Вырожденная гипергеометрическая функция

Решение вырожденного гипергеометрического уравнения

График вырожденной гипергеометрической функции Куммера 1F1(a;b;z) с a=1 и b=2 и вводом z² с 1F1(1,2,z²) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами создано с помощью Mathematica 13.1

В математике вырожденная гипергеометрическая функция является решением вырожденного гипергеометрического уравнения , которое представляет собой вырожденную форму гипергеометрического дифференциального уравнения , в котором две из трех регулярных особенностей сливаются в нерегулярную особенность . Термин «конфлюэнтный» относится к слиянию особых точек семейств дифференциальных уравнений; confluere в переводе с латыни означает «течь вместе». Существует несколько распространенных стандартных форм вырожденных гипергеометрических функций:

• Функция Куммера (выливная гипергеометрическая) M ( a , b , z ) , введенная Куммером  (1837), является решением дифференциального уравнения Куммера . Это также известно как вырожденная гипергеометрическая функция первого рода. Существует другая, несвязанная с ней функция Куммера с тем же именем.
• Функция Трикоми (конфлюэнтная гипергеометрическая) U ( a , b , z ) , введенная Франческо Трикоми  (1947), иногда обозначаемая Ψ( a ; b ; z ) , является еще одним решением уравнения Куммера. Это также известно как вырожденная гипергеометрическая функция второго рода.
• Функции Уиттекера (для Эдмунда Тейлора Уиттекера ) являются решениями уравнения Уиттекера .
• Волновые функции Кулона являются решениями волнового уравнения Кулона .

Функции Куммера, функции Уиттекера и волновые функции Кулона по существу одинаковы и отличаются друг от друга лишь элементарными функциями и заменой переменных.

Уравнение Куммера

Уравнение Куммера можно записать как:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0,}$

с регулярной особой точкой в ​​точке z = 0 и нерегулярной особой точкой в ​​точке z = ∞ . Он имеет два (обычно) линейно независимых решения M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) .

Функция Куммера первого рода M представляет собой обобщенный гипергеометрический ряд, введенный в (Kummer 1837) и определяемый формулой:

${\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),}$

где:

${\displaystyle a^{(0)}=1,}$

${\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,}$

– это возрастающий факториал . Другое распространенное обозначение этого решения — Φ( a , b , z ) . Рассматриваемый как функция a , b или z с двумя другими константами, он определяет целую функцию a или z , за исключением случаев, когда b = 0, −1, −2, ... Как функция b это аналитический , за исключением полюсов в неположительных целых числах.

Некоторые значения a и b дают решения, которые можно выразить через другие известные функции. См. #Особые случаи. Когда a — неположительное целое число, то функция Куммера (если она определена) представляет собой обобщенный полином Лагерра .

Так же, как вырожденное дифференциальное уравнение является пределом гипергеометрического дифференциального уравнения , поскольку особая точка в точке 1 перемещается к особой точке в точке ∞, вырожденная гипергеометрическая функция может быть задана как предел гипергеометрической функции

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}$

и многие свойства вырожденной гипергеометрической функции являются предельными случаями свойств гипергеометрической функции.

Поскольку уравнение Куммера имеет второй порядок, должно быть другое независимое решение. Основное уравнение метода Фробениуса говорит нам, что наименьшая степень решения степенного ряда уравнения Куммера равна либо 0, либо 1 - b . Если мы позволим w ( z ) быть

${\displaystyle w(z)=z^{1-b}v(z)}$

тогда дифференциальное уравнение дает

${\displaystyle z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(b-z)\left[z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}+(1-b)z^{-b}v\right]-az^{1-b}v=0}$

которое после разделения z ^{1− b} и упрощения становится

${\displaystyle z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+(2-b-z){\frac {dv}{dz}}-(a+1-b)v=0.}$

Это означает, что z ^{1− b} M ( a + 1 − b , 2 − b , z ) является решением до тех пор, пока b не является целым числом, большим 1, точно так же, как M ( a , b , z ) является решением, поэтому при условии, что b не является целым числом меньше 1. Мы также можем использовать вырожденную гипергеометрическую функцию Трикоми U ( a , b , z ) , введенную Франческо Трикоми  (1947) и иногда обозначаемую Ψ( a ; b ; z ) . Это комбинация двух вышеупомянутых решений, определяемая

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a+1-b)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z).}$

Хотя это выражение не определено для целого числа b , оно имеет то преимущество, что его можно расширить до любого целого числа b благодаря непрерывности. В отличие от функции Куммера, которая является целой функцией от z , U ( z ) обычно имеет особенность в нуле. Например, если b = 0 и a ≠ 0 , то Γ( a +1) U ( a , b , z ) − 1 асимптотически соответствует az ln z , когда z стремится к нулю. Но см. #Особые случаи для некоторых примеров, когда это целая функция (полином).

