Конциклические точки

Точки на общей окружности

Конкурентные серединные перпендикуляры хорд между конциклическими точками

Описанная окружность C и центр описанной окружности O вписанного многоугольника P

В геометрии множество точек называется конциклическим (или коциклическим ) , если они лежат на общей окружности . Многоугольник , вершины которого концикличны, называется вписанным многоугольником , а окружность называется его описанной окружностью или описанной окружностью . Все конциклические точки равноудалены от центра окружности.

Три точки на плоскости , которые не все лежат на одной прямой, являются конциклическими, поэтому каждый треугольник является вписанным многоугольником с четко определенной описанной окружностью . Однако четыре или более точек на плоскости не обязательно являются конциклическими. После треугольников наиболее подробно изучен особый случай вписанных четырехугольников .

Перпендикулярные серединные перпендикуляры

В общем случае центр O окружности, на которой лежат точки P и Q, должен быть таким, чтобы OP и OQ находились на равных расстояниях. Поэтому O должен лежать на перпендикуляре к отрезку PQ . ^[1] Для n различных точек существует n ( n  − 1)/2 биссектрис, а конциклическое условие состоит в том, что все они пересекаются в одной точке — центре O.

Треугольники

Вершины каждого треугольника лежат на окружности, называемой описанной окружностью . (Из-за этого некоторые авторы определяют «концикличность» только в контексте четырех или более точек на окружности.) ^[2] Несколько других множеств точек, определенных из треугольника, также являются конциклическими, с другими окружностями; см. Окружность из девяти точек ^[3] и теорему Лестера . ^[4]

Радиус окружности , на которой лежит множество точек, по определению является радиусом описанной окружности любого треугольника с вершинами в любых трех из этих точек. Если попарные расстояния между тремя точками равны a , b , и c , то радиус окружности равен

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}.}$

Уравнение описанной окружности треугольника, а также выражения для радиуса и координат центра окружности через декартовы координаты вершин приведены здесь .

Другие конциклические точки

В любом треугольнике все следующие девять точек лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек : середины трех ребер, основания трех высот и точки, находящиеся на полпути между ортоцентром и каждой из трех вершин.

Теорема Лестера утверждает, что в любом разностороннем треугольнике две точки Ферма , центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности.

Если через точку Лемуана провести прямые , параллельные сторонам треугольника, то шесть точек пересечения прямых и сторон треугольника будут лежать на одной окружности, образуя так называемую окружность Лемуана .

Окружность Ван Ламоена , связанная с любым заданным треугольником, содержит центры описанных окружностей шести треугольников, которые определяются внутри ее тремя медианами . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Центр описанной окружности треугольника , его точка Лемуана и его первые две точки Брокара лежат на одной окружности, при этом отрезок от центра описанной окружности до точки Лемуана является диаметром . [ ^5]

Вписанные четырехугольники

Четыре конциклические точки, образующие вписанный четырехугольник , показывающий два равных угла

Четырехугольник ABCD с конциклическими вершинами называется вписанным четырехугольником ; это происходит тогда и только тогда, когда ( теорема о вписанном угле ), которая верна тогда и только тогда, когда противолежащие углы внутри четырехугольника являются дополнительными . ^[6] Вписанный четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d и полупериметром s = ( a + b + c + d ) / 2 имеет радиус описанной окружности, заданный формулой ^{[7] [8]} ${\displaystyle \angle CAD=\angle CBD}$

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}},}$

выражение, выведенное индийским математиком Ватассери Парамешварой в XV веке.

По теореме Птолемея , если четырехугольник задан попарными расстояниями между его четырьмя вершинами A , B , C и D по порядку, то он является вписанным тогда и только тогда, когда произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$

Если две прямые, одна из которых содержит отрезок AC , а другая содержит отрезок BD , пересекаются в точке X , то четыре точки A , B , C , D лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда ^[9]

${\displaystyle \displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}$

Пересечение X может быть внутренним или внешним по отношению к окружности. Эта теорема известна как степень точки .

