Корневой элемент данных

В математической теории групп корневые данные связной расщепляемой редуктивной алгебраической группы над полем являются обобщением корневой системы , определяющей группу с точностью до изоморфизма. Они были введены Мишелем Демазюром в SGA III , опубликованной в 1970 году.

Определение

Корневой элемент данных состоит из четверки

${\displaystyle (X^{\ast },\Phi ,X_{\ast },\Phi ^{\vee })}$,

где

• ${\displaystyle X^{\ast }}$и являются свободными абелевыми группами конечного ранга вместе с совершенным сопряжением между ними со значениями, в которых мы обозначаем через ( , ) (другими словами, каждая из них отождествляется с двойственной другой). ${\displaystyle X_{\ast }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \Phi }$является конечным подмножеством и является конечным подмножеством и существует биекция из на , обозначаемая . ${\displaystyle X^{\ast }}$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ${\displaystyle X_{\ast }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\vee }}$
• Для каждого , . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{\vee })=2}$
• Для каждого отображение индуцирует автоморфизм корневого элемента данных (другими словами, оно отображается в , а индуцированное действие на отображается в ). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x\mapsto x-(x,\alpha ^{\vee })\alpha }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X_{\ast }}$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$

Элементы называются корнями корневого набора данных, а элементы называются кокорнями . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$

Если не содержит ни для одного , то корневой элемент данных называется редуцированным . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle 2\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$

Корневой элемент алгебраической группы

Если — редуктивная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем с расщепляемым максимальным тором , то ее корневым данным является четверка ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$,

где

• ${\displaystyle X^{*}}$— решетка характеров максимального тора,
• ${\displaystyle X_{*}}$— двойственная решетка (заданная 1-параметрическими подгруппами),
• ${\displaystyle \Phi }$это набор корней,
• ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$— соответствующий набор кокорней.

Связная расщепляемая редуктивная алгебраическая группа над однозначно определяется (с точностью до изоморфизма) своими корневыми данными, которые всегда редуцированы. Наоборот, для любых корневых данных существует редуктивная алгебраическая группа. Корневые данные содержат немного больше информации, чем диаграмма Дынкина , поскольку они также определяют центр группы. ${\displaystyle K}$

Для любого корневого элемента данных мы можем определить двойственный корневой элемент данных , поменяв символы с 1-параметрическими подгруппами и поменяв корни с кокорнями. ${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$ ${\displaystyle (X_{*},\Phi ^{\vee },X^{*},\Phi )}$

Если — связная редуктивная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем , то ее двойственная по Ленглендсу группа — это комплексная связная редуктивная группа, корневые данные которой двойственны корневым данным . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {}^{L}G}$ ${\displaystyle G}$

Ссылки

• Мишель Демазюр , Эксп. XXI в SGA 3 том 3
• TA Springer , Редуктивные группы, в книге «Автоморфные формы, представления и L-функции», том 1, ISBN  0-8218-3347-2