Точные тригонометрические значения

Тригонометрические числа в виде квадратных корней

В математике значения тригонометрических функций могут быть выражены приблизительно, как в , или точно, как в . Хотя тригонометрические таблицы содержат множество приблизительных значений, точные значения для определенных углов можно выразить с помощью комбинации арифметических операций и квадратных корней . Углы с тригонометрическими значениями, выражаемые таким образом, — это именно те углы, которые можно построить с помощью циркуля и линейки , и эти значения называются конструктивными числами . ${\displaystyle \cos(\pi /4)\approx 0.707}$ ${\displaystyle \cos(\pi /4)={\sqrt {2}}/2}$

Общие углы

Тригонометрические функции углов, кратных 15°, 18° или 22,5°, имеют простые алгебраические значения. Эти значения указаны в следующей таблице для углов от 0° до 90°. ^[1] В таблице ниже метка «Не определено» представляет собой соотношение. Если кодомен тригонометрических функций принимается за вещественные числа , эти записи не определены , тогда как если кодомер принимается за проективно расширенные действительные числа , эти записи принимают значение (см. деление на ноль ). ${\displaystyle 1:0.}$ ${\displaystyle \infty }$

Для углов за пределами этого диапазона тригонометрические значения можно найти, применяя тождества отражения и сдвига, такие как

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&&\sin(2\pi +\theta )&{}=\sin(\pi -\theta )&&{}=\sin(\theta ),\quad &&\sin(\pi +\theta )&&{}=\sin(-\theta )&&{}=-\sin(\theta ),\\[5mu]&&\cos(2\pi +\theta )&{}=\cos(-\theta )&&{}=\cos(\theta ),\quad &&\cos(\pi +\theta )&&{}=\cos(\pi -\theta )&&{}=-\cos(\theta ).\end{alignedat}}}$

Тригонометрические числа

Тригонометрическое число — это число, которое можно выразить как синус или косинус рационального кратного π радиан . ^[2] Поскольку случай синуса можно исключить из этого определения. Поэтому любое тригонометрическое число можно записать как , где k и n — целые числа. Это число можно рассматривать как действительную часть комплексного числа . Формула Де Муавра показывает, что числа такого вида являются корнями из единицы : ${\displaystyle \sin(x)=\cos(x-\pi /2),}$ ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)}$

${\displaystyle \left(\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1}$

Поскольку корень из единицы является корнем многочлена x ⁿ  − 1, он алгебраический . Поскольку тригонометрическое число является средним из корня из единицы и его комплексно-сопряженного числа , а алгебраические числа замкнуты относительно арифметических операций, каждое тригонометрическое число является алгебраическим. ^[2] Минимальные полиномы тригонометрических чисел могут быть явно пронумерованы . ^[3] Напротив, по теореме Линдеманна-Вейерштрасса синус или косинус любого ненулевого алгебраического числа всегда трансцендентен. ^[4]

Действительная часть любого корня из единицы является тригонометрическим числом. По теореме Нивена единственными рациональными тригонометрическими числами являются 0, 1, −1, 1/2 и −1/2. ^[5]

Конструктивность

Угол можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда его синус (или, что то же самое, косинус) можно выразить комбинацией арифметических операций и квадратных корней, примененных к целым числам. ^[6] Кроме того, угол, который является рациональным кратным радианам, является конструктивным тогда и только тогда, когда, когда он выражается в радианах, где a и b являются относительно простыми целыми числами, простая факторизация знаменателя b является произведением некоторого степень двойки и любое количество различных простых чисел Ферма (простое число Ферма — это простое число на единицу, большее степени двойки). ^[7] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle a\pi /b}$

Так, например, это конструктивный угол, потому что 15 является произведением простых чисел Ферма 3 и 5. Точно так же это конструктивный угол, потому что 12 — это степень, умноженная на два (4) простых числа Ферма (3). Но это не конструктивный угол, поскольку он не является произведением различных простых чисел Ферма, поскольку он содержит 3 как множитель дважды, и не является также , поскольку 7 не является простым числом Ферма. ^[8] ${\displaystyle 2\pi /15=24^{\circ }}$ ${\displaystyle \pi /12=15^{\circ }}$ ${\displaystyle \pi /9=20^{\circ }}$ ${\displaystyle 9=3\cdot 3}$ ${\displaystyle \pi /7\approx 25.714^{\circ }}$

Из приведенной выше характеристики следует, что угол целого числа градусов является конструктивным тогда и только тогда, когда это число градусов кратно 3 .

