Квадратный корень из 2

Уникальное положительное действительное число, которое при умножении само на себя дает 2.

Квадратный корень из 2 (1,4142...) — это положительное действительное число , которое при умножении на себя или в квадрате равняется числу 2 . На математическом языке это может быть записано как или . Это алгебраическое число и, следовательно, не трансцендентное число . Технически его следует называть главным квадратным корнем из 2, чтобы отличать его от отрицательного числа с тем же свойством. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2^{1/2}}$

Геометрически квадратный корень из 2 — это длина диагонали квадрата со сторонами в одну единицу длины ; это следует из теоремы Пифагора . Вероятно, это было первое известное число иррационально . ^[1] Дробь99/70(≈ 1,4142 857) иногда используется как хорошее рациональное приближение с достаточно малым знаменателем .

Последовательность A002193 в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей состоит из цифр в десятичном виде квадратного корня из 2, здесь усеченных до 65 десятичных знаков: ^[2]

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799

История

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с аннотациями. Помимо отображения квадратного корня из 2 в шестидесятеричной форме ( 1 24 51 10 ), табличка также дает пример, где одна сторона квадрата равна 30, а диагональ равна 42 25 35 . Шестидесятеричная цифра 30 также может обозначать 0 30 =1/2, в этом случае 0 42 25 35 примерно равно 0,7071065.

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 ( ок.  1800–1600 до н.э.) дает приближенное выражение в четырех шестидесятеричных цифрах, 1 24 51 10 , что с точностью до шести десятичных цифр ^[3] и является наиболее близким из возможных трехзначных шестидесятеричных представлений. из : ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.}$

Другое раннее приближение дано в древнеиндийских математических текстах « Сулбасутры» ( ок.  800–200 до н.э.) следующим образом: Увеличьте длину [стороны] на ее треть, а эту треть – на ее собственную четвертую за вычетом тридцать четвертой части. тот четвертый. ^[4] То есть

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.}$

Это приближение является седьмым в последовательности все более точных приближений, основанных на последовательности чисел Пелла , которые могут быть получены из разложения в непрерывную дробь . Несмотря на меньший знаменатель, оно лишь немного менее точно, чем вавилонское приближение. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Пифагорейцы открыли, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или, выражаясь современным языком, что квадратный корень из двух иррационален . Мало что известно с уверенностью о времени и обстоятельствах этого открытия, но часто упоминается имя Гиппаса Метапонтумского. Некоторое время пифагорейцы считали официальной тайной открытие, что квадратный корень из двух иррационален, и, согласно легенде, Гиппас был убит за его разглашение. ^{[5] [6]} Квадратный корень из двух иногда называют числом Пифагора или константой Пифагора , например, Conway & Guy (1996). ^[7]

Древнеримская архитектура

В древнеримской архитектуре Витрувий описывает использование техники квадратного корня из 2 или техники adquaratum . Он заключается в основном в геометрическом, а не арифметическом методе удвоения квадрата, при котором диагональ исходного квадрата равна стороне полученного квадрата. Витрувий приписывает эту идею Платону . Система использовалась для строительства тротуаров путем создания квадрата, касательного к углам исходного квадрата под углом 45 градусов. Пропорция также использовалась для проектирования атриумов , придавая им длину, равную диагонали, взятой из квадрата, стороны которого эквивалентны ширине предполагаемого атриума. ^[8]

Десятичное значение

Алгоритмы вычислений

Существует множество алгоритмов аппроксимации целыми или десятичными числами. Наиболее распространенным алгоритмом для этого, положенным в основу многих компьютеров и калькуляторов, является вавилонский метод ^[9] вычисления квадратных корней, пример метода Ньютона для вычисления корней произвольных функций. Это происходит следующим образом: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Сначала сделайте предположение, ; значение предположения влияет только на то, сколько итераций потребуется для достижения аппроксимации определенной точности. Затем, используя это предположение, выполните следующие рекурсивные вычисления: ${\displaystyle a_{0}>0}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\dfrac {2}{a_{n}}}\right)={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}$