Выпуклый четырехугольник является ортодиагональным (имеет перпендикулярные диагонали) тогда и только тогда, когда середины сторон и основания четырех высот являются восемью конциклическими точками на так называемой окружности восьми точек .

Циклические многоугольники

Как следствие формулы хорды кольца , площадь, ограниченная описанной и вписанной окружностями каждого единичного правильного n -угольника, равна π /4.

В более общем смысле, многоугольник , в котором все вершины являются конциклическими, называется циклическим многоугольником . Многоугольник является циклическим тогда и только тогда, когда перпендикулярные серединные его ребра являются конкурирующими . ^[10] Каждый правильный многоугольник является циклическим многоугольником.

Для циклического многоугольника с нечетным числом сторон все углы равны тогда и только тогда, когда многоугольник правильный. Циклический многоугольник с четным числом сторон имеет все углы равны тогда и только тогда, когда чередующиеся стороны равны (то есть стороны 1, 3, 5, … равны, и стороны 2, 4, 6, … равны). ^[11]

Циклический пятиугольник с рациональными сторонами и площадью известен как пятиугольник Роббинса . Во всех известных случаях его диагонали также имеют рациональную длину, хотя является ли это верным для всех возможных пятиугольников Роббинса — нерешенная проблема. ^[12]

В любом циклическом n -угольнике с четным n сумма одного набора чередующихся углов (первого, третьего, пятого и т. д.) равна сумме другого набора чередующихся углов. Это можно доказать индукцией из случая n = 4 , в каждом случае заменяя сторону еще тремя сторонами и отмечая, что эти три новые стороны вместе со старой стороной образуют четырехугольник, который сам обладает этим свойством; чередующиеся углы последнего четырехугольника представляют собой добавления к суммам чередующихся углов предыдущего n -угольника.

Касательный многоугольник — это многоугольник, имеющий вписанную окружность, касательную к каждой стороне многоугольника; эти точки касания, таким образом, являются конциклическими на вписанной окружности. Пусть один n -угольник вписан в окружность, и пусть другой n -угольник касается этой окружности в вершинах первого n -угольника. Тогда из любой точки P на окружности произведение перпендикулярных расстояний от P до сторон первого n- угольника равно произведению перпендикулярных расстояний от P до сторон второго n -угольника. ^[13]

Точка на описанной окружности

Пусть вписанный n -угольник _имеет вершины A1 _, …, An _на единичной окружности. Тогда для любой точки M на малой дуге A1An расстояния от M до вершин удовлетворяют _[ ^14]

${\displaystyle {\begin{cases}{\overline {MA_{1}}}+{\overline {MA_{3}}}+\cdots +{\overline {MA_{n-2}}}+{\overline {MA_{n}}}<n/{\sqrt {2}}&{\text{if }}n{\text{ is odd}};\\{\overline {MA_{1}}}+{\overline {MA_{3}}}+\cdots +{\overline {MA_{n-3}}}+{\overline {MA_{n-1}}}\leq n/{\sqrt {2}}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$

Для правильного n -угольника, если — расстояния от любой точки M на описанной окружности до вершин A _i , то ^[15] ${\displaystyle {\overline {MA_{i}}}}$

${\displaystyle 3({\overline {MA_{1}}}^{2}+{\overline {MA_{2}}}^{2}+\dots +{\overline {MA_{n}}}^{2})^{2}=2n({\overline {MA_{1}}}^{4}+{\overline {MA_{2}}}^{4}+\dots +{\overline {MA_{n}}}^{4}).}$

Константа, описывающая многоугольник

Последовательность описанных многоугольников и окружностей.

Любой правильный многоугольник является вписанным. Рассмотрим единичную окружность, затем опишем правильный треугольник так, чтобы каждая сторона касалась окружности. Опишем окружность, затем опишем квадрат. Снова опишем окружность, затем опишем правильный пятиугольник и т. д. Радиусы описанных окружностей сходятся к так называемой постоянной описанной окружности многоугольника

${\displaystyle \prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}=8.7000366\ldots .}$

(последовательность A051762 в OEIS ). Обратная величина этой константы — константа Кеплера–Боукамп .

