n-ный корень

Арифметическая операция, обратная n-й степени

В математике извлечение корня n- й степени — это операция, включающая два числа: подкоренное выражение и индекс или степень . Получение корня n-й степени записывается как , где x — подкоренное выражение, а n — индекс (также иногда называемый степенью). Это произносится как «корень n-й степени из x». Тогда определением корня n- й степени из числа x является число r (корень), которое, будучи возведено в степень положительного целого числа n , дает  x : ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

${\displaystyle r^{n}=x.}$

Корень степени 2 называется квадратным корнем (обычно пишется без буквы n , просто ), а корень степени 3 — кубическим корнем (пишется ). Корни более высокой степени обозначаются с помощью порядковых номеров, например, корень четвертой степени , корень двадцатой степени и т. д. Вычисление корня n -й степени представляет собой извлечение корня . ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$

Например, 3 — это квадратный корень из 9, поскольку 3 ² = 9, а −3 также является квадратным корнем из 9, поскольку (−3) ² = 9.

Любое ненулевое число, рассматриваемое как комплексное, имеет n различных комплексных корней n- й степени, включая вещественные (не более двух). Корень n -й степени из 0 равен нулю для всех положительных целых чисел n , поскольку 0 ⁿ = 0 . В частности, если n четно и x — положительное действительное число, один из его корней n -й степени вещественный и положительный, один отрицательный, а остальные (когда n > 2 ) являются недействительными комплексными числами ; если n четно и x — отрицательное действительное число, ни один из корней n- й степени не является вещественным. Если n нечетно и x вещественен, один корень n- й степени действительный и имеет тот же знак, что и x , а остальные ( n – 1 ) корни недействительны. Наконец, если x недействителен, то ни один из его корней n- й степени не веществен.

Корни действительных чисел обычно записываются с использованием радикального символа или системы счисления , обозначая положительный квадратный корень из x , если x положителен; для корней более высокого порядка обозначает действительный корень n- й степени, если n нечетное, и положительный корень n- й степени, если n четное и x положительное. В остальных случаях этот символ обычно не используется как неоднозначный. ${\displaystyle {\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Когда рассматриваются комплексные корни n- й степени, часто бывает полезно выбрать один из корней, называемый главным корнем , в качестве главного значения . Обычно выбирают главный корень n- й степени из x как корень n -й степени с наибольшей действительной частью, а если их два (для x вещественный и отрицательный), то корень с положительной мнимой частью . Это делает корень n- й функцией , которая является вещественной и положительной для x, вещественной и положительной, и непрерывной во всей комплексной плоскости , за исключением значений x , которые являются действительными и отрицательными.

Трудность с этим выбором состоит в том, что для отрицательного действительного числа и нечетного индекса главный корень n -й степени не является действительным. Например, имеет три кубических корня, и Реальный кубический корень равен , а главный кубический корень равен ${\displaystyle -8}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle 1-i{\sqrt {3}}.}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.}$

Неразрешенный корень, особенно тот, который использует радикальный символ, иногда называют сурдом [ ^1] или радикалом . ^[2] Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или более высокий корень, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел , оно называется алгебраическим выражением .

Положительный корень числа — это обратная операция возведения в степень с положительными целыми показателями. ^[3] Корни также можно определить как особые случаи возведения в степень , где показатель степени является дробью :

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$

Корни используются для определения радиуса сходимости степенного ряда с помощью корневого теста . Корни n- й степени из 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, таких как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .

История

Архаичный термин для обозначения операции извлечения корней n- го типа — радикация . ^{[4] [5]}

Определение и обозначения

Четыре корня четвертой степени из −1,
ни один из которых не является действительным.

Три корня третьей степени из −1,
один из которых является отрицательным вещественным числом.

