Коэффициент асимметрии Лоренца

Суммарная статистика кривой Лоренца

Коэффициент асимметрии Лоренца ( LAC ) — это сводная статистика кривой Лоренца , которая измеряет степень асимметрии кривой. Кривая Лоренца используется для описания неравенства в распределении величины (обычно дохода или богатства в экономике, или размера или репродуктивного выхода в экологии). Наиболее распространенной сводной статистикой для кривой Лоренца является коэффициент Джини, который является общей мерой неравенства внутри популяции. Коэффициент асимметрии Лоренца может быть полезным дополнением к коэффициенту Джини. Коэффициент асимметрии Лоренца определяется как

${\displaystyle S=F(\mu )+L(\mu )}$

где функции F и L определены как для кривой Лоренца , а μ — среднее значение. Если S  > 1, то точка, в которой кривая Лоренца параллельна линии равенства, находится выше оси симметрии. Соответственно, если S  < 1, то точка, в которой кривая Лоренца параллельна линии равенства, находится ниже оси симметрии.

Если данные получены из логнормального распределения , то S  = 1, т. е. кривая Лоренца симметрична. ^[1]

Статистику выборки S можно рассчитать из n упорядоченных данных размера, используя следующие уравнения: ${\displaystyle (x_{1},...,x_{m},x_{m+1},...,x_{n})}$

${\displaystyle \delta ={\frac {\mu -x_{m}}{x_{m+1}-x_{m}}}}$

${\displaystyle F(\mu )={\frac {m+\delta }{n}}}$

${\displaystyle L(\mu )={\frac {L_{m}+\delta x_{m+1}}{L_{n}}}}$,

где m — число людей с размером или богатством меньше  μ ^[1] и . Однако, если один или несколько размеров данных равны μ , то S следует определить как интервал, а не как число (см. интервал #LAC, когда некоторые данные равны μ). ${\displaystyle L_{i}=\sum _{j=1}^{i}x_{j}}$

Коэффициент асимметрии Лоренца характеризует важный аспект формы кривой Лоренца. Он показывает, какие классы размера или благосостояния вносят наибольший вклад в общее неравенство населения, измеряемое коэффициентом Джини. Если LAC меньше 1, неравенство в первую очередь обусловлено относительно большим количеством мелких или бедных людей. Если LAC больше 1, неравенство в первую очередь обусловлено несколькими крупнейшими или самыми богатыми людьми.

Для доходов, распределенных в соответствии с логнормальным распределением , LAC тождественно равен 1.

Интервал LAC, когда некоторые данные равны μ

Приведенные выше формулы предполагают, что ни одно из значений данных не равно μ ; строго говоря, мы предполагаем, что размеры данных распределены непрерывно, так что . В противном случае, если одно или несколько из , то часть кривой Лоренца параллельна диагонали, и S следует определить как интервал, а не как число. Интервал можно определить следующим образом: ${\displaystyle P(x_{i}=\mu )\approx 0}$ ${\displaystyle x_{i}=\mu }$

${\displaystyle \left[{\frac {m}{n}}+{\frac {L_{m}}{L_{n}}},{\frac {m+a}{n}}+{\frac {L_{m+a}}{L_{n}}}\right]}$

где a — количество значений данных, равных μ .

Примечания

1. Damgaard & Weiner (2000)

Ссылки

• Дамгаард, Кристиан; Вайнер, Якоб (2000). «Описание неравенства в размере растений или плодовитости». Экология . 81 (4): 1139–1142. doi :10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2.

Внешние ссылки

• LORENZ 3.0 — это блокнот Mathematica , который рисует образцы кривых Лоренца и вычисляет коэффициенты Джини и коэффициенты асимметрии Лоренца на основе данных в таблице Excel.