Вариации

В контекстах, где линии рассматриваются как тип обобщенной окружности с бесконечным радиусом, коллинеарные точки (точки вдоль одной линии) считаются конциклическими. Эта точка зрения полезна, например, при изучении инверсии через окружность или, в более общем смысле, преобразований Мёбиуса (геометрических преобразований, порождаемых отражениями и инверсиями окружностей), поскольку эти преобразования сохраняют концикличность точек только в этом расширенном смысле. ^[16]

В комплексной плоскости (образованной путем рассмотрения действительной и мнимой частей комплексного числа как декартовых координат x и y плоскости) концикличность имеет особенно простую формулировку: четыре точки в комплексной плоскости либо концикличны, либо коллинеарны тогда и только тогда, когда их перекрестное отношение является действительным числом . ^[17]

Целые площади и длины сторон

Некоторые циклические многоугольники обладают тем свойством, что их площадь и все длины сторон являются положительными целыми числами. Треугольники с этим свойством называются треугольниками Герона ; циклические четырехугольники с этим свойством (и с тем, что диагонали, соединяющие противоположные вершины, имеют целую длину) называются четырехугольниками Брахмагупты ; циклические пятиугольники с этим свойством называются пятиугольниками Роббинса . В более общем смысле, версии этих циклических многоугольников, масштабированные рациональным числом, будут иметь площадь и длины сторон, которые являются рациональными числами.

Пусть θ ₁ будет углом, образованным одной стороной вписанного многоугольника, если смотреть из центра описывающей окружности. Аналогично определим центральные углы θ ₂ , ..., θ _n для оставшихся n − 1 сторон. Каждый геронов треугольник и каждый четырехугольник Брахмагупты имеет рациональное значение для тангенса угла четверти, tan θ _k /4 , для каждого значения k . Каждый известный пятиугольник Роббинса (имеет диагонали рациональной длины и ) обладает этим свойством, хотя нерешенной проблемой является то, обладает ли этим свойством каждый возможный пятиугольник Роббинса.

Обратное верно для всех циклических многоугольников с любым числом сторон; если все такие центральные углы имеют рациональные касательные для своих четвертных углов, то подразумеваемый циклический многоугольник, описанный единичной окружностью, будет одновременно иметь рациональные длины сторон и рациональную площадь. Кроме того, каждая диагональ, которая соединяет две вершины, независимо от того, являются ли эти две вершины смежными или нет, будет иметь рациональную длину. Такой циклический многоугольник можно масштабировать так, чтобы его площадь и длина были целыми числами.

Это обратное отношение дает способ генерировать циклические многоугольники с целочисленной площадью, сторонами и диагоналями. Для многоугольника с n сторонами пусть 0 < c ₁ < ... < c _{n −1} < +∞ будут рациональными числами. Это тангенсы одной четверти кумулятивных углов θ ₁ , θ ₁ + θ ₂ , ..., θ ₁ + ... + θ _{n −1} . Пусть q ₁ = c ₁ , пусть q _n = 1 / c _{n −1} , и пусть q _k = ( c _k − c _{k −1} ) / (1 + c _k c _{k −1} ) для k = 2, ..., n −1 . Эти рациональные числа являются тангенсами отдельных четвертных углов, используя формулу для тангенса разности углов. Рациональные длины сторон многоугольника, описанного единичной окружностью, таким образом, получаются как s _k = 4 q _k / (1 + q _k ² ) . Рациональная площадь равна A = ∑ _k 2 q _k (1 − q _k ² ) / (1 + q _k ² ) ² . Их можно превратить в целые числа, масштабируя длины сторон с помощью общей константы.

Другие свойства

Множество из пяти или более точек является конциклическим тогда и только тогда, когда каждое подмножество из четырех точек является конциклическим. ^[18] Это свойство можно рассматривать как аналог концикличности свойства Хелли выпуклых множеств.

