Козерог

Коядро линейного отображения векторных пространств $f$ $:$ $X$ → $Y$ — это $факторпространство$ Y $/$ im $($ $f$ $)$ области значений f по образу $f$ $.$ Размерность коядра называется корангом $f$ .

Коядра дуальны ядрам теории категорий , отсюда и название: ядро является подобъектом домена (оно отображается на домен), в то время как коядро является фактор-объектом кодомена (оно отображается из кодомена).

Интуитивно, если задано уравнение $f (x) = y$ , которое нужно решить, коядро измеряет ограничения , которым должен удовлетворять $y$ , чтобы это уравнение имело решение – препятствия к решению – в то время как ядро измеряет степени свободы в решении, если оно существует. Это подробно описано в разделе «Интуиция» ниже.

В более общем смысле, коядро морфизма f $: X \to Y в$ некоторой категории (например, гомоморфизм между группами или ограниченный линейный оператор между гильбертовыми пространствами ) — это объект $Q$ и морфизм $q : Y \to Q$ , такие, что композиция $qf$ является нулевым морфизмом категории, и, кроме того, $q$ является универсальным относительно этого свойства. Часто подразумевается отображение $q , а само$ $Q$ называется коядром $f$ .

Во многих ситуациях в абстрактной алгебре , например, для абелевых групп , векторных пространств $или модулей, коядро гомоморфизма f : X \to Y является фактором Y по образу f$ . В топологических условиях $, например, с ограниченными$ линейными операторами между гильбертовыми пространствами , обычно приходится брать замыкание образа перед переходом к фактору $.$

Формальное определение

Можно определить коядро в общих рамках теории категорий $.$ Для того чтобы определение имело смысл, рассматриваемая категория должна иметь нулевые морфизмы . Коядро морфизма $f$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ определяется как коуравнитель f и нулевого морфизма $0$ $XY$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ .

Явно это означает следующее. Коядро $f : X \to Y$ — это объект $Q$ вместе с морфизмом $q : Y \to Q$ таким, что диаграмма

коммутирует . Более того, морфизм $q$ должен быть универсальным для этой диаграммы, т.е. любой другой такой $q' : Y \to Q'$ может быть получен путем композиции $q$ с единственным морфизмом $u : Q \to Q'$ :

Как и во всех универсальных конструкциях, коядро, если оно существует, единственно с точностью до единственного изоморфизма , или, точнее: если $q : Y \to Q$ и $q' : Y \to Q'$ являются двумя коядром $f : X \to Y$ , то существует единственный изоморфизм $u : Q \to Q'$ с $q' = u q$ .

Как и все коуравнители, коядро $q : Y \to Q$ обязательно является эпиморфизмом . Наоборот, эпиморфизм называется нормальным (или конормальным ), если он является коядром некоторого морфизма. Категория называется конормальной , если каждый эпиморфизм является нормальным (например, категория групп является конормальной).

Примеры

В категории групп коядро гомоморфизма групп $f : G \to H$ является фактором H по нормальному замыканию образа $f$ . В случае абелевых групп , $поскольку$ каждая подгруппа нормальна, коядро — это просто $H$ по модулю образа $f$ :

\operatorname {кокер} (f)=H/\operatorname {им} (f).

Особые случаи

В предаддитивной категории имеет смысл складывать и вычитать морфизмы. В такой категории коуравнитель двух морфизмов $f$ и $g$ (если он существует) — это просто коядро их разности:

\operatorname {coeq} (f,g)=\operatorname {coker} (gf).

В абелевой категории (специальный вид предаддитивной категории) образ и кообраз морфизма $f$ задаются формулами

{\begin{align}\operatorname {im} (f)&=\ker(\operatorname {coker} f),\\\operatorname {coim} (f)&=\operatorname {coker} (\ker f).\end{align}}

В частности, каждая абелева категория нормальна (и конормальна). То есть, каждый мономорфизм $m$ может быть записан как ядро некоторого морфизма. В частности, $m$ является ядром своего собственного коядра:

m=\ker(\operatorname {coker} (m))

Интуиция

Коядро можно рассматривать как пространство ограничений , которым должно удовлетворять уравнение, как пространство препятствий , точно так же, как ядро — это пространство решений.

Формально можно связать ядро и коядро отображения $T : V \to W$ точной последовательностью

0\to \ker T\to V{\overset {T}{\longrightarrow }}W\to \operatorname {coker} T\to 0.

Их можно интерпретировать следующим образом: дано линейное уравнение $T (v) = w$ для решения,

ядро — это пространство решений однородного уравнения $T$ $($ $v$ $) = 0$ , а его размерность — это число степеней свободы в решениях уравнения $T$ $($ $v$ ) $=$ $w$ , если они существуют;
Коядро — это пространство ограничений на w , которые должны быть выполнены, чтобы уравнение имело решение, а его размерность — это число независимых ограничений, которые должны быть выполнены, чтобы уравнение имело решение.

Размерность коядра плюс размерность изображения (ранг) в сумме дают размерность целевого пространства, поскольку размерность факторпространства $W / T (V)$ — это просто размерность пространства минус размерность изображения.

В качестве простого примера рассмотрим отображение $T : R 2 \to R 2$ , заданное как $T (x, y) = (0, y)$ . Тогда для того, чтобы уравнение $T (x, y) = (a, b)$ имело решение, мы должны иметь $a = 0$ (одно ограничение), и в этом случае пространство решений равно $(x, b)$ , или, что эквивалентно, $(0, b) + (x, 0)$ , (одна степень свободы). Ядро может быть выражено как подпространство $(x, 0) \subseteq V$ : значение $x$ является свободой в решении. Коядро может быть выражено через действительное отображение $W : (a, b) \to (a)$ : задан вектор $(a, b)$ , значение $a$ является препятствием к существованию решения.

Кроме того, коядро можно рассматривать как нечто, что «обнаруживает» сюръекции таким же образом, как ядро «обнаруживает» инъекции . Отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро тривиально, а отображение сюръективно тогда и только тогда, когда его коядро тривиально, или, другими словами, если $W = im(T)$ .

Ссылки

Saunders Mac Lane : Категории для работающего математика , второе издание, 1978, стр. 64
Эмили Риль : Теория категорий в контексте, Aurora Modern Math Originals, 2014, стр. 82, стр. 139 сноска 8.