Корень n- й степени из числа x , где n — целое положительное число, представляет собой любое из n действительных или комплексных чисел r , n- я степень которого равна x :

${\displaystyle r^{n}=x.}$

Каждое положительное действительное число x имеет единственный положительный корень n -й степени, называемый главным корнем n- й степени и записываемый . Для n, равного 2, это называется главным квадратным корнем, и n опускается. Корень n -й степени также можно представить с помощью возведения в степень как x ^1/n . ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, а отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n- й степени. Например, −2 имеет действительный корень пятой степени, но −2 не имеет действительных корней шестой степени. ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots }$

Каждое ненулевое число x , вещественное или комплексное , имеет n различных корней из комплексных чисел n- й степени. (В случае, если x вещественный, в это число входят любые действительные корни n- й степени.) Единственный комплексный корень из 0 — это 0.

Корни n- й степени почти всех чисел (все целые числа, кроме n -й степени, и все рациональные числа, кроме частных двух n- й степени) иррациональны . Например,

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }$

Все корни n- й степени рациональных чисел являются алгебраическими числами , а все корни n-й степени целых чисел являются целыми алгебраическими числами .

Термин «сурд» восходит к Аль-Хорезми (ок. 825 г.), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышимыми соответственно. Позже это привело к тому, что арабское слово « أصم » ( asamm , что означает «глухой» или «немой»), обозначающее иррациональное число , было переведено на латынь как surdus (что означает «глухой» или «немой»). Жерар Кремонский (около 1150 г.), Фибоначчи (1202 г.), а затем Роберт Рекорд (1551 г.) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений формы, в которой и являются целыми числами, а все выражение обозначает иррациональное число. ^[6] Иррациональные числа вида где является рациональным, называются чистыми квадратичными иррациональными числами ; иррациональные числа вида где и рациональны, называются смешанными квадратичными иррациональными числами . ^[7] ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {a}},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\pm {\sqrt {b}},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Квадратные корни

График . ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {x}}}$

Квадратный корень из числа x — это число r , которое при возведении в квадрат становится x :

${\displaystyle r^{2}=x.}$

Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: один положительный и один отрицательный. Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком корня:

${\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}$

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицательен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни из −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет число, квадрат которого равен −1 .

Кубические корни

График . ${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$

Кубический корень числа x — это число r , куб которого равен x :

${\displaystyle r^{3}=x.}$

Каждое действительное число x имеет ровно один действительный кубический корень, записанный . Например, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$и ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2.}$

Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.

Личности и свойства

Выражение степени корня n- й степени в его экспонентной форме, как в , облегчает манипулирование степенями и корнями. Если — неотрицательное действительное число , ${\displaystyle x^{1/n}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.}$

Каждое неотрицательное число имеет ровно один неотрицательный действительный корень n- й степени, поэтому правила операций с иррациональными числами, включающими неотрицательные подкоренные числа , просты в пределах действительных чисел: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}}$

Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n- й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }$скорее, ${\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}$

Поскольку правило строго соблюдается только для неотрицательных вещественных подкоренных чисел, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}$

Упрощенная форма радикального выражения

Говорят, что невложенное радикальное выражение находится в упрощенной форме, если ^[8]

1. Не существует множителя подкоренного выражения, который можно было бы записать в виде степени, большей или равной индексу.
2. Внутри знака корня нет дробей.
3. В знаменателе радикалов нет.

Например, чтобы записать радикальное выражение в упрощенном виде, можно поступить следующим образом. Сначала найдите идеальный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его: ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\tfrac {2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}}$

Далее идет дробь под знаком радикала, которую меняем следующим образом:

${\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}$

Наконец, удалим радикал из знаменателя следующим образом:

${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$

Когда есть знаменатель, включающий в себя иррациональные числа, всегда можно найти множитель, на который можно умножить и числитель, и знаменатель, чтобы упростить выражение. ^{[9] [10]} Например, используя факторизацию суммы двух кубов :

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.}$

Упрощение радикальных выражений, включающих вложенные радикалы, может быть довольно трудным. Не очевидно, например, что:

${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}}$

Вышеупомянутое можно получить посредством:

${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}$

Пусть , где p и q взаимно простые и положительные целые числа. Тогда рационально тогда и только тогда, когда оба и являются целыми числами, что означает, что и p , и q являются n- ми степенями некоторого целого числа. ${\displaystyle r=p/q}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}}$

Бесконечная серия

Радикал или корень может быть представлен бесконечным рядом :

${\displaystyle (1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}}$

с . Это выражение можно вывести из биномиального ряда . ${\displaystyle |x|<1}$

Вычисление главных корней

Используя метод Ньютона

Корень n- й степени из числа A можно вычислить с помощью метода Ньютона , который начинается с начального предположения x ₀ , а затем повторяется с использованием рекуррентного соотношения

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}$

пока не будет достигнута желаемая точность. Для повышения эффективности вычислений рекуррентное соотношение обычно переписывают

${\displaystyle x_{k+1}={\frac {n-1}{n}}\,x_{k}+{\frac {A}{n}}\,{\frac {1}{x_{k}^{n-1}}}.}$

Это позволяет иметь только одно возведение в степень и вычислить один раз для всех первый фактор каждого члена.

Например, чтобы найти корень пятой степени из 34, мы подставляем n = 5, A = 34 и x ₀ = 2 (первоначальное предположение). Первые 5 итераций примерно таковы:
x ₀ = 2
x ₁ = 2,025
x ₂ = 2,02439 7...
x ₃ = 2,02439 7458...
x ₄ = 2,02439 74584 99885 04251 08172...
x ₅ = 2,02439 74584 99885 04 251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8...
(Показаны все правильные цифры.)

Приближение x ₄ дает точность до 25 десятичных знаков, а x ₅ подходит для 51.

Метод Ньютона можно модифицировать для получения различных обобщенных цепных дробей для корня n -й степени. Например,

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.}$

Поразрядное вычисление главных корней десятичных (по основанию 10) чисел

Показан треугольник Паскаля . ${\displaystyle P(4,1)=4}$

Основываясь на поразрядном вычислении квадратного корня , можно увидеть, что используемая там формула, или , следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Поскольку корень n- й степени числа определяется как значение элемента в строке треугольника Паскаля, такое , что мы можем переписать выражение как . Для удобства назовите результат этого выражения . Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень можно вычислить по цифрам следующим образом. ${\displaystyle x(20p+x)\leq c}$ ${\displaystyle x^{2}+20xp\leq c}$ ${\displaystyle P(n,i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P(4,1)=4}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}}$ ${\displaystyle y}$

Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму длинного деления , и, как и при длинном делении, в строке выше будет записан корень. Теперь разделите цифры на группы цифр, соответствующие взятому корню, начиная с десятичной точки и идя влево и вправо. Десятичная точка корня будет находиться над десятичной точкой подкоренного выражения. Над каждой группой цифр исходного числа появится одна цифра корня.

Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:

1. Начиная слева, снесите самую значащую (крайнюю левую) группу еще не использованных цифр (если все цифры были использованы, напишите «0» количество раз, необходимое для образования группы) и запишите их справа от остаток от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на и добавьте цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c . ${\displaystyle 10^{n}}$
2. Найдите p и x следующим образом:
   • Позвольте быть частью найденного корня , игнорируя любую десятичную точку. (Для первого шага и ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle 0^{0}=1}$
   • Определите наибольшую цифру такую, что . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\leq c}$
   • Поместите цифру как следующую цифру корня, т. е. над группой цифр, которую вы только что сбили. Таким образом, следующим p будет старое p , умноженное на 10 плюс x . ${\displaystyle x}$
3. Вычтите из , чтобы образовать новый остаток. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c}$
4. Если остаток равен нулю и больше нет цифр, которые нужно сбить, то алгоритм завершается. В противном случае вернитесь к шагу 1 для следующей итерации.

Примеры

Найдите квадратный корень из 152,2756.