Каждая итерация улучшает аппроксимацию, примерно удваивая количество правильных цифр. Начиная с , последующие итерации дают: ${\displaystyle a_{0}=1}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a_{1}&={\tfrac {3}{2}}&&=\mathbf {1} .5,\\[3mu]a_{2}&={\tfrac {17}{12}}&&=\mathbf {1.41} 6\ldots ,\\[3mu]a_{3}&={\tfrac {577}{408}}&&=\mathbf {1.41421} 5\ldots ,\\[3mu]a_{4}&={\tfrac {665857}{470832}}&&=\mathbf {1.41421356237} 46\ldots ,\\[3mu]&\qquad \vdots \end{alignedat}}}$

Рациональные приближения

Простое рациональное приближение99/70(≈ 1,4142 857) иногда используется. Несмотря на то, что знаменатель равен всего 70, оно отличается от правильного значения менее чем на1/10 000(ок.+0,72 × 10 ^-4 ).

Следующие два лучших рациональных приближения:140/99(≈ 1,414 1414...) с чуть меньшей ошибкой (ок.-0,72 × 10 ^-4 ), и239/169(≈ 1,4142 012) с погрешностью ок.−0,12 × 10 ⁻⁴ .

Рациональное приближение квадратного корня из двух, полученное в результате четырех итераций вавилонского метода после начала с 0 ₌ 1 (665 857/470 832) слишком велик примерно1,6 × 10 ^-12 ; его квадрат ≈ 2.000 000 000 0045 .

Записи в вычислениях

В 1997 году команда Ясумаса Канада вычислила значение 137 438 953 444 десятичных знаков. В феврале 2006 года рекорд по расчетам был побит с использованием домашнего компьютера. Сигэру Кондо вычислил один триллион десятичных знаков в 2010 году. ^[10] Среди математических констант с вычислительно сложными десятичными разложениями только π , e и золотое сечение были рассчитаны более точно по состоянию на март 2022 года . ^[11] Такие вычисления направлены на эмпирическую проверку того, являются ли такие числа нормальными . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$^{[обновлять]}

Это таблица последних рекордов по вычислению цифр числа . ^[11] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Доказательства иррациональности

Краткое доказательство иррациональности можно получить из теоремы о рациональном корне , то есть, если – монический многочлен с целыми коэффициентами , то любой рациональный корень обязательно является целым числом . Применяя это к многочлену , следует, что он является либо целым числом, либо иррациональным. Поскольку это не целое число (2 не является полным квадратом ), следовательно, оно должно быть иррациональным. Это доказательство можно обобщить и показать, что любой квадратный корень из любого натурального числа , не являющегося точным квадратом, иррационален. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle p(x)=x^{2}-2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Другие доказательства того, что квадратный корень из любого неквадратного натурального числа иррационален, см. в разделе « Квадратичное иррациональное число или бесконечное спуск» .

Доказательство бесконечным спуском.

Одним из доказательств иррациональности числа является следующее доказательство бесконечным спуском . Это также доказательство отрицания путем опровержения : оно доказывает, что утверждение « нерационально», предполагая, что оно рационально, а затем выводя ложность. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

1. Предположим, что это рациональное число, то есть существует пара целых чисел, отношение которых равно . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
2. Если два целых числа имеют общий делитель , его можно исключить с помощью алгоритма Евклида .
3. Тогда ее можно записать в виде неприводимой дроби , так что a и b являются взаимно простыми целыми числами (не имеющими общего множителя), что дополнительно означает, что хотя бы одно из a или b должно быть нечетным . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$
4. Отсюда следует, что и . (  ( ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$а/б) ^п =н ^_/б ^н ) ( a ² и b ² — целые числа)
5. Следовательно, a ² четно, поскольку оно равно 2 b ² . ( 2 b ² обязательно четно, потому что оно в 2 раза больше другого целого числа.)
6. Отсюда следует, что a должно быть четным (поскольку квадраты нечетных целых чисел никогда не бывают четными).
7. Поскольку a четно, существует целое число k , удовлетворяющее условиям . ${\displaystyle a=2k}$
8. Подставив 2 k из шага 7 на a во второе уравнение шага 4: , что эквивалентно . ${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}=2k^{2}}$
9. Поскольку 2 k ² делится на два и, следовательно, четно, и поскольку , из этого следует, что b ² также четно, что означает, что b четно. ${\displaystyle 2k^{2}=b^{2}}$
10. По шагам 5 и 8 оба a и b четные, что противоречит шагу 3 (то есть неприводимо). ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

