В математике реальное координатное пространство или реальное координатное n- пространство размерности n , обозначаемое R n или , представляет собой множество всех упорядоченных n -кортежей действительных чисел , то есть множество всех последовательностей из n действительных чисел, также известных как координатные векторы . Особые случаи называются действительной прямой R 1 , действительной координатной плоскостью R 2 и действительным координатным трехмерным пространством R 3 . С покомпонентным сложением и скалярным умножением это действительное векторное пространство .
Координаты по любому базису элементов действительного векторного пространства образуют действительное координатное пространство той же размерности, что и векторное пространство. Аналогично, декартовы координаты точек евклидова пространства размерности n , E n ( евклидова прямая , E ; евклидова плоскость , E 2 ; евклидово трехмерное пространство , E 3 ) образуют действительное координатное пространство размерности n .
Эти однозначные соответствия между векторами, точками и координатными векторами объясняют названия координатного пространства и координатного вектора . Это позволяет использовать геометрические термины и методы для изучения действительных координатных пространств, и, наоборот, использовать методы исчисления в геометрии. Этот подход геометрии был введен Рене Декартом в 17 веке. Он широко используется, так как позволяет находить точки в евклидовых пространствах и производить вычисления с ними.
Для любого натурального числа n множество R n состоит из всех n - кортежей действительных чисел ( R ) . Оно называется " n -мерным действительным пространством " или "действительным n -пространством".
Элемент R n , таким образом, является n -кортежем и записывается , где каждое x i является действительным числом. Таким образом, в многомерном исчислении область определения функции нескольких действительных переменных и область определения действительной векторной функции являются подмножествами R n для некоторого n .
Действительное n -пространство имеет ряд дополнительных свойств, а именно:
Эти свойства и структуры R n делают его фундаментальным практически во всех областях математики и областях их применения, таких как статистика , теория вероятностей и многие разделы физики .
Любая функция f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) от n действительных переменных может рассматриваться как функция на R n (то есть с R n в качестве ее области определения ). Использование действительного n -пространства вместо нескольких переменных, рассматриваемых по отдельности, может упростить обозначения и предложить разумные определения. Рассмотрим для n = 2 композицию функций следующего вида: где функции g 1 и g 2 непрерывны . Если
тогда F не обязательно непрерывен. Непрерывность — более сильное условие: непрерывность f в естественной топологии R 2 (обсуждается ниже), также называемая многомерной непрерывностью , которая достаточна для непрерывности композиции F .
Координатное пространство R n образует n -мерное векторное пространство над полем действительных чисел с добавлением структуры линейности и часто по-прежнему обозначается как R n . Операции над R n как векторным пространством обычно определяются как Нулевой вектор задается как и аддитивный обратный вектор x задается как
Эта структура важна, поскольку любое n -мерное действительное векторное пространство изоморфно векторному пространству R n .
В стандартной матричной нотации каждый элемент R n обычно записывается как вектор-столбец , а иногда как вектор-строка :
Координатное пространство R n можно тогда интерпретировать как пространство всех векторов-столбцов размером n × 1 или всех векторов-строк размером 1 × n с обычными матричными операциями сложения и скалярного умножения .
Линейные преобразования из R n в R m могут быть записаны как матрицы m × n , которые действуют на элементы R n через левое умножение (когда элементы R n являются векторами-столбцами) и на элементы R m через правое умножение (когда они являются векторами-строками). Формула для левого умножения, частного случая умножения матриц , имеет вид:
Любое линейное преобразование является непрерывной функцией (см. ниже). Также матрица определяет открытое отображение из R n в R m тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен m .
Координатное пространство R n имеет стандартный базис:
Чтобы увидеть, что это базис, заметим, что произвольный вектор в R n можно записать единственным образом в виде
Тот факт, что действительные числа , в отличие от многих других полей , образуют упорядоченное поле , дает структуру ориентации на R n . Любое линейное отображение полного ранга R n в себя либо сохраняет, либо меняет ориентацию пространства в зависимости от знака определителя его матрицы. Если переставить координаты (или, другими словами, элементы базиса), то результирующая ориентация будет зависеть от четности перестановки .
