Кривая Де Рама

Непрерывная фрактальная кривая, полученная как изображение пространства Кантора

В математике кривая де Рама — это непрерывная фрактальная кривая, полученная как изображение пространства Кантора или, что эквивалентно, из разложения действительных чисел в единичном интервале по основанию два. Многие известные фрактальные кривые, включая функцию Кантора , кривую Чезаро–Фабера ( кривая Леви C ), функцию вопросительного знака Минковского , кривую бланманже и кривую Коха , являются примерами кривых де Рама. Общая форма кривой была впервые описана Жоржем де Рамом в 1957 году. ^[1]

Строительство

Рассмотрим некоторое полное метрическое пространство (обычно ² с обычным евклидовым расстоянием) и пару сжимающихся отображений на M: ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle d_{0}:\ M\to M}$

${\displaystyle d_{1}:\ M\to M.}$

По теореме Банаха о неподвижной точке они имеют неподвижные точки и соответственно. Пусть x — действительное число в интервале , имеющее двоичное разложение ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {b_{k}}{2^{k}}},}$

где каждый равен 0 или 1. Рассмотрим карту ${\displaystyle b_{k}}$

${\displaystyle c_{x}:\ M\to M}$

определяется

${\displaystyle c_{x}=d_{b_{1}}\circ d_{b_{2}}\circ \cdots \circ d_{b_{k}}\circ \cdots ,}$

где обозначает композицию функций . Можно показать, что каждая из них будет отображать общую область притяжения и в одну точку в . Набор точек , параметризованный одним действительным параметром x , известен как кривая де Рама. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle c_{x}}$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p_{x}}$

Условие непрерывности

Построение в терминах двоичных цифр можно понимать двумя различными способами. Один способ — как отображение пространства Кантора на различные точки на плоскости. Пространство Кантора — это множество всех бесконечно длинных строк двоичных цифр. Это дискретное пространство , и оно несвязно . Пространство Кантора можно отобразить на единичный действительный интервал, рассматривая каждую строку как двоичное расширение действительного числа. В этой карте двоичные рациональные числа имеют два различных представления в виде строк двоичных цифр. Например, действительное число половина имеет два эквивалентных двоичных расширения: и Это аналогично тому, как есть 0,999...=1,000... в десятичных расширениях. Две точки и являются различными точками в пространстве Кантора, но обе отображаются на действительное число половина. Таким образом, действительные числа единичного интервала являются непрерывным образом пространства Кантора. ${\displaystyle h_{1}=0.1000\cdots }$ ${\displaystyle h_{0}=0.01111\cdots }$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{1}}$

То же самое понятие непрерывности применяется к кривой де Рама, требуя, чтобы неподвижные точки были парными, так что

${\displaystyle d_{0}(p_{1})=d_{1}(p_{0})}$

При таком сопряжении бинарные расширения диадических рациональных чисел всегда отображаются в одну и ту же точку, тем самым обеспечивая непрерывность в этой точке. Рассмотрим поведение в одной половине. Для любой точки p на плоскости есть две различные последовательности:

${\displaystyle d_{0}\circ d_{1}\circ d_{1}\circ d_{1}\circ \cdots (p)}$

и

${\displaystyle d_{1}\circ d_{0}\circ d_{0}\circ d_{0}\circ \cdots (p)}$

соответствующие двум двоичным разложениям и . Поскольку оба отображения являются сжимающими, первая последовательность сходится к , а вторая к . Если эти два отображения равны, то оба двоичных разложения 1/2 отображаются в одну и ту же точку. Этот аргумент можно повторить в любой двоичной рациональной системе, тем самым гарантируя непрерывность в этих точках. Действительные числа, которые не являются двоичными рациональными системами, имеют только одно, уникальное двоичное представление, и из этого следует, что кривая не может быть разрывной в таких точках. Полученная кривая де Рама является непрерывной функцией x , при всех x . ${\displaystyle 1/2=0.01111\cdots }$ ${\displaystyle 1/2=0.1000\cdots }$ ${\displaystyle d_{0}(p_{1})}$ ${\displaystyle d_{1}(p_{0})}$ ${\displaystyle p_{x}}$

В общем случае кривые де Рама не дифференцируемы.

Характеристики

Кривые Де Рама по построению самоподобны, поскольку

${\displaystyle p(x)=d_{0}(p(2x))}$для и ${\displaystyle x\in [0,1/2]}$

${\displaystyle p(x)=d_{1}(p(2x-1))}$для ${\displaystyle x\in [1/2,1].}$

Самосимметрии всех кривых де Рама задаются моноидом , описывающим симметрии бесконечного двоичного дерева или пространства Кантора . Этот так называемый моноид удвоения периода является подмножеством модулярной группы .

Образ кривой, т.е. множество точек , может быть получено с помощью итерированной системы функций с использованием набора отображений сжатия . Но результатом итерированной системы функций с двумя отображениями сжатия является кривая де Рама тогда и только тогда, когда отображения сжатия удовлетворяют условию непрерывности . ${\displaystyle \{p(x),x\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle \{d_{0},\ d_{1}\}}$

Подробные, проработанные примеры самоподобий можно найти в статьях о функции Кантора и о функции вопросительного знака Минковского . Точно такой же моноид самоподобий, диадический моноид , применим к каждой кривой де Рама.

Классификация и примеры

Следующие системы генерируют непрерывные кривые.

кривые Чезаро

Кривая Чезаро для a  = 0,3 +  i  0,3

Кривая Чезаро для a = 0,5  +  i  0,5. Это кривая Леви C.