Поскольку мы получили ложь, предположение (1) о том, что число является рациональным, должно быть ложным. Это означает, что это не рациональное число; то есть иррационально. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

На это доказательство намекнул Аристотель в своей Analytica Priora , §I.23. ^[12] Впервые оно появилось как полное доказательство в « Началах » Евклида , как предложение 117 книги X. Однако с начала 19 века историки согласились, что это доказательство является интерполяцией и не принадлежит Евклиду. ^[13]

Доказательство уникальной факторизацией.

Как и при доказательстве бесконечным спуском, получаем . Будучи одной и той же величиной, каждая сторона имеет одинаковую простую факторизацию согласно фундаментальной теореме арифметики , и, в частности, множитель 2 должен встречаться одинаковое количество раз. Однако множитель 2 справа появляется нечетное количество раз, а слева — четное количество раз — противоречие. ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$

Геометрическое доказательство

Рисунок 1. Геометрическое доказательство Стэнли Тенненбаума иррациональности √ 2

Простое доказательство приписывают Стэнли Тенненбауму , когда он был студентом в начале 1950-х годов. ^{[14] [15]} Даны два квадрата с целыми сторонами a и b соответственно , один из которых в два раза больше другого , поместите две копии меньшего квадрата в больший, как показано на рисунке 1. Область перекрытия квадрата в средний ( ) должен равняться сумме двух непокрытых квадратов ( ). Однако эти квадраты на диагонали имеют целые положительные стороны, которые меньше исходных квадратов. Повторяя этот процесс, получим сколь угодно маленькие квадраты, один из которых в два раза больше площади другого, но оба имеют целые положительные стороны, что невозможно, поскольку положительные целые числа не могут быть меньше 1. ${\displaystyle (2b-a)^{2}}$ ${\displaystyle 2(a-b)^{2}}$

Рисунок 2. Геометрическое доказательство Тома Апостола иррациональности √ 2

Том М. Апостол выдвинул еще один аргумент геометрического доведения до абсурда, показывающий, что это иррационально. ^[16] Это также пример доказательства бесконечным спуском. Он использует классический компас и линейку , доказывая теорему методом, аналогичным тому, который использовали древнегреческие геометры. По сути, это то же самое алгебраическое доказательство, что и в предыдущем абзаце, но рассмотренное с геометрической точки зрения по-другому. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Пусть △  ABC — прямоугольный равнобедренный треугольник с длиной гипотенузы m и катетами n, как показано на рисунке 2. По теореме Пифагора , . Предположим, что m и n — целые числа. Пусть m : n будет соотношением , заданным в самых низких выражениях . ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\sqrt {2}}}$

Нарисуйте дуги BD и CE с центром A. Присоединяйтесь к ДЭ . Отсюда следует, что AB = AD , AC = AE и ∠ BAC и ∠ DAE совпадают. Следовательно , треугольники ABC и ADE равны по SAS .

Поскольку ∠ EBF — прямой угол, а ∠ BEF — половина прямого угла, △  BEF — также прямоугольный равнобедренный треугольник. Следовательно, из BE = m − n следует BF = m − n . По симметрии DF = m − n и △  FDC также является прямоугольным равнобедренным треугольником. Отсюда также следует, что FC знак равно п - ( м - п ) знак равно 2 п - м .

