Путь (топология)

Непрерывная функция, область определения которой представляет собой замкнутый единичный интервал

Точки, проложенные по пути из в в Однако разные пути могут проходить по одному и тому же набору точек. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

В математике путь в топологическом пространстве — это непрерывная функция из замкнутого интервала в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Пути играют важную роль в областях топологии и математического анализа . Например, топологическое пространство, для которого существует путь, соединяющий любые две точки, называется путе-связным . Любое пространство можно разбить на путе-связные компоненты . Множество путе-связных компонентов пространства часто обозначается ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{0}(X).}$

Можно также определить пути и петли в точечных пространствах , которые важны в теории гомотопий . Если — топологическое пространство с базовой точкой , то путь в — это тот, начальная точка которого — . Аналогично, петля в — это тот, который базируется на . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Определение

Кривая в топологическом пространстве является непрерывной функцией из непустого и невырожденного интервала Путь в является кривой , областью которой является компактный невырожденный интервал (то есть действительные числа ), где называется начальной точкой пути и называется его конечной точкой . Путь от до является путем, начальная точка которого и конечная точка которого Каждый невырожденный компактный интервал гомеоморфен , поэтому путь иногда , особенно в теории гомотопии , определяется как непрерывная функция из замкнутого единичного интервала в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:J\to X}$ ${\displaystyle J\subseteq \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to X}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle I:=[0,1]}$ ${\displaystyle X.}$

Дуга или C ⁰ -дуга в — это путь в , который также является топологическим вложением . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Важно отметить, что путь — это не просто подмножество того, что «выглядит как» кривая , он также включает параметризацию . Например, карты и представляют два разных пути от 0 до 1 на реальной прямой. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$

Петля в пространстве, основанном на , представляет собой путь от до Петля может быть одинаково хорошо рассмотрена как отображение с или как непрерывное отображение из единичной окружности в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle f(0)=f(1)}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:S^{1}\to X.}$

Это происходит потому, что является фактор-пространством , когда отождествляется с Множество всех циклов в образует пространство, называемое пространством циклов ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Гомотопия путей

Гомотопия между двумя путями.

Пути и петли являются центральными предметами изучения в разделе алгебраической топологии, называемом теорией гомотопии . Гомотопия путей уточняет понятие непрерывной деформации пути при сохранении его конечных точек фиксированными.

В частности, гомотопия путей, или гомотопия путей , представляет собой семейство путей, индексированных таким образом, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{t}:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$

• ${\displaystyle f_{t}(0)=x_{0}}$и являются фиксированными. ${\displaystyle f_{t}(1)=x_{1}}$
• отображение, заданное , является непрерывным. ${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle F(s,t)=f_{t}(s)}$

Пути и , соединенные гомотопией, называются гомотопными (или, точнее, гомотопными по путям , чтобы различать отношение, определенное на всех непрерывных функциях между фиксированными пространствами). Можно также определить гомотопию петель, сохраняющих фиксированной базовую точку. ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f_{1}}$

Отношение быть гомотопным — это отношение эквивалентности путей в топологическом пространстве. Класс эквивалентности пути при этом отношении называется гомотопическим классом , часто обозначаемым ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [f].}$

Составление пути

Можно составить пути в топологическом пространстве следующим образом. Предположим, что есть путь из в и есть путь из в . Путь определяется как путь, полученный сначала путем обхода , а затем обхода : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}}$

Очевидно, что композиция пути определена только тогда, когда конечная точка совпадает с начальной точкой. Если рассмотреть все циклы, основанные на точке , то композиция пути является бинарной операцией . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle x_{0},}$

Композиция путей, когда бы она ни была определена, не ассоциативна из-за разницы в параметризации. Однако она ассоциативна с точностью до гомотопии путей. То есть композиция путей определяет групповую структуру на множестве гомотопических классов циклов, основанных на точке в Полученная группа называется фундаментальной группой основанных на обычно обозначается ${\displaystyle [(fg)h]=[f(gh)].}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle \pi _{1}\left(X,x_{0}\right).}$

В ситуациях, требующих ассоциативности композиции путей «на носу», путь в может быть определен как непрерывное отображение из интервала в для любого вещественного числа (такой путь называется путем Мура ). Длина пути такого типа определяется как Композиция путей затем определяется как и раньше со следующей модификацией: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,a]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\geq 0.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle a.}$

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g|\end{cases}}}$

В то время как в предыдущем определении , и все имеют длину (длину домена отображения), это определение делает То, что сделало ассоциативность недействительной для предыдущего определения, заключается в том, что хотя и имеют одинаковую длину, а именно середина произошла между и тогда как середина произошла между и . В этом измененном определении и имеют одинаковую длину, а именно и одну и ту же середину, найденную в и в ; в более общем смысле они имеют одинаковую параметризацию повсюду. ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |fg|=|f|+|g|.}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle f(gh)}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle f(gh)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle f(gh)}$ ${\displaystyle |f|+|g|+|h|,}$ ${\displaystyle \left(|f|+|g|+|h|\right)/2}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle f(gh)}$

Фундаментальный группоид

Существует категориальная картина путей, которая иногда бывает полезной. Любое топологическое пространство порождает категорию , где объекты являются точками , а морфизмы являются гомотопическими классами путей. Поскольку любой морфизм в этой категории является изоморфизмом, эта категория является группоидом , называемым фундаментальным группоидом Петли в этой категории являются эндоморфизмами (все из которых на самом деле являются автоморфизмами ). Группа автоморфизмов точки в является просто фундаментальной группой, основанной на . В более общем смысле, можно определить фундаментальный группоид на любом подмножестве с помощью гомотопических классов путей, соединяющих точки Это удобно для теоремы Ван Кампена . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A.}$

Смотрите также

• Кривая § Топология
• Локально линейно связное пространство  – Свойство топологических пространствPages displaying short descriptions of redirect targets
• Пространство пути (значения)
• Связное пространство  – Топологическое пространство, которое связноPages displaying short descriptions of redirect targets

Ссылки

• Рональд Браун , Топология и группоиды, Booksurge PLC, (2006).
• Дж. Питер Мэй , Краткий курс алгебраической топологии, Издательство Чикагского университета, (1999).
• Джеймс Манкрес , Топология, 2-е изд., Prentice Hall, (2000).