Минимальная ограничивающая окружность

Связанное понятие — это понятие минимальной ограничивающей окружности , которая является наименьшей окружностью, полностью содержащей набор точек. Каждый набор точек на плоскости имеет уникальную минимальную ограничивающую окружность, которая может быть построена линейным алгоритмом времени . ^[19]

Даже если набор точек концикличен, их описывающая окружность может отличаться от их минимальной ограничивающей окружности. Например, для тупоугольного треугольника минимальная ограничивающая окружность имеет самую длинную сторону в качестве диаметра и не проходит через противоположную вершину.

Ссылки

1. Либескинд, Шломо (2008), Евклидова и трансформационная геометрия: дедуктивное исследование, Jones & Bartlett Learning, стр. 21, ISBN 9780763743666/
2. Эллиотт, Джон (1902), Элементарная геометрия, Swan Sonnenschein & co., стр. 126.
3. Айзекс, И. Мартин (2009), Геометрия для студентов колледжей, Pure and Applied Undergraduate Texts, т. 8, Американское математическое общество, стр. 63, ISBN 9780821847947.
4. Yiu, Paul (2010), «Круги Лестера, Эванса, Парри и их обобщения» (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 175–209, MR  2868943.
5. Скотт, JA «Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.
6. Педо, Дэн (1997), Круги: математический взгляд, Спектр MAA (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. XXII, ISBN 9780883855188.
7. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2007), «О диагоналях вписанного четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 147–9
8. Хоэн, Ларри (март 2000 г.), «Описанная окружность вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette , 84 (499): 69–70, doi : 10.2307/3621477, JSTOR  3621477
9. Брэдли, Кристофер Дж. (2007), Алгебра геометрии: декартовы, ареальные и проективные координаты , Highperception, стр. 179, ISBN 978-1906338008, OCLC  213434422
10. Байер, Оуэн; Лазебник, Феликс; Смельцер, Дейрдре Л. (2010), Методы евклидовой геометрии, Математическая ассоциация Америки, стр. 77, ISBN 9780883857632.
11. Де Вильерс, Майкл (март 2011 г.). «95.14 Равноугольные вписанные и равносторонние описанные многоугольники». The Mathematical Gazette . 95 (532): 102–107. doi :10.1017/S0025557200002461. JSTOR  23248632. S2CID  233361080.
12. Бухгольц, Ральф Х.; Макдугалл, Джеймс А. (2008). «Циклические многоугольники с рациональными сторонами и площадью». Журнал теории чисел . 128 (1): 17–48. doi : 10.1016/j.jnt.2007.05.005 . MR  2382768.
13. Джонсон, Роджер А. (1929). Современная геометрия: элементарный трактат о геометрии треугольника и окружности . Houghton Mifflin Co. стр. 72. hdl :2027/wu.89043163211.Переиздано издательством Dover Publications под названием Advanced Euclidean Geometry , 1960 и 2007.
14. «Неравенства, предложенные в Crux Mathematicorum» (PDF) . Сборник ИМО . п. 190, №332.10.
15. Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Сообщения по математике и приложениям . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 2024-09-12).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на сентябрь 2024 г. ( ссылка )
16. Цвиккер, К. (2005), Продвинутая геометрия плоских кривых и их приложения, Courier Dover Publications, стр. 24, ISBN 9780486442761.
17. Хан, Лян-шин (1996), Комплексные числа и геометрия, MAA Spectrum (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 65, ISBN 9780883855102.
18. Педоу, Дэн (1988), Геометрия: всеобъемлющий курс, Courier Dover Publications, стр. 431, ISBN 9780486658124.
19. Мегиддо, Н. (1983). «Линейные алгоритмы для линейного программирования в R ³ и связанные с ними проблемы». SIAM Journal on Computing . 12 (4): 759–776. doi :10.1137/0212052. S2CID  14467740.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Конциклический". MathWorld .
• Четыре конциклические точки Михаэля Шрайбера, Демонстрационный проект Вольфрама .