Следовательно, существует еще меньший прямоугольный равнобедренный треугольник с длиной гипотенузы 2 n − m и катетами m − n . Эти значения представляют собой целые числа, даже меньшие, чем m и n , и в том же соотношении, что противоречит гипотезе о том, что m : n находится в самом низком выражении. Следовательно, m и n не могут быть одновременно целыми числами; следовательно, иррационально. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Конструктивное доказательство

Хотя доказательства путем бесконечного спуска конструктивно действительны, когда «иррациональное» определяется как означающее «нерациональное», мы можем получить конструктивно более сильное утверждение, используя положительное определение «иррационального» как «количественно отдельного от всякого рационального». Пусть a и b — целые положительные числа такие, что 1<а/б< 3/2 (так как 1 < 2 < 9/4 удовлетворяет этим границам). Теперь 2 b ² и a ² не могут быть равными, так как первое имеет нечетное число множителей 2, а второе — четное число множителей 2. Таким образом, | 2 б ² - а ² | ≥ 1 . Умножение абсолютной разницы | √ 2 −а/б| на b ² ( √ 2 + а/б) в числителе и знаменателе получим ^[17]

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|2b^{2}-a^{2}|}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{3b^{2}}},}$

последнее неравенство верно, поскольку предполагается, что 1<а/б<3/2 , что даета/б+ √ 2 ≤ 3 (иначе количественную раздельность можно установить тривиально). Это дает нижнюю границу1/3 б ²за разницу | √ 2 −а/б| , дающий прямое доказательство иррациональности в его конструктивно более сильной форме, не опирающийся на закон исключенного третьего ; см. Эрретт Бишоп (1985, стр. 18). Это доказательство конструктивно демонстрирует явное несоответствие между и любым рациональным. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Доказательство с помощью пифагорейских троек.

В этом доказательстве используется следующее свойство примитивных пифагоровых троек :

Если a , b и c — взаимно простые положительные целые числа такие, что a ² + b ² = c ² , то c никогда не бывает четным. ^[18]

Эту лемму можно использовать, чтобы показать, что два одинаковых идеальных квадрата никогда нельзя сложить, чтобы получить еще один совершенный квадрат.

Предположим обратное, что рационально. Поэтому, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$

где и ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$

Возведя в квадрат обе стороны,

${\displaystyle 2={a^{2} \over b^{2}}}$

${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle b^{2}+b^{2}=a^{2}}$

Здесь (b, b, a) — примитивная пифагорова тройка, а по лемме a никогда не бывает четной. Однако это противоречит уравнению 2 b ² = a ² , из которого следует, что a должно быть четным.

Мультипликативный обратный

Мультипликативный обратный (обратный) квадратный корень из двух (т. е. квадратный корень из1/2) — широко используемая константа .

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}=\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=}$ 0,707 106 781 186 547 524 400 844 362 104 849 039 284 835 937 688 47 ... (последовательность A010503 в OEIS )

Половина , также обратная , является общей величиной в геометрии и тригонометрии , потому что единичный вектор , который составляет угол 45 ° с осями в плоскости, имеет координаты ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!.}$

Это число удовлетворяет

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.}$

Характеристики

Размер угла и площадь сектора одинаковы, если радиус конуса равен √ 2 . Эта диаграмма иллюстрирует круговые и гиперболические функции, основанные на площадях секторов u .

Одно интересное свойство ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \!\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1}$

с

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}+1\right)\!\left({\sqrt {2}}-1\right)=2-1=1.}$

Это связано со свойством серебряных соотношений .

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$также может быть выражено через копии мнимой единицы i, используя только квадратный корень и арифметические операции , если символ квадратного корня интерпретируется подходящим образом для комплексных чисел i и − i :

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}{\text{ and }}{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$также является единственным действительным числом, отличным от 1, бесконечная тетрата которого (т. е. бесконечная экспоненциальная башня) равна его квадрату. Другими словами: если для c > 1 , x ₁ = c и x _{n +1} = c ^{x _n} для n > 1 , предел x n при n _→ ∞ будет называться (если этот предел существует) f ( c ) . Тогда это единственное число c > 1 , для которого f ( c ) = c ² . Или символически: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}}=2.}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$появляется в формуле Вьета для π ,

