Конфигурация (политоп)

В геометрии Коксетер назвал правильный многогранник особым видом конфигурации .

Другие конфигурации в геометрии — это нечто иное. Эти конфигурации многогранников можно точнее назвать матрицами инцидентности , где подобные элементы собираются вместе в строках и столбцах. Правильные многогранники будут иметь одну строку и столбец на элемент k -грани , в то время как другие многогранники будут иметь одну строку и столбец для каждого типа k-грани по их классам симметрии. Многогранник без симметрии будет иметь одну строку и столбец для каждого элемента, и матрица будет заполнена 0, если элементы не связаны, и 1, если они связаны. Элементы с одинаковым k не будут связаны и будут иметь запись в таблице "*". ^[1]

Каждый многогранник и абстрактный многогранник имеет диаграмму Хассе , выражающую эти связности, которые можно систематически описать с помощью матрицы инцидентности .

Матрица конфигурации для правильных многогранников

Конфигурация правильного многогранника представлена матрицей, где диагональный элемент, N _i , является числом i -граней в многограннике. Диагональные элементы также называются f-вектором многогранника . Недиагональный ( i ≠ j ) элемент N _ij является числом j -граней, инцидентных каждому элементу i -грани, так что N _i N _ij = N _j N _ji . ^[2]

Этот принцип распространяется в целом на $n$ измерений, где $0 \leq j < n$ .

{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{0,1}&N_{0,2}&\cdots &N_{0,n-1}\\N_{1,0} &N_{1}&N_{1,2}&\cdots &N_{1,n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\N_{n-1,0}&N_{n-1, 1}&N_{n-1,2}&\cdots &N_{n-1}\end{matrix}}\end{bmatrix}}

Полигоны

Правильный многоугольник , символ Шлефли { q }, будет иметь матрицу 2x2, с первой строкой для вершин и второй строкой для ребер. Порядок g равен 2 q .

{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{01}\\N_{10}&N_{1}\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}g/2&2\\2&g/2\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}q&2\\2&q\end{matrix}}\end{bmatrix}}

Обычный n-угольник будет иметь матрицу 2n x 2n, в которой первые n строк и столбцов являются вершинами, а последние n строк и столбцов — ребрами.

Пример треугольника

Существует три классификации симметрии треугольника : равносторонний, равнобедренный и разносторонний. Все они имеют одинаковую матрицу инцидентности , но симметрия позволяет собирать вершины и ребра вместе и подсчитывать их. Эти треугольники имеют вершины, обозначенные как A, B, C, и ребра, обозначенные как a, b, c, в то время как вершины и ребра, которые могут быть отображены друг на друга с помощью операции симметрии, обозначены одинаково.

Четырехугольники

Четырехугольники можно классифицировать по симметрии, каждый со своей собственной матрицей. Четырехугольники существуют с дуальными парами, которые будут иметь ту же матрицу, повернутую на 180 градусов, с перевернутыми вершинами и ребрами. Квадраты и параллелограммы, а также общие четырехугольники являются самодуальными по классу, поэтому их матрицы не меняются при повороте на 180 градусов.

Сложные многоугольники

Идея применима также для правильных сложных многоугольников , _p { q } _r построенных в : $\mathbb {C} ^{2}$

{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{01}\\N_{10}&N_{1}\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}g/r&r\\p&g/p\end{matrix}}\end{bmatrix}}

Группа комплексного отражения имеет порядок _p [ q ] _r . ^[3] [ ^4] $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$

Многогранники

Эту идею можно применить в трех измерениях, рассматривая инцидентности точек, линий и плоскостей или $j$ -пространств $(0 \leq j < 3)$ , где каждое $j$ -пространство инцидентно $N jk k$ -пространствам $(j \neq k)$ . Записывая $N j$ для числа присутствующих $j$ -пространств, заданную конфигурацию можно представить матрицей

{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{01}&N_{02}\\N_{10}&N_{1}&N_{12}\\N_{20}&N_{21}&N_{2}\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}g/2q&q&q\\2&g/4&2\\p&p&g/2p\end{matrix}}\end{bmatrix}}

для символа Шлефли {p,q} с порядком группы g = 4 pq /(4 − ( p − 2)( q − 2)).

Тетраэдр

Тетраэдры имеют матрицы, которые также могут быть сгруппированы по их симметрии, с общим тетраэдром, имеющим 14 строк и столбцов для 4 вершин, 6 ребер и 4 граней. Тетраэдры являются самодвойственными, и поворот матрикса на 180 градусов (перестановка вершин и граней) оставит его неизменным.

Примечания

^ Клитцинг, Ричард. «Матрицы инцидентности».
^ Коксетер, Комплексные правильные многогранники , стр. 117
^ Лерер и Тейлор 2009, стр. 87
^ Комплексные правильные многогранники, стр. 117

Ссылки

Коксетер, HSM (1948), Правильные многогранники , Метуэн и Ко.
Коксетер, HSM (1991), Правильные комплексные многогранники , Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
Коксетер, HSM (1999), «Самодвойственные конфигурации и регулярные графы», Красота геометрии , Дувр, ISBN 0-486-40919-8