Тело Сирса – Хаака

Самая аэродинамичная форма для сверхзвуковых транспортных средств.

Тело Сирса – Хаака

Тело Сирса -Хаака представляет собой форму с наименьшим теоретическим волновым сопротивлением в сверхзвуковом потоке при заданной длине тела и заданном объеме. Математический вывод предполагает сверхзвуковой поток с малыми возмущениями (линеаризованный), который определяется уравнением Прандтля – Глауэрта . Вывод и форма были опубликованы независимо двумя отдельными исследователями: Вольфгангом Хааком в 1941 году и позже Уильямом Сирсом в 1947 году ^{. [1]}

Теория показывает, что волновое сопротивление масштабируется как квадрат второй производной распределения площади (см. полное выражение ниже), поэтому для низкого волнового сопротивления необходимо, чтобы оно было гладким . Таким образом, тело Сирса–Хаака заострено на каждом конце и плавно растет до максимума, а затем плавно уменьшается ко второй точке. ${\displaystyle D_{\text{wave}}\sim [S''(x)]^{2}}$ ${\displaystyle S(x)}$

Полезные формулы

Площадь поперечного сечения тела Сирса – Хаака равна

${\displaystyle S(x)={\frac {16V}{3L\pi }}[4x(1-x)]^{3/2}=\pi R_{\text{max}}^{2}[4x(1-x)]^{3/2},}$

его объем

${\displaystyle V={\frac {3\pi ^{2}}{16}}R_{\text{max}}^{2}L,}$

его радиус

${\displaystyle r(x)=R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{3/4},}$

производная (наклон) равна

${\displaystyle r'(x)=3R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{-1/4}(1-2x),}$

вторая производная

${\displaystyle r''(x)=-3R_{\text{max}}\{[4x(1-x)]^{-5/4}(1-2x)^{2}+2[4x(1-x)]^{-1/4}\},}$

где:

• x — отношение расстояния от носа к длине всего тела (всегда находится в диапазоне от 0 до 1),
• r — местный радиус,
• ${\displaystyle R_{\text{max}}}$- максимальный радиус (происходит при x = 0,5, в центре формы),
• V – объем,
• L – длина.

Из теории стройного тела ^{[ требуется дальнейшее объяснение ]} следует, что:

${\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{4\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }\int _{0}^{\ell }S''(x_{1})S''(x_{2})\ln |x_{1}-x_{2}|\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2},}$

альтернативно:

${\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{2\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }S''(x)\mathrm {d} x\int _{0}^{x}S''(x_{1})\ln(x-x_{1})\mathrm {d} x_{1}.}$

Эти формулы можно объединить, чтобы получить следующее:

${\displaystyle D_{\text{wave}}={\frac {64V^{2}}{\pi L^{4}}}\rho U^{2}={\frac {9\pi ^{3}R_{max}^{4}}{4L^{2}}}\rho U^{2},}$

${\displaystyle C_{D_{\text{wave}}}={\frac {24V}{L^{3}}}={\frac {9\pi ^{2}R_{max}^{2}}{2L^{2}}},}$

где:

• ${\displaystyle D_{\text{wave}}}$– сила волнового сопротивления ,
• ${\displaystyle C_{D_{\text{wave}}}}$- коэффициент лобового сопротивления (нормированный на динамическое давление и лобовую площадь),
• ${\displaystyle \rho }$- плотность жидкости,
• U — скорость.

Обобщение RT Jones

Вывод Сирса-Хаака по форме тела верен только в пределах стройного тела. Теория была обобщена на тонкие, но неосесимметричные формы Робертом Т. Джонсом в отчете NACA 1284. ^[2] В этом расширении область определяется на конусе Маха , вершина которого находится в точке , а не на плоскости, как предполагалось. от Сирс и Хаак. Следовательно, теория Джонса делает ее применимой к более сложным формам, таким как целые сверхзвуковые самолеты. ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x={\text{constant}}}$

Правило области

На первый взгляд связанная концепция - это правило площади Уиткомба , которое гласит, что волновое сопротивление из-за объема в трансзвуковом потоке зависит в первую очередь от распределения общей площади поперечного сечения, а для низкого волнового сопротивления это распределение должно быть плавным. Распространенным заблуждением является то, что тело Сирса-Хаака имеет идеальное распределение площадей в соответствии с правилом площадей, но это неверно. Уравнение Прандтля -Глауэрта , которое является отправной точкой в ​​выводе формы тела Сирса-Хаака, недействительно в трансзвуковом потоке, где применяется правило площади .

Смотрите также

• Преобразование Прандтля – Глауэрта
• Аэродинамика
• Противоударный корпус
• Носовой обтекатель серии Haack
• Правило области
• Лимон (геометрия)

Рекомендации

1. Паланиаппан, Картик (2004). Тела, имеющие минимальное сопротивление давлению в сверхзвуковом потоке - исследование нелинейных эффектов (PDF) . 22-я конференция и выставка по прикладной аэродинамике. Энтони Джеймсон . Проверено 16 сентября 2010 г.
2. Отчет NACA 1284, Теория сопротивления крыла и корпуса на сверхзвуковых скоростях, Роберт Т. Джонс, 8 июля 1953 г.

Внешние ссылки

• Сайт Haack Mini Drag Rifle Bullet – https://web.archive.org/web/20160306044740/http://www.lima-wiederladetechnik.de/englisch/haack_minimum_drag_bullet.htm
• Geschoßformen kleinsten Wellenwiderstandes В. Хаака, Bericht 139 der Lilienthal-Gesellschaft (1941)
• Калькулятор тела Сирса – Хаака