Конструктивные ценности

45°

Из отражения тождества , . Подставив в тригонометрическое тождество Пифагора , получим минимальный полином . Взяв положительный корень, получим . ${\displaystyle \cos(45^{\circ })=\sin(90^{\circ }-45^{\circ })=\sin(45^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(45^{\circ })^{2}+\cos(45^{\circ })^{2}=1}$ ${\displaystyle 2\sin(45^{\circ })^{2}-1=0}$ ${\displaystyle \sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })=1/{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}/2}$

30° и 60°

Значения синуса и косинуса 30 и 60 градусов получены путем анализа равностороннего треугольника . В равностороннем треугольнике все три угла равны и в сумме составляют 180°, следовательно, каждый угловой угол равен 60°. Разделив один угол пополам, получается особый прямоугольный треугольник с углами 30-60-90. По симметрии биссектриса равна половине стороны равностороннего треугольника, поэтому можно сделать вывод : Тогда тождества Пифагора и отражения дают . ${\displaystyle \sin(30^{\circ })=1/2}$ ${\displaystyle \sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\sqrt {1-(1/2)^{2}}}={\sqrt {3}}/2}$

18°, 36°, 54° и 72°

Значение может быть получено с использованием формул множественных углов для синуса и косинуса. ^[9] По формуле двойного угла для синуса: ${\displaystyle \sin(18^{\circ })}$

${\displaystyle \sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })}$

По формуле тройного угла для косинуса:

${\displaystyle \cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))}$

Поскольку sin(36°) = cos(54°), приравняем эти два выражения и сократим коэффициент cos(18°):

${\displaystyle 2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })}$

Это квадратное уравнение имеет только один положительный корень:

${\displaystyle \sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$

Тогда тождество Пифагора дает , а формулы двойного и тройного угла дают синус и косинус 36°, 54° и 72°. ${\displaystyle \cos(18^{\circ })}$

Остальные кратны 3°

Синусы и косинусы всех остальных углов от 0 до 90°, кратных 3°, можно получить из описанных выше углов и формул суммы и разности . В частности, ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}3^{\circ }&=18^{\circ }-15^{\circ },&24^{\circ }&=54^{\circ }-30^{\circ },&51^{\circ }&=60^{\circ }-9^{\circ },&78^{\circ }&=60^{\circ }+18^{\circ },&\\6^{\circ }&=36^{\circ }-30^{\circ },&27^{\circ }&=45^{\circ }-18^{\circ },&57^{\circ }&=30^{\circ }+27^{\circ },&81^{\circ }&=45^{\circ }+36^{\circ },&\\9^{\circ }&=45^{\circ }-36^{\circ },&33^{\circ }&=60^{\circ }-27^{\circ },&63^{\circ }&=45^{\circ }+18^{\circ },&84^{\circ }&=54^{\circ }+30^{\circ },&\\12^{\circ }&=30^{\circ }-18^{\circ },&39^{\circ }&=30^{\circ }+9^{\circ },&66^{\circ }&=36^{\circ }+30^{\circ },&87^{\circ }&=60^{\circ }+27^{\circ }.&\\15^{\circ }&=45^{\circ }-30^{\circ },&42^{\circ }&=60^{\circ }-18^{\circ },&69^{\circ }&=60^{\circ }+9^{\circ },&\\21^{\circ }&=36^{\circ }-9^{\circ },&48^{\circ }&=30^{\circ }+18^{\circ },&75^{\circ }&=45^{\circ }+30^{\circ },&\end{aligned}}}$

