Коэффициент

Мультипликативный множитель в математическом выражении

В математике коэффициент — это мультипликативный множитель, входящий в состав некоторого члена многочлена , ряда или любого другого типа выражения . Это может быть число без единиц измерения , в этом случае оно известно как числовой множитель . ^{[1] Это также} может быть константа с единицами измерения , в этом случае она известна как постоянный множитель . ^[1] В общем случае коэффициентами могут быть любые выражения (включая такие переменные , как a , b и c ). ^{[2] [1]} Когда комбинация переменных и констант не обязательно участвует в произведении , ее можно назвать параметром . ^[1] Например, многочлен имеет коэффициенты 2, −1 и 3, а степени переменной в многочлене имеют параметры-коэффициенты , и . ${\displaystyle 2x^{2}-x+3}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Апостоянный коэффициент , также известный какпостоянный членили простоконстанта, представляет собой величину, либо неявно присоединенную кнулевой степенипеременной, либо не присоединенную к другим переменным в выражении; например, постоянными коэффициентами выражений выше являются число 3 и параметрc, участвующие в 3=c ⋅ x⁰. Коэффициент, присоединенный к высшей степени переменной в многочлене от одной переменной, называетсястаршим коэффициентом; например, в приведенных выше примерах выражений старшими коэффициентами являются 2 иa, соответственно.

В контексте дифференциальных уравнений эти уравнения часто можно записать в терминах полиномов от одной или нескольких неизвестных функций и их производных. В таких случаях коэффициенты дифференциального уравнения являются коэффициентами этого полинома, и они могут быть непостоянными функциями. Коэффициент является постоянным коэффициентом, когда он является постоянной функцией . Во избежание путаницы в этом контексте коэффициент, который не присоединен к неизвестным функциям или их производным, обычно называется постоянным членом, а не постоянным коэффициентом. В частности, в линейном дифференциальном уравнении с постоянным коэффициентом постоянный коэффициентный член обычно не считается постоянной функцией.

Терминология и определения

В математике коэффициент — это множитель в некотором члене многочлена , ряда или любого выражения . Например, в многочлене с переменными и первые два члена имеют коэффициенты 7 и −3. Третий член 1,5 — постоянный коэффициент. В последнем члене коэффициент равен 1 и явно не записывается . $${\displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Во многих сценариях коэффициенты являются числами (как в случае с каждым членом предыдущего примера), хотя они могут быть параметрами задачи или любым выражением в этих параметрах. В таком случае необходимо четко различать символы, представляющие переменные, и символы, представляющие параметры. Следуя Рене Декарту , переменные часто обозначаются как x , y , ..., а параметры как a , b , c , ..., но это не всегда так. Например, если y считается параметром в приведенном выше выражении, то коэффициент при x будет равен −3 y , а постоянный коэффициент (относительно x ) будет равен 1,5 + y .

При записи обычно предполагается, что x — единственная переменная, а a , b и c — параметры; таким образом, в данном случае постоянным коэффициентом является c . $${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$$

Любой многочлен от одной переменной x можно записать как для некоторого неотрицательного целого числа , где — коэффициенты. Это включает возможность того, что некоторые члены имеют коэффициент 0; например, в коэффициент равен 0, и член не появляется явно. Для наибольшего, такого что (если таковой имеется), называется старшим коэффициентом многочлена. Например, старшим коэффициентом многочлена является 4. Это можно обобщить на многомерные многочлены относительно порядка монома , см. Базис Грёбнера § Старший член, коэффициент и моном . $${\displaystyle a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}}$ ${\displaystyle x^{3}-2x+1}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 0x^{2}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{i}}$ $${\displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$$

Линейная алгебра

В линейной алгебре система линейных уравнений часто представляется ее матрицей коэффициентов . Например, система уравнений , связанная с матрицей коэффициентов, имеет вид Матрицы коэффициентов используются в таких алгоритмах, как исключение Гаусса и правило Крамера, для поиска решений системы. $${\displaystyle {\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},}$$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.}$

Начальный элемент ( иногда начальный коэффициент ^{[ требуется ссылка ]} ) строки в матрице — это первый ненулевой элемент в этой строке. Так, например, в матрице начальный коэффициент первой строки равен 1; второй строки равен 2; третьей строки равен 4, а последняя строка не имеет начального коэффициента. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},}$$

Хотя коэффициенты часто рассматриваются как константы в элементарной алгебре, их также можно рассматривать как переменные по мере расширения контекста. Например, координаты вектора в векторном пространстве с базисом являются коэффициентами базисных векторов в выражении ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace }$ $${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.}$$

Смотрите также

• Коэффициент корреляции
• Степень многочлена
• Монический многочлен
• Биномиальный коэффициент

Ссылки

1. "ISO 80000-1:2009". Международная организация по стандартизации . Получено 2019-09-15 .
2. Weisstein, Eric W. "Коэффициент". mathworld.wolfram.com . Получено 15.08.2020 .

Дальнейшее чтение

• Сабах Аль-Хадад и К. Х. Скотт (1979) Колледжская алгебра с приложениями , стр. 42, Winthrop Publishers, Кембридж, Массачусетс, ISBN 0-87626-140-3 . 
• Гордон Фуллер, Уолтер Л. Уилсон, Генри К. Миллер, (1982) College Algebra , 5-е издание, стр. 24, Brooks/Cole Publishing, Монтерей, Калифорния ISBN 0-534-01138-1 .