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots ,}$

что связано с формулой ^[19]

${\displaystyle \pi =\lim _{m\to \infty }2^{m}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}} _{m{\text{ square roots}}}\,.}$

Похожий по внешнему виду, но с конечным числом членов, появляется в различных тригонометрических константах : ^[20] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {11\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\[6pt]\sin {\frac {3\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {\pi }{4}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}&\quad \sin {\frac {13\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&\quad \sin {\frac {9\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {5\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {5\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {15\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}\end{aligned}}}$

Неизвестно, является ли число нормальным , что является более сильным свойством, чем иррациональность, но статистический анализ его двоичного разложения согласуется с гипотезой о том, что основание двойки является нормальным . ^[21] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Представительства

Серия и продукт

Идентичность, потому что π/4= грех π/4"="1/√ 2, наряду с бесконечными представлениями произведений для синуса и косинуса , приводит к таким продуктам, как

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots }$

и

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\!\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\!\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\!\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots }$

или эквивалентно,

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\!\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .}$

Число также можно выразить, взяв ряд Тейлора от тригонометрической функции . Например, ряд для cos π/4дает

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.}$

Ряд Тейлора √ 1 + x с x = 1 и использованием двойного факториала n !! дает

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots =1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{128}}+{\frac {7}{256}}+\cdots .}$

Сходимость этого ряда можно ускорить с помощью преобразования Эйлера , производя

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{2^{3k+1}(k!)^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .}$

Неизвестно, можно ли представить формулу типа BBP . Однако формулы типа BBP известны для π √ 2 и √ 2 ln (1+ √ 2 ) . ^[22] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 

Число может быть представлено бесконечной серией египетских дробей со знаменателями, определяемыми 2 ^n-  ми членами рекуррентного соотношения типа Фибоначчи a ( n ) = 34 a ( n −1) − a ( n −2), a ( 0) = 0, а (1) = 6. ^[23]

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a(2^{n})}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{204}}+{\frac {1}{235416}}+\dots \right)}$

Непрерывная дробь

Квадратный корень из 2 и приближения подходящими дробями цепных дробей

Квадратный корень из двух имеет следующее представление цепной дроби :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}.}$

Конвергенторы _ п/добразованные путем усечения этого представления, образуют последовательность дробей, которые аппроксимируют квадратный корень из двух с возрастающей точностью и которые описываются числами Пелла ( т. е. p ² - 2 q ² = ±1 ). Первые конвергенты:1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70,239/169,577/408и сходящееся следующееп/дявляетсяр + 2 q/п + д. Конвергентныйп/дотличается от почти точно ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$1/2 √ 2 q ², что следует из:

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|2q^{2}-p^{2}|}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}={\frac {1}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}\thickapprox {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}}$

Вложенный квадрат

Следующие вложенные квадратные выражения сходятся к : ${\textstyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\tfrac {3}{2}}-2\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}-\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\[10mu]&={\tfrac {3}{2}}-4\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+{\bigl (}{\tfrac {1}{8}}+\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Приложения

Размер бумаги

Серия размеров бумаги

В 1786 году немецкий профессор физики Георг Кристоф Лихтенберг ^[24] обнаружил, что любой лист бумаги, длинный край которого в раз длиннее короткого, можно сложить пополам и выровнять по более короткой стороне, чтобы получить лист точно таких же пропорций, как и лист бумаги. оригинал. Такое соотношение длин более длинной стороны к более короткой гарантирует, что разрезание листа пополам вдоль линии приведет к тому, что меньшие листы будут иметь то же (приблизительное) соотношение, что и исходный лист. Когда в начале 20-го века Германия стандартизировала размеры бумаги , они использовали соотношение Лихтенберга для создания серии размеров бумаги «А» . ^[24] Сегодня (приблизительное) соотношение сторон бумаги по стандарту ISO 216 (A4, A0 и т. д.) составляет 1: . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Доказательство:
Пусть меньшая и большая длина сторон листа бумаги, при этом ${\displaystyle S=}$ ${\displaystyle L=}$

${\displaystyle R={\frac {L}{S}}={\sqrt {2}}}$согласно требованиям ISO 216.

