Конформная симметрия

Расширение группы Пуанкаре

В математической физике конформная симметрия пространства - времени выражается расширением группы Пуанкаре , известной как конформная группа ; говоря простым языком , это относится к тому факту, что растяжение, сжатие или иное искажение пространства-времени сохраняет углы между линиями или кривыми, которые существуют в пространстве-времени. ^{[ необходима ссылка ]}

Конформная симметрия охватывает специальные конформные преобразования и расширения . В трех пространственных и одном временном измерениях конформная симметрия имеет 15 степеней свободы : десять для группы Пуанкаре, четыре для специальных конформных преобразований и одну для расширения.

Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем были первыми, кто изучал конформную симметрию уравнений Максвелла . Они назвали общее выражение конформной симметрии сферическим волновым преобразованием . Общая теория относительности в двух измерениях пространства-времени также обладает конформной симметрией. ^[1]

Генераторы

Алгебра Ли конформной группы имеет следующее представление : ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}}$

где — генераторы Лоренца , генерирует трансляции , генерирует масштабные преобразования (также известные как дилатации или расширения) и генерирует специальные конформные преобразования . ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle P_{\mu }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$

Соотношения коммутации

Соотношения коммутации следующие: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}}$

остальные коммутаторы исчезают. Вот метрический тензор Минковского . ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

Кроме того, является скаляром и является ковариантным вектором относительно преобразований Лоренца . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$

Специальные конформные преобразования задаются формулой ^[3]

${\displaystyle x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}}$

где — параметр, описывающий преобразование. Это специальное конформное преобразование можно также записать как , где ${\displaystyle a^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }}$

${\displaystyle {\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },}$

что показывает, что он состоит из инверсии, за которой следует трансляция, а затем вторая инверсия.

Координатная сетка до специального конформного преобразования

Та же сетка после специального конформного преобразования

В двумерном пространстве -времени преобразования конформной группы являются конформными преобразованиями . Их бесконечно много .

В более чем двух измерениях евклидовы конформные преобразования отображают окружности в окружности, а гиперсферы в гиперсферы, при этом прямая линия считается вырожденной окружностью, а гиперплоскость — вырожденной гиперокружностью.

В более чем двух лоренцевских измерениях конформные преобразования отображают нулевые лучи в нулевые лучи, а световые конусы в световые конусы, при этом нулевая гиперплоскость является вырожденным световым конусом.

Приложения

Конформная теория поля

В релятивистских квантовых теориях поля возможность симметрий строго ограничена теоремой Коулмена–Мандулы при физически разумных предположениях. Наибольшая возможная глобальная группа симметрии несуперсимметричной взаимодействующей теории поля является прямым произведением конформной группы с внутренней группой . ^[4] Такие теории известны как конформные теории поля .

Фазовые переходы второго рода

Одно из конкретных приложений — критические явления в системах с локальными взаимодействиями. Флуктуации ^{[ необходимо разъяснение ]} в таких системах конформно инвариантны в критической точке. Это позволяет классифицировать классы универсальности фазовых переходов в терминах конформных теорий поля

Конформная инвариантность также присутствует в двумерной турбулентности при высоком числе Рейнольдса . ^{[ необходима ссылка ]}

Физика высоких энергий

Многие теории, изучаемые в физике высоких энергий, допускают конформную симметрию, поскольку она обычно подразумевается локальной масштабной инвариантностью . Известным примером является d=4, N=4 суперсимметричная теория Янга–Миллса из-за ее значимости для соответствия AdS/CFT . Кроме того, мировой лист в теории струн описывается двумерной конформной теорией поля, связанной с двумерной гравитацией.

Математические доказательства конформной инвариантности в решетчатых моделях

Физики обнаружили, что многие решеточные модели становятся конформно-инвариантными в критическом пределе. Однако математические доказательства этих результатов появились гораздо позже и только в некоторых случаях.

В 2010 году математик Станислав Смирнов был награждён медалью Филдса «за доказательство конформной инвариантности перколяции и плоской модели Изинга в статистической физике» ^[5] .

В 2020 году математик Уго Дюминиль-Копен и его коллеги доказали, что вращательная инвариантность существует на границе между фазами во многих физических системах. ^{[6] [7]}

Смотрите также

• Конформная карта
• Конформная группа
• Теорема Коулмена–Мандулы
• Группа ренормализации
• Масштабная инвариантность
• Суперконформная алгебра
• Конформное уравнение Киллинга

Ссылки

1. "гравитация - Что делает общую теорию относительности конформным вариантом?". Physics Stack Exchange . Получено 2020-05-01 .
2. Ди Франческо, Матье и Сенешаль 1997, стр. 98.
3. Ди Франческо, Матье и Сенешаль 1997, стр. 97.
4. Хуан Малдасена; Александр Жибоедов (2013). «Ограничение конформных теорий поля с более высокой спиновой симметрией». Журнал физики A: Математическое и теоретическое . 46 (21): 214011. arXiv : 1112.1016 . Bibcode :2013JPhA...46u4011M. doi :10.1088/1751-8113/46/21/214011. S2CID  56398780.
5. Rehmeyer, Julie (19 августа 2010 г.). "Профиль Станислава Смирнова" (PDF) . Международный конгресс математиков . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2012 г. . Получено 19 августа 2010 г. .
6. "Математики доказывают симметрию фазовых переходов". Wired . ISSN  1059-1028 . Получено 2021-07-14 .
7. Думинил-Копен, Хьюго; Козловски, Кароль Каетан; Крачун, Дмитрий; Манолеску, Иоан; Оуламара, Мендес (2020-12-21). «Вращательная инвариантность в критических планарных решеточных моделях». arXiv : 2012.11672 [math.PR].

Источники

• Ди Франческо, Филипп; Матье, Пьер; Сенешаль, Дэвид (1997). Конформная теория поля. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94785-3.