Конкурс (математика)

Математическое свойство подмножеств в теории порядка

В математике подмножество предупорядоченного множества называется конфинальным или частым [ ^1] в , если для каждого из него можно найти элемент , который «больше, чем » (явно, «больше, чем » означает ). ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\leq b}$

Конфинальные подмножества очень важны в теории направленных множеств и сетей , где « конфинальная подсеть » является соответствующим обобщением « подпоследовательности ». Они также важны в теории порядка , включая теорию кардинальных чисел , где минимально возможная мощность конфинального подмножества называется конфинальностью ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Определения

Пусть — однородное бинарное отношение на множестве Подмножество называется конфинальным или частым ^[1] относительно , ​​если оно удовлетворяет следующему условию: ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Для каждого существует что-то , что ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a\leq b.}$

Подмножество, которое не является частым, называется нечастым . ^[1] Это определение чаще всего применяется, когда представляет собой направленный набор , который является предупорядоченным набором с дополнительными свойствами. ${\displaystyle (A,\leq )}$

Конечные функции

Отображение между двумя направленными множествами называется финальным ^[2], если изображение является конфинальным подмножеством ${\displaystyle f:X\to A}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A.}$

Коинициальные подмножества

Подмножество называется коначальным (или плотным в смысле принудительности ), если оно удовлетворяет следующему условию: ${\displaystyle B\subseteq A}$

Для каждого существует такое , что ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle b\leq a.}$

Это — порядково-теоретическое дуальное понятие к понятию конфинального подмножества. Конфинальные (соответственно коначальные) подмножества — это в точности плотные множества относительно топологии правого (соответственно левого) порядка .

Характеристики

Конфинальное отношение над частично упорядоченными множествами («частично упорядоченными множествами ») является рефлексивным : каждое частично упорядоченное множество является конфинальным в себе. Оно также транзитивно : если является конфинальным подмножеством частично упорядоченного множества и является конфинальным подмножеством (с частичным упорядочением , примененным к ), то является также конфинальным подмножеством ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A.}$

Для частично упорядоченного множества с максимальными элементами каждое конфинальное подмножество должно содержать все максимальные элементы , в противном случае максимальный элемент, не входящий в подмножество, не будет меньше или равен любому элементу подмножества, что нарушает определение конфинальности. Для частично упорядоченного множества с наибольшим элементом подмножество является конфинальным тогда и только тогда, когда оно содержит этот наибольший элемент (это следует из того, что наибольший элемент обязательно является максимальным элементом). Частично упорядоченные множества без наибольшего элемента или максимальных элементов допускают непересекающиеся конфинальные подмножества. Например, четные и нечетные натуральные числа образуют непересекающиеся конфинальные подмножества множества всех натуральных чисел.

Если частично упорядоченное множество допускает полностью упорядоченное конфинальное подмножество, то мы можем найти подмножество , которое является вполне упорядоченным и конфинальным в ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

Если — направленное множество , и если — конфинальное подмножество , то — также направленное множество. ^[1] ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (B,\leq )}$

Примеры и достаточные условия

Любое надмножество конфинального подмножества само является конфинальным. ^[1]

Если — направленное множество и если некоторое объединение (одного или более) конечного числа подмножеств конфинально, то по крайней мере одно из множеств конфинально. ^[1] Это свойство в общем случае неверно без гипотезы о направленности. ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}}$ ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$

Отношения подмножеств и соседние базы

Пусть будет топологическим пространством и пусть обозначает фильтр соседства в точке Отношение супермножества является частичным порядком на : явно, для любых множеств и объявляется, что тогда и только тогда, когда (так что по сути, равно ). Подмножество называется базой соседства в , если (и только тогда, когда) является конфинальным подмножеством , то есть тогда и только тогда, когда для каждого существует некоторое такое, что (т.е. такое, что .) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle S\leq T}$ ${\displaystyle S\supseteq T}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {N}}_{x},\supseteq \right);}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N\supseteq B.}$ ${\displaystyle N\leq B}$

Конфинальные подмножества действительных чисел

Для любого интервал является конфинальным подмножеством , но не является конфинальным подмножеством Множество натуральных чисел ( состоящее из положительных целых чисел) является конфинальным подмножеством , но это не относится к множеству отрицательных целых чисел. ${\displaystyle -\infty <x<\infty ,}$ ${\displaystyle (x,\infty )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq ).}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle -\mathbb {N} :=\{-1,-2,-3,\ldots \}.}$

Аналогично, для любого интервал является конфинальным подмножеством , но не является конфинальным подмножеством . Множество отрицательных целых чисел является конфинальным подмножеством , но это не относится к натуральным числам. Множество всех целых чисел является конфинальным подмножеством , а также конфинальным подмножеством ; то же самое верно для множества ${\displaystyle -\infty <y<\infty ,}$ ${\displaystyle (-\infty ,y)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ).}$ ${\displaystyle -\mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Конфинальный набор подмножеств

Приводится частный, но важный случай, если является подмножеством мощности некоторого множества, упорядоченного по обратному включению. При этом упорядочение подмножества является конфинальным в , если для каждого существует такое, что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \wp (E)}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \,\supseteq .}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a\supseteq b.}$

Например, пусть будет группой и пусть будет множеством нормальных подгрупп конечного индекса . Проконечное пополнение определяется как обратный предел обратной системы конечных частных ( которые параметризованы множеством ). В этой ситуации каждое конфинальное подмножество достаточно для построения и описания проконечного пополнения ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E.}$

Смотрите также

• Кофинитность  – подмножество, дополнением которого является конечное множество.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Кофинальность  – размер подмножеств в теории порядка
• Верхний набор  – подмножество предпорядка, которое содержит все более крупные элементы.
  • подмножество частично упорядоченного множества , которое содержит каждый элемент , для которого существует с ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle y\in P}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle x\leq y}$

Ссылки

1. Шехтер 1996, стр. 158–165.
2. Бредон, Глен (1993). Топология и геометрия . Springer. стр. 16.

• Ланг, Серж (1993), Алгебра (третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, ЗБЛ  0848.13001
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.