Пусть – аналогичное соотношение половины листа, тогда ${\displaystyle R'={\frac {L'}{S'}}}$

${\displaystyle R'={\frac {S}{L/2}}={\frac {2S}{L}}={\frac {2}{(L/S)}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}=R}$.

Физические науки

Есть несколько интересных свойств, связанных с квадратным корнем из 2 в физических науках :

• Квадратный корень из двух — это соотношение частот тритонового интервала в двенадцатитоновой музыке равной темперации .
• Квадратный корень из двух образует соотношение диафрагм в фотообъективах, что, в свою очередь, означает, что соотношение площадей между двумя последовательными диафрагмами равно 2.
• Небесная широта (склонение) Солнца в течение астрономических точек , пересекающих четверть дня планеты , равна наклону оси планеты, разделенному на . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Расстояния между вершинами двойного единичного куба представляют собой квадратные корни первых шести натуральных чисел , включая квадратный корень из 2 (√7 невозможно из-за теоремы Лежандра о трёх квадратах ).

• В мозгу есть решетчатые клетки, открытые в 2005 году группой под руководством Мэй-Бритт и Эдварда Мозера. «Ячейки сетки были обнаружены в кортикальной области, расположенной рядом с гиппокампом [...] На одном конце этой кортикальной области размер ячейки мал, а на другом очень велик. не оставлено на волю случая, а увеличивается на квадратный корень из двух от одной области к другой». ^[25]

Смотрите также

• Список математических констант
• Квадратный корень из 3 , √ 3
• Квадратный корень из 5 , √ 5
• Константа Гельфонда–Шнайдера , 2 ^{√ 2}
• Коэффициент серебра , 1 + √ 2

Примечания

1. Фаулер, Дэвид Х. (2001), «История открытия несоизмеримости, новый взгляд», Neusis (10): 45–61, MR  1891736
2. "A002193 - OEIS" . oeis.org . Проверено 10 августа 2020 г.
3. Фаулер и Робсон, с. 368.
   Фотография, иллюстрация и описание таблички root(2) из ​​Йельской вавилонской коллекции. Архивировано 13 августа 2012 г. в Wayback Machine.
   Фотографии, описания и анализ таблички root(2) в высоком разрешении (YBC 7289) из Йельская вавилонская коллекция
4. Хендерсон.
5. «Опасное соотношение». nrich.maths.org . Проверено 18 сентября 2023 г.
6. Фон Фриц, Курт (1945). «Открытие несоизмеримости Гиппасом Метапонтумским». Анналы математики . 46 (2): 242–264. дои : 10.2307/1969021. ISSN  0003-486X.
7. Конвей, Джон Х .; Гай, Ричард К. (1996), Книга чисел , Коперник, с. 25
8. Уильямс, Ким ; Оствальд, Майкл (2015). Архитектура и математика от древности до будущего: Том I: От древности до 1500-х годов . Биркхойзер. п. 204. ИСБН 9783319001371.
9. Хотя термин «вавилонский метод» широко распространен в современном использовании, нет прямых доказательств того, как вавилоняне вычислили приближение, наблюдаемое на табличке YBC 7289. Фаулер и Робсон выдвигают обоснованные и подробные предположения. Фаулер и Робсон, с. 376. Фланнери, с. 32, 158. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
   