  1 2. 3 4   / \/01 52.27 56 (Результаты) (Пояснения)   01 x = 1 10 0 ·1·0 0 · 1 2 + 10 1 ·2·0 1 · 1 1 ≤ 1 < 10 0 ·1·0 0 ·2 2 + 10 1 ·2·0 1 · 2 1  01 y = 1 y = 10 0 ·1·0 0 ·1 2 + 10 1 ·2·0 1 ·1 1 = 1 + 0 = 1 00 52 x = 2 10 0 · 1·1 0 · 2 2 + 10 1 ·2·1 1 · 2 1 ≤ 52 < 10 0 ·1·1 0 ·3 2 + 10 1 ·2·1 1 · 3 1 00 44 y = 44 y = 10 0 ·1·1 0 ·2 2 + 10 1 ·2·1 1 · 2 1 = 4 + 40 = 44 08 27 x = 3 10 0 ·1·12 0 · 3 2 + 10 1 ·2·12 1 · 3 1 ≤ 827 < 10 0 ·1· 12 0 ·4 2 + 10 1 ·2 · 12 1 · 4 1 07 29 y = 729 y = 10 0 ·1 · 12 0 ·3 2 + 10 1 ·2 · 12 1 ·3 1 = 9 + 720 = 729 98 56 x = 4 10 0 ·1 · 123 0 · 4 2 + 10 1 ·2 · 123 1 · 4 1 ≤ 9856 < 10 0 ·1 · 123 0 ·5 2 + 10 1 ·2 · 123 1 ·5 1 98 56 у = 9856 у = 10 0 ·1 · 123 0 ·4 2 + 10 1 ·2 · 123 1 ·4 1 = 16 + 9840 = 9856    00 00

Алгоритм завершает работу: Ответ: 12,34.

Найдите кубический корень из числа 4192, округленный до тысячных.

  1 6. 1 2 4  3 / \/ 004 192.000 000 000 (Результаты) (Пояснения)   004 x = 1 10 0 ·1·0 0 · 1 3 + 10 1 ·3·0 1 · 1 2 + 10 2 ·3·0 2 · 1 1 ≤ 4 < 10 0 ·1·0 0 · 2 3 + 10 1 ·3·0 1 ·2 2 + 10 2 ·3·0 2 ·2 1  001 y = 1 y = 10 0 ·1·0 0 ·1 3 + 10 1 ·3·0 1 ·1 2 + 10 2 ·3·0 2 ·1 1 = 1 + 0 + 0 = 1 003 192 x = 6 10 0 ·1·1 0 · 6 3 + 10 1 ·3·1 1 · 6 2 + 10 2 · 3·1 2 · 6 1 ≤ 3192 < 10 0 ·1 · 1 0 ·7 3 + 10 1 ·3 · 1 1 ·7 2 + 10 2 ·3 · 1 2 · 7 1  003 096 y = 3096 y = 10 0 ·1 ·1 0 ·6 3 + 10 1 ·3·1 1 · 6 2 + 10 2 ·3·1 2 ·6 1 = 216 + 1080 + 1800 = 3096 096 000 x = 1 10 0 ·1·16 0 · 1 3 + 10 1 ·3 · 16 1 · 1 2 + 10 2 ·3 · 16 2 · 1 1 ≤ 96000 < 10 0 ·1 · 16 0 ·2 3 + 10 1 ·3 · 16 1 ·2 2 + 10 2 ·3 · 16 2 · 2 1 077 281 y = 77281 y = 10 0 ·1 · 16 0 ·1 3 + 10 1 ·3·16 1 ·1 2 + 10 2 ·3 · 16 2 ·1 1 = 1 + 480 + 76 800 = 77 281 018 719 000 x = 2 10 0 ·1 · 161 0 · 2 3 + 10 1 ·3 · 161 1 · 2 2 + 10 2 ·3 · 161 2 · 2 1 ≤ 18719000 < 10 0 ·1 · 161 0 ·3 3 + 10 1 ·3 · 161 1 · 3 2 + 10 2 ·3 · 161 2 ·3 1  015 571 928 y = 15571928 y = 10 0 ·1·161 0 ·2 3 + 10 1 ·3·161 1 · 2 2 + 10 2 ·3·161 2 ·2 1 = 8 + 19 320 + 15 552 600 = 15 571 928 003 147 072 000 x = 4 10 0 ·1 · 1612 0 · 4 3 + 10 1 ·3 · 1612 1 · 4 2 + 10 2 ·3 · 1612 2 · 4 1 ≤ 3147072000 < 10 0 ·1 · 1612 0 ·5 3 + 10 1 ·3·1612 1 ·5 2 + 10 2 ·3·1612 2 ·5 1