Диффеоморфизмы R n или областей в нем , благодаря их способности избегать нулевого якобиана , также классифицируются как сохраняющие ориентацию и меняющие ориентацию. Это имеет важные последствия для теории дифференциальных форм , приложения которой включают электродинамику .
Другим проявлением этой структуры является то, что точечное отражение в R n имеет различные свойства в зависимости от четности n . Для четных n оно сохраняет ориентацию, а для нечетных n — меняет ее на противоположную (см. также несобственное вращение ).
R n понимаемое как аффинное пространство, является тем же самым пространством, где R n как векторное пространство действует посредством переносов . Наоборот, вектор следует понимать как « разность между двумя точками», обычно иллюстрируемую направленным отрезком прямой, соединяющим две точки. Различие заключается в том, что не существует канонического выбора того, где должно находиться начало координат в аффинном n -пространстве, поскольку его можно переносить куда угодно.
В реальном векторном пространстве, таком как R n , можно определить выпуклый конус , который содержит все неотрицательные линейные комбинации его векторов. Соответствующее понятие в аффинном пространстве — выпуклое множество , которое допускает только выпуклые комбинации (неотрицательные линейные комбинации, сумма которых равна 1).
На языке универсальной алгебры векторное пространство — это алгебра над универсальным векторным пространством R∞ конечных последовательностей коэффициентов, соответствующих конечным суммам векторов, в то время как аффинное пространство — это алгебра над универсальной аффинной гиперплоскостью в этом пространстве (конечных последовательностей, дающих в сумме 1), конус — это алгебра над универсальным ортантом ( конечных последовательностей неотрицательных чисел), а выпуклое множество — это алгебра над универсальным симплексом (конечных последовательностей неотрицательных чисел, дающих в сумме 1). Это геометризует аксиомы в терминах «сумм с (возможными) ограничениями на координаты».
Еще одно понятие из выпуклого анализа — выпуклая функция от R n до действительных чисел, которая определяется через неравенство между ее значением на выпуклой комбинации точек и суммой значений в этих точках с теми же коэффициентами.
Скалярное произведение определяет норму | x | = √ x ⋅ x на векторном пространстве R n . Если каждый вектор имеет свою евклидову норму , то для любой пары точек расстояние определено, обеспечивая структуру метрического пространства на R n в дополнение к его аффинной структуре.
Что касается структуры векторного пространства, скалярное произведение и евклидово расстояние обычно предполагаются существующими в R n без особых пояснений. Однако, действительное n -пространство и евклидово n -пространство являются, строго говоря, разными объектами. Любое евклидово n -пространство имеет систему координат , в которой скалярное произведение и евклидово расстояние имеют вид, показанный выше, называемый декартовой . Но на евклидовом пространстве существует много декартовых систем координат.
Наоборот, приведенная выше формула для евклидовой метрики определяет стандартную евклидову структуру на R n , но она не является единственно возможной. На самом деле, любая положительно определенная квадратичная форма q определяет свое собственное «расстояние» √ q ( x − y ) , но оно не сильно отличается от евклидовой в том смысле, что Такое изменение метрики сохраняет некоторые ее свойства, например свойство быть полным метрическим пространством . Это также подразумевает, что любое линейное преобразование полного ранга R n или его аффинное преобразование не увеличивает расстояния больше, чем на некоторое фиксированное C 2 , и не делает расстояния меньше, чем в 1 / C 1 раз, в фиксированное конечное число раз меньше. [ необходимо разъяснение ]
Вышеупомянутая эквивалентность метрических функций остается справедливой, если √ q ( x − y ) заменить на M ( x − y ) , где M — любая выпуклая положительная однородная функция степени 1, т. е. векторная норма (см. расстояние Минковского для полезных примеров). Из-за того факта, что любая «естественная» метрика на R n не особенно отличается от евклидовой метрики, R n не всегда отличается от евклидова n -пространства даже в профессиональных математических работах.