Например, поскольку , его косинус можно получить по формуле косинусной разности: ${\displaystyle 24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}}$

Половинные углы

Если знаменатель b умножить на дополнительные коэффициенты 2, синус и косинус можно получить с помощью формул половинного угла . Например, 22,5° ( π /8 рад) составляет половину от 45°, поэтому его синус и косинус равны: ^[11]

${\displaystyle \sin(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1-\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle \cos(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1+\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

Повторное применение формулы косинуса половинного угла приводит к образованию вложенных квадратных корней , которые продолжаются по шаблону, где каждое применение добавляет a к числителю, а знаменатель ^{равен 2.} Например ^: ${\displaystyle {\sqrt {2+\cdots }}}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{16}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\qquad \cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{12}}\right)={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\qquad \cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}$

Это свойство формулы половинного угла является причиной того, что квадратный корень из 2 появляется во многих формулах угла .

Знаменатель 17

Поскольку 17 — простое число Ферма, можно построить правильный 17-угольник , а это означает, что синусы и косинусы углов, таких как радианы, можно выразить через квадратные корни. В частности, в 1796 году Карл Фридрих Гаусс показал, что: ^{[12] [13]} ${\displaystyle 2\pi /17}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}$

Из этого угла можно получить синусы и косинусы других конструктивных углов со знаменателем, кратным 17.

Неконструктивность 1°

Как обсуждалось в § Конструктивность, только определенные углы, которые являются рациональными кратными радианам, имеют тригонометрические значения, которые можно выразить с помощью квадратных корней. Угол 1°, являющийся радианами, имеет повторяющийся коэффициент 3 в знаменателе и поэтому не может быть выражен с использованием только квадратных корней. Связанный с этим вопрос заключается в том, можно ли выразить это с помощью кубических корней. Можно использовать следующие два подхода, но оба приводят к выражению, включающему кубический корень комплексного числа . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /180=\pi /(2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5)}$ ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$

Используя тождество тройного угла, мы можем определить корень кубического многочлена: . Тремя корнями этого полинома являются , , и . Поскольку это конструктивно, выражение для него можно подставить в формулу Кардано , чтобы получить выражение для . Однако, поскольку все три корня кубического числа действительны, это случай casus unducibilis , и выражение потребует извлечения кубического корня из комплексного числа. ^{[14] [15]} ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(3^{\circ })=-4x^{3}+3x}$ ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(59^{\circ })}$ ${\displaystyle -\sin(61^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(3^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$

Альтернативно, по формуле Муавра :

${\displaystyle {\begin{aligned}(\cos(1^{\circ })+i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ }),\\[4mu](\cos(1^{\circ })-i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ }).\end{aligned}}}$

Беря кубические корни и складывая или вычитая уравнения, имеем: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(1^{\circ })&=\;{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}+{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right),\\[5mu]\sin(1^{\circ })&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}-{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right).\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Прямоугольник Эйля , используемый для поиска точных значений для углов, кратных 15 °.
• Список тригонометрических тождеств