Желаемая точность достигнута. Кубический корень из 4192 равен 16,124...

Логарифмический расчет

Главный корень n -й степени из положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n- й степени из x , а именно , где x положительный и, следовательно, его главный корень r также положительный, нужно логарифмировать обе части ( подойдет любое основание логарифма ), чтобы получить ${\displaystyle r^{n}=x,}$

${\displaystyle n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.}$

Корень r восстанавливается путем взятия антилогарифма :

${\displaystyle r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.}$

(Примечание: эта формула показывает b , возведенное в степень результата деления, а не b, умноженное на результат деления.)

В случае, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один действительный корень r , который также отрицателен. Это можно найти, сначала умножив обе части определяющего уравнения на -1, чтобы получить, а затем, как и раньше, найти | r |, и используя r = −| р | . ${\displaystyle |r|^{n}=|x|,}$

Геометрическая конструктивность

Древнегреческие математики умели с помощью циркуля и линейки построить длину, равную квадратному корню из заданной длины, когда дана вспомогательная линия единичной длины. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени заданной длины не может быть построен, если n не является степенью 2. ^[11]

Сложные корни

Каждое комплексное число , кроме 0, имеет n различных корней n- й степени.

Квадратные корни

Квадратные корни из i

Два квадратных корня комплексного числа всегда являются отрицательными по отношению друг к другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}$

Если выразить комплексное число в полярной форме , то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и уменьшив угол пополам:

${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.}$

Главный корень комплексного числа можно выбрать различными способами, например

${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}}$

который вводит разрез в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 ≤  θ  < 2 π или вдоль отрицательной вещественной оси с − π  <  θ  ≤  π .

Используя первую (последнюю) ветвь, разрежьте главные квадратные корни карты на полуплоскость с неотрицательной мнимой (действительной) частью. Последнее сокращение ветки предполагается в математических программах, таких как Matlab или Scilab . ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle z}$

Корни единства

Три третьего корня из 1

Число 1 имеет n различных корней n- й степени в комплексной плоскости, а именно

${\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}$

где

${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

Эти корни равномерно расположены вокруг единичного круга в комплексной плоскости под углами, кратными . Например, квадратные корни из единицы равны 1 и −1, а корни четвертой степени из единицы равны 1, , −1 и . ${\displaystyle 2\pi /n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i}$

n- ные корни

Геометрическое представление корней со 2-й по 6-ю комплексного числа z в полярной форме re ^iφ  , где r = | г  | и φ = arg z . Если z действительно, φ = 0 или π . Главные корни показаны черным цветом.