10. «Константы и записи вычислений». Numbers.computation.free.fr. 12 августа 2010 г. Архивировано из оригинала 1 марта 2012 г. Проверено 7 сентября 2012 г.
11. «Рекорды, установленные y-cruncher». Архивировано из оригинала 7 апреля 2022 г. Проверено 7 апреля 2022 г.
12. Все, что говорит Аристотель, когда пишет о доказательствах от противного , это то, что «диагональ квадрата несоизмерима со стороной, потому что нечетные числа равны четным, если предполагается, что они соизмеримы».
13. В издании греческого текста « Элементов» , опубликованном EF August в Берлине в 1826–1829 гг., это доказательство уже помещено в Приложение. То же самое происходит и с изданием И. Л. Хейберга (1883–1888).
14. Доказательство 8‴. Архивировано 22 апреля 2016 г. в Wayback Machine.
15. Янофски, Н. (2016). «Парадоксы, противоречия и пределы науки». Архивировано из оригинала 30 июня 2016 г.
16. Том М. Апостол (ноябрь 2000 г.), «Иррациональность квадратного корня из двух - геометрическое доказательство», The American Mathematical Monthly , 107 (9): 841–842, doi : 10.2307/2695741, JSTOR  2695741
17. См. Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (2011), «Смысл в классической математике: противоречит ли он интуиционизму?», Intellectica , 56 (2): 223–302 (см. особенно раздел 2.3, сноска 15), arXiv : 1110.5456 , Bibcode :2011arXiv1110.5456U
18. Серпинский, Вацлав (2003), Треугольники Пифагора , Дувр, стр. 4–6, ISBN 978-0-486-43278-6
19. Курант, Ричард; Роббинс, Герберт (1941), Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам , Лондон: Oxford University Press, стр. 124
20. Джулиан Д.А. Уайзман Грех и последствия в Surds. Архивировано 6 мая 2009 г. в Wayback Machine.
21. Гуд и Говер (1967).
22. Бэйли, Дэвид Х. (13 февраля 2011 г.). «Сборник формул типа BBP для математических констант» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 10 июня 2011 г. Проверено 30 апреля 2010 г.
23. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A082405 (a(n) = 34*a(n-1) - a(n-2); a(0)=0, a(1)=6)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 сентября 2016 г.
24. Хьюстон, Кейт (2016). Книга: исследование от корки до корки самого могущественного объекта нашего времени . WW Нортон и компания. п. 324. ИСБН 978-0393244809.
25. Норденген, Кая (2016). Книга: Hjernen er sternen . 2016 Кагге Форлаг АС. п. 81. ИСБН 978-82-489-2018-2.

Рекомендации

• Апостол, Том М. (2000), «Иррациональность квадратного корня из двух – геометрическое доказательство», American Mathematical Monthly , 107 (9): 841–842, doi : 10.2307/2695741, JSTOR  2695741.
• Аристотель (2007), Analytica Priora , eBooks@Adelaide
• Бишоп, Эрретт (1985), Шизофрения в современной математике. Эрретт Бишоп: размышления о нем и его исследованиях (Сан-Диего, Калифорния, 1983), 1–32, Contemp. Математика. 39, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд.
• Фланнери, Дэвид (2005), Квадратный корень из двух , Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-Х.
• Фаулер, Дэвид ; Робсон, Элеонора (1998), «Приближения квадратного корня в старовавилонской математике: YBC 7289 в контексте», Historia Mathematica , 25 (4): 366–378, doi : 10.1006/hmat.1998.2209.
• Хорошо, Эй Джей ; Говер, Теннесси (1967), «Обобщенный последовательный тест и бинарное расширение », Журнал Королевского статистического общества, серия A , 130 (1): 102–107, doi : 10.2307/2344040, JSTOR  2344040 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• Хендерсон, Дэвид В. (2000), «Квадратные корни в Сульба-сутрах», в Горини, Кэтрин А. (редактор), «Геометрия на работе: статьи по прикладной геометрии», Cambridge University Press, стр. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Внешние ссылки

• Гурдон, X.; Себах, П. (2001), «Константа Пифагора: », Числа, константы и вычисления. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• Квадратный корень из двух до 5 миллионов цифр Джерри Боннелл и Роберт Дж. Немирофф . Май 1994 года.
• Квадратный корень из 2 иррационален, сборник доказательств
• Грайм, Джеймс; Боули, Роджер. «Квадратный корень 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} из двух». Числофил . Брэйди Харан .
• √2 Поисковая система 2 миллиарда доступных для поиска цифр √ 2 , π и e