1952).
Конфигурация Рейе может быть также реализована точками и линиями на евклидовой плоскости , путем рисования трехмерной конфигурации в трехточечной перспективе . Конфигурация 8 3 12 2 из восьми точек в реальной проективной плоскости и 12 линий, соединяющих их, с рисунком соединения куба, может быть расширена для формирования конфигурации Рейе тогда и только тогда, когда восемь точек являются перспективной проекцией параллелепипеда (Servatius & Servatius 2010)
24 перестановки точек образуют вершины 24-ячейки с центром в начале координат четырехмерного евклидова пространства. Эти 24 точки также образуют 24 корня в корневой системе . Их можно сгруппировать в пары точек, противоположных друг другу на линии, проходящей через начало координат. 12 осевых линий можно сгруппировать в 16 троек, которые лежат в одной центральной плоскости 24-ячейки. Каждая центральная плоскость пересекает 6 вершин в форме правильного шестиугольника. Четыре шестиугольника пересекаются в каждой вершине 24-ячейки. 12 осевых линий и 16 шестиугольных плоскостей 24-ячейки соответствуют 12 точкам и 16 линиям конфигурации Рейе (Aravind 2000).
Прямые и плоскости, проходящие через начало координат четырехмерного евклидова пространства, имеют геометрию точек и линий трехмерного проективного пространства , и в этом трехмерном проективном пространстве прямые, проходящие через противоположные пары этих 24 точек, и центральные плоскости, проходящие через эти точки, становятся точками и линиями конфигурации Рейе (Manivel 2006). Перестановки образуют однородные координаты 12 точек в этой конфигурации.
Аравинд (2000) указал, что конфигурация Рейе лежит в основе некоторых доказательств теоремы Белла–Кохена–Шпеккера об отсутствии скрытых переменных в квантовой механике.
Конфигурация Паппуса может быть образована из двух треугольников, которые являются перспективными фигурами друг для друга тремя различными способами, аналогично интерпретации конфигурации Рея, включающей десмические тетраэдры.
Если конфигурация Рейе образована из куба в трехмерном пространстве, то существует 12 плоскостей, содержащих по четыре линии каждая: шесть плоскостей граней куба и шесть плоскостей, проходящих через пары противоположных ребер куба. Пересечение этих 12 плоскостей и 16 линий с другой плоскостью в общем положении дает конфигурацию 16 3 12 4 , двойственную конфигурации Рейе. Исходная конфигурация Рейе и ее двойственная конфигурация вместе образуют конфигурацию 28 4 28 4 (Grünbaum & Rigby 1990).
Существует 574 различных конфигурации типа 12 4 16 3 (Betten & Betten 2005).