Каждое комплексное число имеет n различных корней n- й степени в комплексной плоскости. Это

${\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}$

где η — один корень n- й степени, а 1,  ω ,  ω ² , ...  ω ^{n −1} — корни n-й степени из единицы. Например, четыре различных корня четвертой степени из 2 равны

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}$

В полярной форме один корень n- й степени можно найти по формуле

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.}$

Здесь r — величина (модуль, называемый также абсолютным значением ) числа, корень которого необходимо извлечь; если число можно записать как a+bi , то . Кроме того, это угол, образующийся при повороте начала координат против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он обладает свойствами, которые и ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta =a/r,}$ ${\displaystyle \sin \theta =b/r,}$ ${\displaystyle \tan \theta =b/a.}$

Таким образом, поиск корней n- й степени в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во-первых, величина всех корней n -й степени равна корню n- й степени из величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом, идущим от начала координат до одного из корней n -й степени, равен , где – угол, определяемый таким же образом для числа, из которого извлекается корень. При этом все n корней n- й степени расположены под одинаковыми углами друг от друга. ${\displaystyle \theta /n}$ ${\displaystyle \theta }$

Если n четное, то корни n -й степени комплексного числа, число которых четное, образуют аддитивные обратные пары, так что если число r ₁ является одним из корней n -й степени, то r ₂ = – r ₁ является другим. Это связано с тем, что возведение последнего коэффициента –1 в n-ю степень для четного n дает 1: то есть (– r ₁ ) ⁿ = (–1) ⁿ × r ₁ ⁿ = r ₁ ⁿ .

Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет ветвь в точках, где θ  /  n разрывна.

Решение полиномов

Когда-то была высказана гипотеза , что все полиномиальные уравнения можно решить алгебраически (то есть, что все корни многочлена могут быть выражены через конечное число радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для полиномов третьей степени ( кубик ) и полиномов четвертой степени ( квартиков ), теорема Абеля-Руффини (1824 г.) показывает, что это в целом неверно, когда степень равна 5 или выше. Например, решения уравнения

${\displaystyle x^{5}=x+1}$

не может быть выражено через радикалы. ( ср. уравнение пятой степени )

Доказательство иррациональности несовершенной n - й степени x

Предположим, это рационально. То есть ее можно свести к дроби , где a и b — целые числа без общего делителя. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

Это значит, что . ${\displaystyle x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Поскольку x является целым числом и должен иметь общий делитель, если . Это означает, что если , не находится в простейшей форме. Таким образом, b должно равняться 1. ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Поскольку и , . ${\displaystyle 1^{n}=1}$ ${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$ ${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}$

Это означает, что и, таким образом, . Это означает, что это целое число. Поскольку x не является идеальной n- й степенью, это невозможно. Это иррационально. ${\displaystyle x=a^{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Смотрите также

• Среднее геометрическое
• Алгоритм сдвига n-го корня
• Двенадцатый корень из двух

Рекомендации

1. Бансал, РК (2006). Новый подход к математике CBSE IX. Публикации Лакшми. п. 25. ISBN 978-81-318-0013-3.
2. Сильвер, Ховард А. (1986). Алгебра и тригонометрия . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-021270-2.
3. «Объяснение урока: n-ные корни: целые числа» . Проверено 22 июля 2023 г.
4. «Определение радикации». www.merriam-webster.com .
5. «радикация - Определение радиации на английском языке в Оксфордских словарях» . Оксфордские словари . Архивировано из оригинала 3 апреля 2018 года.
6. «Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов» . Страницы математики Джеффа Миллера . Проверено 30 ноября 2008 г.
7. Харди, GH (1921). Курс чистой математики (3-е изд.). Кембридж. §1.13 «Квадратичные числа» - §1.14, стр. 19–23.
8. МакКег, Чарльз П. (2011). Элементарная алгебра. п. 470. ИСБН 978-0-8400-6421-9.
9. Б. Ф. Кэвинесс, Р. Дж. Фэйтман, «Упрощение радикальных выражений», Труды симпозиума ACM 1976 года по символическим и алгебраическим вычислениям , стр. 329.
10. Ричард Зиппель, «Упрощение выражений с участием радикалов», Журнал символических вычислений 1 : 189–210 (1985) doi : 10.1016/S0747-7171 (85) 80014-6.
11. Ванцель, ML (1837), «Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se resoudre avec la règle et le compas», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1 (2): 366–372.

Внешние ссылки