Рекомендации

1. Абрамовиц и Стегун 1972, с. 74, 4.3.46
2. Нивен, Иван. Числа: рациональные и иррациональные , 1961. Random House. Новая математическая библиотека , Vol. 1. ISSN  0548-5932. Ч. 5
3. Лемер, Д.Х. (1933). «Заметка о тригонометрических алгебраических числах». Американский математический ежемесячник . 40 (3): 165–166. дои : 10.2307/2301023. JSTOR  2301023.
4. Бургер, Эдвард Б.; Таббс, Роберт (17 апреля 2013 г.). Сделать трансцендентность прозрачной: интуитивный подход к классической теории трансцендентных чисел. Springer Science & Business Media. п. 44. ИСБН 978-1-4757-4114-8.
5. Шаумбергер, Норман (1974). «Классная теорема о тригонометрических иррациональности». Двухлетний математический журнал колледжа . 5 (1): 73–76. дои : 10.2307/3026991. JSTOR  3026991.
6. Мартин, Джордж Э. (1998), Геометрические конструкции , Тексты для студентов по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, doi : 10.1007/978-1-4612-0629-3, ISBN 0-387-98276-0, МР  1483895
7. Мартин, Джордж Э. (1998), Геометрические конструкции , Тексты для студентов по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, стр. 46, номер домена : 10.1007/978-1-4612-0629-3, ISBN 0-387-98276-0, МР  1483895
8. Фрэли, Джон Б. (1994), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-201-53467-2, МР  0225619
9. «Точное значение греха 18 °» . математика-только-математика .
10. Вайс, Адам (1851). Handbuch Der Trigonometerie (на немецком языке). Дж. Л. Шмид. стр. 72–74.
11. Дурбха, Субраманьям (2012). «Геометрический метод нахождения тригонометрических отношений 22 ½ ° и 75 °». Математика в школе . 41 (3): 22–23. JSTOR  23269221.
12. Артур Джонс, Сидни А. Моррис, Кеннет Р. Пирсон, Абстрактная алгебра и знаменитые невозможности , Springer, 1991, ISBN 0387976612 , стр. 178. 
13. Калладжи, Джеймс Дж. «Центральный угол правильного 17-угольника», Mathematical Gazette 67, декабрь 1983 г., 290–292.
14. Родитель, Джеймс Т. (июнь 2011 г.). «Точные значения греха всех целых чисел» (PDF) . Интерактивная математика . Проверено 5 февраля 2024 г.
15. Ковальски, Трэвис (ноябрь 2016 г.). «Синус одного градуса» (PDF) . Математический журнал колледжа . 47 (5): 322–332. doi : 10.4169/college.math.j.47.5.322. S2CID  125810699.

Библиография

• Лемер, Д.Х. (1933). «Заметка о тригонометрических алгебраических числах». Американский математический ежемесячник . 40 (3): 165–166. дои : 10.2307/2301023. JSTOR  2301023.
• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0.
• Уоткинс, Уильям; Зейтлин, Джоэл (1993). «Минимальный полином cos(2*pi/n)». Американский математический ежемесячник . 100 (5): 471–474. дои : 10.2307/2324301. JSTOR  2324301.
• Гистмайр, Курт (1997). «Некоторые линейные отношения между значениями тригонометрических функций при k * pi/n» (PDF) . Акта Арифметика . 81 (4): 387–498. дои : 10.4064/aa-81-4-387-398. МР  1472818.
• Конвей, Джон Х.; Радин, Чарльз; Садун, Лоренцо (1999). «Об углах, квадраты тригонометрических функций которых рациональны». Дискретная и вычислительная геометрия . 22 (3): 321–332. arXiv : math-ph/9812019 . дои : 10.1007/PL00009463. MR  1706614. S2CID  563915.
• Бракен, Пол; Чижек, Иржи (2002). «Оценка квантово-механических пертурбативных сумм с точки зрения квадратичных иррациональных чисел и их использование в приближении дзета (3) / пи ^ 3». Международный журнал квантовой химии . 90 : 42–53. дои : 10.1002/qua.1803.
• Серви, Л.Д. (2003). «Вложенные квадратные корни из 2». Американский математический ежемесячник . 110 (4): 326–330. дои : 10.2307/3647881. JSTOR  3647881.
• Беслин, Скотт; де Анжелис, Валерио (2004). «Минимальные полиномы sin(2*pi/p) и cos(2*pi/p)». Журнал «Математика» . 77 (2): 146–149. дои : 10.1080/0025570X.2004.11953242. JSTOR  3219105. S2CID  118497912.
• Тангсупхатхават, Пинтира; Лаохакосол, Вишиан (2016). «Минимальные полиномы значений алгебраического косинуса при рациональных кратных пи». Журнал целочисленных последовательностей . 19 :16.2.8.