В астрономических и геодезических расчетах краковяны являются канцелярским удобством, введенным в 1925 году Тадеушем Банахевичем для решения систем линейных уравнений вручную. Такие системы можно записать как A x = b в матричной нотации, где x и b являются векторами-столбцами, а оценка b требует умножения строк A на вектор x .
Краковцы ввели идею использования транспонирования A , A T и умножения столбцов A T на столбец x . Это равносильно определению нового типа умножения матриц , обозначенного здесь как '∧'. Таким образом, x ∧ A T = b = A x . Краковское произведение двух матриц, скажем, A и B , определяется как A ∧ B = B T A , где B T и A предполагаются совместимыми для общего типа ( Кейли ) умножения матриц.
Так как ( AB ) T = B T A T , то произведения ( A ∧ B ) ∧ C и A ∧ ( B ∧ C ) будут в общем случае различны; таким образом, умножение Краковиана неассоциативно . Краковианы являются примером квазигруппы .
Краковцы приняли соглашение столбец-строка для обозначения отдельных элементов в отличие от стандартного соглашения строка-столбец матричного анализа. Это упростило ручное умножение, так как нужно было следовать двум параллельным столбцам (вместо вертикального столбца и горизонтальной строки в матричной нотации). Это также ускорило компьютерные вычисления, потому что элементы обоих множителей использовались в похожем порядке, что было более совместимо с последовательной памятью доступа в компьютерах того времени — в основном с памятью на магнитной ленте и барабанной памятью . Использование краковцев в астрономии сошло на нет, поскольку компьютеры с большей оперативной памятью стали широко использоваться. Любое современное упоминание о них связано с их неассоциативным умножением.
Назван в честь города Кракова .
В R желаемый эффект может быть достигнут с помощью crossprod()функции. В частности, краковское произведение матриц A и B может быть получено как crossprod(B, A).