Хотя определение многообразия не требует, чтобы его модельное пространство было Rn , этот выбор является наиболее распространенным и почти исключительным в дифференциальной геометрии .
С другой стороны, теоремы вложения Уитни утверждают, что любое вещественное дифференцируемое m -мерное многообразие может быть вложено в R 2 m .
Другие структуры, рассматриваемые на R n, включают структуру псевдоевклидова пространства , симплектическую структуру (четное n ) и контактную структуру (нечетное n ). Все эти структуры, хотя и могут быть определены в координатно-свободной манере, допускают стандартные (и достаточно простые) формы в координатах.
R n также является вещественным векторным подпространством C n , которое инвариантно относительно комплексного сопряжения ; см. также комплексификация .
Существует три семейства многогранников , которые имеют простые представления в пространствах R n для любого n и могут быть использованы для визуализации любой аффинной системы координат в вещественном n -пространстве. Вершины гиперкуба имеют координаты ( x 1 , x 2 , ..., x n ) , где каждое x k принимает одно из двух значений, обычно 0 или 1. Однако вместо 0 и 1 можно выбрать любые два числа, например −1 и 1. n -гиперкуб можно рассматривать как декартово произведение n одинаковых интервалов (таких как единичный интервал [0,1] ) на вещественной прямой. Как n -мерное подмножество его можно описать системой из 2 n неравенств : для [0,1] и для [−1,1] .
Каждая вершина кросс-политопа имеет, для некоторого k , координату x k , равную ±1 , и все остальные координаты , равные 0 (таким образом, это k -й стандартный базисный вектор с точностью до sign ). Это двойственный политоп гиперкуба. Как n -мерное подмножество его можно описать одним неравенством, которое использует операцию абсолютного значения : но это можно выразить и системой из 2 n линейных неравенств.
Третий многогранник с просто перечислимыми координатами — это стандартный симплекс , вершинами которого являются n стандартных базисных векторов и начало координат (0, 0, ..., 0) . Как n -мерное подмножество он описывается системой из n + 1 линейных неравенств: Замена всех «≤» на «<» дает внутренности этих многогранников.
Топологическая структура R n (называемая стандартной топологией , евклидовой топологией или обычной топологией ) может быть получена не только из декартова произведения. Она также идентична естественной топологии, индуцированной евклидовой метрикой, обсуждавшейся выше: множество открыто в евклидовой топологии тогда и только тогда, когда оно содержит открытый шар вокруг каждой своей точки. Кроме того, R n является линейным топологическим пространством (см. непрерывность линейных отображений выше), и существует только одна возможная (нетривиальная) топология, совместимая с его линейной структурой. Поскольку существует много открытых линейных отображений из R n в себя, которые не являются изометриями , может быть много евклидовых структур на R n, которые соответствуют той же топологии. На самом деле, она не сильно зависит даже от линейной структуры: существует много нелинейных диффеоморфизмов (и других гомеоморфизмов) R n на себя или на его части, такие как евклидов открытый шар или внутренность гиперкуба).
Rn имееттопологическую размерность n .
Важным результатом о топологии R n , который далек от поверхностного, является инвариантность Брауэра области определения . Любое подмножество R n (с его топологией подпространства ), гомеоморфное другому открытому подмножеству R n , само является открытым. Непосредственным следствием этого является то, что R m не гомеоморфно R n , если m ≠ n – интуитивно «очевидный» результат, который, тем не менее, трудно доказать.
Несмотря на разницу в топологической размерности и вопреки наивному восприятию, можно непрерывно и сюръективно отобразить реальное пространство меньшей размерности [ требуется разъяснение ] на R n . Возможна непрерывная (хотя и не гладкая) заполняющая пространство кривая (образ R 1 ). [ требуется разъяснение ]
Случаи 0 ≤ n ≤ 1 не предлагают ничего нового: R 1 — это вещественная линия , тогда как R 0 (пространство, содержащее пустой вектор-столбец) — это синглтон , понимаемый как нулевое векторное пространство . Однако полезно включить их в качестве тривиальных случаев теорий, описывающих различные n .
