Конец (теория категорий)

Математическая концепция

В теории категорий конец функтора — это универсальное динатуральное преобразование из объекта e из X в S. ^[1 ] ${\displaystyle S:\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X} }$

Более конкретно, это пара , где e — объект X , а — экстраестественное преобразование, такое что для каждого экстраестественного преобразования существует уникальный морфизм X с для каждого объекта a из C. ${\displaystyle (e,\omega )}$ ${\displaystyle \omega :e{\ddot {\to }}S}$ ${\displaystyle \beta :x{\ddot {\to }}S}$ ${\displaystyle h:x\to e}$ ${\displaystyle \beta _{a}=\omega _{a}\circ h}$

Злоупотребляя языком, объект e часто называют концом функтора S (забыванием ) и записывают ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle e=\int _{c}^{}S(c,c){\text{ or just }}\int _{\mathbf {C} }^{}S.}$

Характеристика как предел: если X является полным , а C малым, то конец можно описать как уравнитель на диаграмме.

${\displaystyle \int _{c}S(c,c)\to \prod _{c\in C}S(c,c)\rightrightarrows \prod _{c\to c'}S(c,c'),}$

где первый уравниваемый морфизм индуцируется , а второй индуцируется . ${\displaystyle S(c,c)\to S(c,c')}$ ${\displaystyle S(c',c')\to S(c,c')}$

Коэнд

Определение коконца функтора является двойственным определению конца. ${\displaystyle S:\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X} }$

Таким образом, конец S состоит из пары , где d — объект X , а — экстраестественное преобразование, такое, что для каждого экстраестественного преобразования существует уникальный морфизм X с для каждого объекта a из C. ${\displaystyle (d,\zeta )}$ ${\displaystyle \zeta :S{\ddot {\to }}d}$ ${\displaystyle \gamma :S{\ddot {\to }}x}$ ${\displaystyle g:d\to x}$ ${\displaystyle \gamma _{a}=g\circ \zeta _{a}}$

Конец d функтора S записывается как

${\displaystyle d=\int _{}^{c}S(c,c){\text{ or }}\int _{}^{\mathbf {C} }S.}$

Характеристика как копредела: Двойственно, если X является кополным, а C малым, то коконец может быть описан как коуравнитель на диаграмме

${\displaystyle \int ^{c}S(c,c)\leftarrow \coprod _{c\in C}S(c,c)\leftleftarrows \coprod _{c\to c'}S(c',c).}$

Примеры

• Естественные преобразования:

  Предположим, что у нас есть функторы, тогда ${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {X} }$

  ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {X} }(F(-),G(-)):\mathbf {C} ^{op}\times \mathbf {C} \to \mathbf {Set} }$.

  В этом случае категория множеств является полной, поэтому нам остается только сформировать эквалайзер и в этом случае

  ${\displaystyle \int _{c}\mathrm {Hom} _{\mathbf {X} }(F(c),G(c))=\mathrm {Nat} (F,G)}$

  естественные преобразования из в . Интуитивно, естественное преобразование из в является морфизмом из в для каждого в категории с условиями совместимости. Рассмотрение диаграммы эквалайзера, определяющей конец, делает эквивалентность очевидной. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F(c)}$ ${\displaystyle G(c)}$ ${\displaystyle c}$

• Геометрические реализации :

  Пусть будет симплициальным множеством . То есть, является функтором . Дискретная топология дает функтор , где является категорией топологических пространств. Более того, существует отображение, отправляющее объект в стандартный -симплекс внутри . Наконец, существует функтор , который берет произведение двух топологических пространств. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle d:\mathbf {Set} \to \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle \gamma :\Delta \to \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbf {Top} \times \mathbf {Top} \to \mathbf {Top} }$

  Определим как композицию этого функтора произведения с . Конец является геометрической реализацией . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle dT\times \gamma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

Примечания

1. Мак Лейн (2013).

Ссылки

• Mac Lane, Saunders (2013). Категории для работающих математиков . Springer Science & Business Media. С. 222–226.
• Лорегиан, Фоско (2015). «Это (со)конец, мой единственный (со)друг». arXiv : 1501.02503 [math.CT].

Внешние ссылки

• конец в n Lab