Обратите внимание, что решение z ^{1− b} U ( a + 1 − b , 2 − b , z ) уравнения Куммера такое же, как решение U ( a , b , z ) , см. #преобразование Куммера.

Для большинства комбинаций вещественных или комплексных a и b функции M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) независимы, и если b — неположительное целое число, то M ( a , b , z ) не существует, то мы сможем использовать z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ) в качестве второго решения. Но если a — целое неположительное число, а b не является неположительным целым числом, то U ( z ) кратно M ( z ) . В этом случае z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ) также можно использовать в качестве второго решения, если оно существует и отличается. Но когда b — целое число больше 1, этого решения не существует, а если b = 1 , то оно существует, но кратно U ( a , b , z ) и M ( a , b , z ) . случаях существует второе решение следующей формы и действительно для любого действительного или комплексного a и любого положительного целого числа b, за исключением случаев, когда a является положительным целым числом, меньшим, чем b :

${\displaystyle M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Когда a = 0, мы можем альтернативно использовать:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.}$

Когда b = 1 , это экспоненциальный интеграл E ₁ ( −z ) .

Похожая проблема возникает, когда a − b — отрицательное целое число, а b — целое число меньше 1. В этом случае M ( a , b , z ) не существует, а U ( a , b , z ) кратно z ^{1- б} M ( а +1- б , 2- б , z ). Тогда второе решение имеет вид:

${\displaystyle z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Другие уравнения

Сливные гипергеометрические функции можно использовать для решения расширенного сливающегося гипергеометрического уравнения, общая форма которого задается следующим образом:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-\left(\sum _{m=0}^{M}a_{m}z^{m}\right)w=0}$ ^[1]

Обратите внимание, что при M = 0 или когда суммирование включает только один член, оно сводится к обычному сливающемуся гипергеометрическому уравнению.

Таким образом, слитные гипергеометрические функции можно использовать для решения «большинства» обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, все переменные коэффициенты которых являются линейными функциями от z , поскольку их можно преобразовать в расширенное сливающееся гипергеометрическое уравнение. Рассмотрим уравнение:

${\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

Сначала мы перемещаем обычную особую точку в 0 , используя замену A + Bz ↦ z , которая преобразует уравнение к:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

с новыми значениями C, D , E и F. Далее используем замену:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z}$

и умножим уравнение на тот же коэффициент, получив:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}$

чье решение

${\displaystyle \exp \left(-\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {z}{2}}\right)w(z),}$

где w ( z ) — решение уравнения Куммера с

${\displaystyle a=\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {C}{2}}-{\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},\qquad b=C.}$

Обратите внимание, что квадратный корень может давать мнимое или комплексное число. Если оно равно нулю, необходимо использовать другое решение, а именно

${\displaystyle \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}Dz\right)w(z),}$

где w ( z ) — вырожденная гипергеометрическая предельная функция, удовлетворяющая

${\displaystyle zw''(z)+Cw'(z)+\left(E-{\tfrac {1}{2}}CD\right)w(z)=0.}$

Как отмечено ниже, даже уравнение Бесселя можно решить, используя вырожденные гипергеометрические функции.

Интегральные представления

Если Re b > Re a > 0 , M ( a , b , z ) можно представить в виде целого числа

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du.}$

таким образом, M ( a , a + b , it ) является характеристической функцией бета -распределения . Для a с положительной действительной частью U можно получить с помощью интеграла Лапласа

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)}$

Интеграл определяет решение в правой полуплоскости Re z > 0 .

Их также можно представить в виде интегралов Барнса.

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds}$

где контур проходит по одну сторону от полюсов Γ(− s ) и по другую сторону от полюсов Γ( a + s ) .