Случай ( x,y ), где x и y — действительные числа, был разработан как декартова плоскость P. Дальнейшая структура была присоединена к евклидовым векторам, представляющим направленные отрезки линий в P. Плоскость также была разработана как расширение поля путем добавления корней X 2 + 1 = 0 к действительному полю. Корень i действует на P как четверть оборота с ориентацией против часовой стрелки. Этот корень порождает группу . Когда ( x,y ) записывается как x + y i , это комплексное число .
Другое групповое действие от , где актор был выражен как j, использует линию y = x для инволюции переворота плоскости ( x,y ) ↦ ( y,x ), обмена координатами. В этом случае точки P записываются как x + y j и называются расщепленными комплексными числами . Эти числа с покоординатным сложением и умножением согласно jj =+1 образуют кольцо , которое не является полем.
Другая кольцевая структура на P использует нильпотентный e для записи x + y e для ( x,y ). Действие e на P сводит плоскость к прямой: Его можно разложить на проекцию на x-координату, затем повернув результат на четверть к оси y: e ( x + y e) = x e, поскольку e 2 = 0. Число x + y e является дуальным числом . Дуальные числа образуют кольцо, но, поскольку e не имеет мультипликативного обратного, оно не порождает группу, поэтому действие не является групповым действием.
Исключение (0,0) из P делает [ x : y ] проективными координатами , которые описывают действительную проективную прямую, одномерное пространство. Поскольку начало координат исключено, по крайней мере одно из отношений x / y и y / x существует. Тогда [ x : y ] = [ x / y :1] или [ x : y ] = [1: y / x ] . Проективная прямая P1 ( R ) является топологическим многообразием, покрытым двумя координатными картами , [ z :1] → z или [1: z ] → z , которые образуют атлас . Для точек, покрытых обеими картами, функция перехода является мультипликативной инверсией на открытой окрестности точки, что обеспечивает гомеоморфизм , требуемый в многообразии. Одно из приложений действительной проективной прямой находится в метрической геометрии Кэли–Клейна.
R 4 можно представить, используя тот факт, что 16 точек ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) , где каждый x k равен либо 0, либо 1, являются вершинами тессеракта ( на рисунке), 4-гиперкуба (см. выше).
Первое крупное применение R 4 — это модель пространства-времени : три пространственные координаты плюс одна временная . Обычно это ассоциируется с теорией относительности , хотя со времен Галилея для таких моделей использовались четыре измерения . Однако выбор теории приводит к другой структуре: в галилеевой относительности координата t является привилегированной, но в эйнштейновской относительности — нет. Специальная теория относительности задается в пространстве Минковского . Общая теория относительности использует искривленные пространства, которые можно рассматривать как R 4 с искривленной метрикой для большинства практических целей. Ни одна из этих структур не обеспечивает (положительно-определенную) метрику на R 4 .
Евклидово R 4 также привлекает внимание математиков, например, из-за его связи с кватернионами , 4-мерной вещественной алгеброй . См. вращения в 4-мерном евклидовом пространстве для некоторой информации.
В дифференциальной геометрии n = 4 — единственный случай, когда R n допускает нестандартную дифференциальную структуру : см. экзотический R 4 .
Можно определить много норм на векторном пространстве R n . Вот некоторые общие примеры:
Действительно удивительным и полезным результатом является то, что каждая норма, определенная на R n , эквивалентна . Это означает, что для двух произвольных норм и на R n вы всегда можете найти положительные действительные числа , такие, что для всех .
Это определяет отношение эквивалентности на множестве всех норм в R n . С помощью этого результата вы можете проверить, что последовательность векторов в R n сходится с тогда и только тогда, когда она сходится с .
Вот набросок того, как может выглядеть доказательство этого результата:
Из-за отношения эквивалентности достаточно показать, что каждая норма на R n эквивалентна евклидовой норме . Пусть — произвольная норма на R n . Доказательство делится на два этапа:
![{\textstyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf35f8f8bd1290edf59ab62204c0dffefa08e3f)
![{\textstyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372b0f141ab63d3195ba2eb91c83f792729b74ff)