Асимптотическое поведение

Если решение уравнения Куммера асимптотично к степени z при z → ∞ , то степень должна быть − a . На самом деле это относится к решению Трикоми U ( a , b , z ) . Его асимптотическое поведение при z → ∞ можно вывести из интегральных представлений. Если z = x ∈ R , то замена переменных в интеграле с последующим разложением биномиального ряда и его формальным почленным интегрированием приводит к разложению в асимптотический ряд , действительный при x → ∞ : ^[2]

${\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),}$

где — обобщенный гипергеометрический ряд с 1 в качестве главного члена, который обычно нигде не сходится, но существует как формальный степенной ряд относительно 1/ x . Это асимптотическое разложение также справедливо для комплексного z вместо действительного x , с | аргумент z | < 3 π /2. ${\displaystyle _{2}F_{0}(\cdot ,\cdot ;;-1/x)}$

Асимптотическое поведение решения Куммера при больших | г | является:

${\displaystyle M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)}$

Степени z берутся по формуле −3 π /2 < arg z ≤ π /2 . ^[3] Первый член не нужен, когда Γ( b − a ) конечен, то есть когда b − a не является неположительным целым числом и действительная часть z стремится к отрицательной бесконечности, тогда как второй член не нужен. когда Γ( a ) конечно, то есть когда a не является неположительным целым числом и действительная часть z стремится к положительной бесконечности.

Всегда существует какое-то решение уравнения Куммера, асимптотическое к e ^z z ^{a − b} при z → −∞ . Обычно это будет комбинация M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) , но также может быть выражена как e ^z (−1) ^{a - b} U ( b - a , b , - z ) .

связи

Между функциями Куммера по различным аргументам и их производными существует множество соотношений. В этом разделе приведены несколько типичных примеров.

Непрерывные отношения

Учитывая M ( a , b , z ) , четыре функции M ( a ± 1, b , z ), M ( a , b ± 1, z ) называются смежными с M ( a , b , z ) . Функцию M ( a , b , z ) можно записать как линейную комбинацию любых двух смежных функций с рациональными коэффициентами через a, b и z . Это дает (⁴
₂) = 6 отношений, заданных путем идентификации любых двух линий в правой части

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aligned}}}$

В обозначениях выше M = M ( a , b , z ) , M ( a +) = M ( a + 1, b , z ) и так далее.

Многократное применение этих соотношений дает линейную связь между любыми тремя функциями вида M ( a + m , b + n , z ) (и их высшими производными), где m , n — целые числа.

Аналогичные соотношения существуют и для U .

Преобразование Куммера

Функции Куммера также связаны преобразованиями Куммера:

${\displaystyle M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)}$

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}$.

Теорема умножения

Справедливы следующие теоремы умножения :

${\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}}$

Связь с полиномами Лагерра и подобными представлениями.

В терминах полиномов Лагерра функции Куммера имеют несколько разложений, например

${\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}$(Эрдели и др. 1953, 6.12)

или

${\displaystyle \operatorname {M} \left(a;\,b;\,z\right)={\frac {\Gamma \left(1-a\right)\cdot \Gamma \left(b\right)}{\Gamma \left(b-a\right)}}\cdot \operatorname {L_{-a}^{b-1}} \left(z\right)}$[1]

Особые случаи

Функции, которые могут быть выражены как частные случаи вырожденной гипергеометрической функции, включают:

• Некоторые элементарные функции , у которых левая часть не определена, когда b является неположительным целым числом, но правая часть по-прежнему является решением соответствующего уравнения Куммера:

${\displaystyle M(0,b,z)=1}$

${\displaystyle U(0,c,z)=1}$

${\displaystyle M(b,b,z)=e^{z}}$

${\displaystyle U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du}$(многочлен, если a — целое неположительное число)

${\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}}$

${\displaystyle M(n,b,z)}$для неположительного целого числа n является обобщенным полиномом Лагерра .

${\displaystyle U(n,c,z)}$для неположительного целого числа n кратно обобщенному многочлену Лагерра, равному тому, когда последний существует. ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)}$

${\displaystyle U(c-n,c,z)}$когда n является положительным целым числом, является замкнутой формой со степенями z , равными тому, когда последний существует. ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)}$

${\displaystyle U(a,a+1,z)=z^{-a}}$

${\displaystyle U(-n,-2n,z)}$для неотрицательного целого числа n является полиномом Бесселя (см. ниже).

${\displaystyle M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}}$и т. д.

Используя отношение смежности, мы получаем, например, ${\displaystyle aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b}$ ${\displaystyle M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.}$

• Функция Бейтмана
• Функции Бесселя и многие связанные с ними функции, такие как функции Эйри , функции Кельвина , функции Ханкеля . Например, в частном случае b = 2a функция сводится к функции Бесселя :

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).}$

Эту идентичность иногда также называют второй трансформацией Куммера . Сходным образом

${\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),}$

Когда a является неположительным целым числом, это равно 2 ^{− a} θ _{− a} ( x /2) , где θ — полином Бесселя .

• Функцию ошибок можно выразить как

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

• Волновая функция Кулона
• Функции Каннингема
• Экспоненциальный интеграл и связанные с ним функции, такие как синусоидальный интеграл , логарифмический интеграл.
• Полиномы Эрмита
• Неполная гамма-функция
• Полиномы Лагерра
• Функция параболического цилиндра (или функция Вебера)
• Функция Пуассона – Шарлье
• Функции Торонто
• Функции Уиттекера M _κ,μ ( z ), W _κ,μ ( z ) являются решениями уравнения Уиттекера , которые можно выразить через функции Куммера M и U следующим образом :

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

• Общий p -й исходный момент ( p не обязательно целое число) может быть выражен как ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left|N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right|^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)^{p}\right]&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Во второй формуле второй разрез функции можно выбрать путем умножения на (−1) ^p .

Приложение к цепным дробям

Применяя ограничивающий аргумент к непрерывной дроби Гаусса, можно показать, что

${\displaystyle {\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}}$

и что эта цепная дробь равномерно сходится к мероморфной функции от z в каждой ограниченной области, не содержащей полюса.

Примечания

1. Кампос, LMBC (2001). «О некоторых решениях расширенного выливного гипергеометрического дифференциального уравнения». Журнал вычислительной и прикладной математики . Эльзевир. 137 : 177–200. дои : 10.1016/s0377-0427(00)00706-8 .
2. Эндрюс, GE; Аски, Р.; Рой, Р. (2001). Специальные функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521789882..
3. Это получено из работы Абрамовица и Стегуна (см. ссылку ниже), стр. 508, где дан полный асимптотический ряд. Они меняют знак показателя экспоненты в exp( iπa ) в правой полуплоскости, но это несущественно, так как член там пренебрежимо мал, иначе a является целым числом, и знак не имеет значения.
4. «Аспекты многомерной статистической теории | Уайли». Wiley.com . Проверено 23 января 2021 г.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 13». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 504. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
• Чистова, Е.А. (2001) [1994], "Выполненная гипергеометрическая функция", Энциклопедия Математики , EMS Press
• Даалхейс, Адри Б. Олде (2010), «Вытекающая гипергеометрическая функция», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
• Эрдели, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц и Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции. Том. Я. _ Нью-Йорк – Торонто – Лондон: McGraw – Hill Book Company, Inc. MR  0058756.
• Куммер, Эрнст Эдуард (1837). «De Integralibus quibusdam definitis et seriebus infinitis». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 1837 (17): 228–242. дои : 10.1515/crll.1837.17.228. ISSN  0075-4102. S2CID  121351583.
• Слейтер, Люси Джоан (1960). Вырожденные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. МР  0107026.
• Трикоми, Франческо Г. (1947). «Sulle funzioni ipgeometriche confluenti». Аннали ди Математика Pura ed Applicata . Серия 4 (на итальянском языке). 26 : 141–175. дои : 10.1007/bf02415375 . ISSN  0003-4622. MR  0029451. S2CID  119860549.
• Трикоми, Франческо Г. (1954). Funzioni ipegeometriche confluenti . Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (на итальянском языке). Том. 1. Рим: Edizioni Cremonese. ISBN 978-88-7083-449-9. МР  0076936.
• Олдхэм, КБ; Майленд, Дж.; Спаниер, Дж. (2010). Атлас функций: с Equator, калькулятором функций Атласа. Атлас функций. Спрингер Нью-Йорк. ISBN 978-0-387-48807-3. Проверено 23 августа 2017 г.

Внешние ссылки

• Слитные гипергеометрические функции в цифровой библиотеке математических функций NIST
• Гипергеометрическая функция Куммера на сайте Wolfram Functions
• Гипергеометрическая функция Трикоми на сайте Wolfram Functions