Кривые Чезаро , также известные как кривые Чезаро–Фабера или кривые Леви C , представляют собой кривые Де Рама, созданные с помощью аффинных преобразований, сохраняющих ориентацию , с неподвижными точками и . ${\displaystyle p_{0}=0}$ ${\displaystyle p_{1}=1}$

Из-за этих ограничений кривые Чезаро однозначно определяются комплексным числом , таким что и . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|<1}$ ${\displaystyle |1-a|<1}$

Отображения сжатия и затем определяются как комплексные функции в комплексной плоскости следующим образом: ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}}$

${\displaystyle d_{0}(z)=az}$

${\displaystyle d_{1}(z)=a+(1-a)z.}$

Для значения результирующая кривая представляет собой кривую Леви C. ${\displaystyle a=(1+i)/2}$

Кривые Коха–Пеано

Кривая Коха–Пеано для a  = 0,6 +  i  0,37. Это близко, но не совсем к кривой Коха .

Кривая Коха–Пеано для a  = 0,6 +  i  0,45.

Аналогичным образом можно определить семейство кривых Коха–Пеано как множество кривых де Рама, порожденных аффинными преобразованиями, меняющими ориентацию на противоположную, с неподвижными точками и . ${\displaystyle p_{0}=0}$ ${\displaystyle p_{1}=1}$

Эти отображения выражаются в комплексной плоскости как функция , комплексно сопряженная : ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle d_{0}(z)=a{\overline {z}}}$

${\displaystyle d_{1}(z)=a+(1-a){\overline {z}}.}$

Название семейства происходит от двух его самых известных членов. Кривая Коха получается путем установки:

${\displaystyle a_{\text{Koch}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{6}},}$

в то время как кривая Пеано соответствует:

${\displaystyle a_{\text{Peano}}={\frac {(1+i)}{2}}.}$

Кривая де Рама для значений чуть меньше единицы визуально напоминает кривую Осгуда . Эти две кривые тесно связаны, но не одинаковы. Кривая Осгуда получается путем повторного вычитания множеств и, таким образом, является совершенным множеством , во многом похожим на само множество Кантора . Построение множества Осгуда требует вычитания все меньших треугольников, оставляя после себя «толстое» множество ненулевой меры; построение аналогично толстому множеству Кантора , которое имеет ненулевую меру . Напротив, кривая де Рама не является «толстой»; построение не предлагает способа «утолщить» «отрезки прямой», которые проходят «между» двоичными рациональными числами. ${\displaystyle a=(1+ib)/2}$ ${\displaystyle b}$

Общие аффинные отображения

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Кривые Чезаро–Фабера и Пеано–Коха являются частными случаями общего случая пары аффинных линейных преобразований на комплексной плоскости. Зафиксировав одну конечную точку кривой в точке 0, а другую в точке 1, общий случай получается путем итерации двух преобразований

${\displaystyle d_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\alpha &\delta \\0&\beta &\varepsilon \end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle d_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\\alpha &1-\alpha &\zeta \\\beta &-\beta &\eta \end{pmatrix}}.}$

Будучи аффинными преобразованиями , эти преобразования действуют на точку двумерной плоскости, действуя на вектор ${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\u\\v\end{pmatrix}}.}$

Средняя точка кривой находится в точке ; остальные четыре параметра можно изменять, создавая большое разнообразие кривых. ${\displaystyle (u,v)=(\alpha ,\beta )}$

Кривую бланманже параметра можно получить, установив , и . То есть: ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =1/2}$ ${\displaystyle \delta =\zeta =0}$ ${\displaystyle \varepsilon =\eta =w}$

${\displaystyle d_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&0\\0&1/2&w\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle d_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\1/2&1/2&0\\1/2&-1/2&w\end{pmatrix}}.}$

Поскольку кривая бланманже для параметра является параболой уравнения , это иллюстрирует тот факт, что в некоторых случаях кривые де Рама могут быть гладкими. ${\displaystyle w=1/4}$ ${\displaystyle f(x)=4x(1-x)}$

Функция вопросительного знака Минковского

Функция вопросительного знака Минковского генерируется парой отображений

${\displaystyle d_{0}(z)={\frac {z}{z+1}}}$

и

${\displaystyle d_{1}(z)={\frac {1}{2-z}}.}$

Не примеры

При наличии любых двух функций и можно определить отображение из пространства Кантора , повторной итерацией цифр, точно так же, как для кривых де Рама. В общем случае результатом не будет кривая де Рама, когда условия непрерывности не выполняются. Таким образом, существует много множеств, которые могут находиться во взаимно-однозначном соответствии с пространством Кантора, чьи точки могут быть однозначно помечены точками в пространстве Кантора; однако, это не кривые де Рама, когда двоичные рациональные числа не отображаются в одну и ту же точку. ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}}$

Множество Жюлиа множества Мандельброта

Множество Мандельброта генерируется итерационным уравнением удвоения периода . Соответствующее множество Жюлиа получается итерацией в противоположном направлении. Это делается путем записи , что дает два различных корня, из которых «пришла» прямая итерация . Эти два корня можно различить как ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c.}$ ${\displaystyle z_{n}=\pm {\sqrt {z_{n+1}-c}}}$ ${\displaystyle z_{n+1}}$

${\displaystyle d_{0}(z)=+{\sqrt {z-c}}}$

и

${\displaystyle d_{1}(z)=-{\sqrt {z-c}}.}$

Фиксируя комплексное число , получаем множество Жюлиа для этого значения . Эта кривая непрерывна, когда находится внутри множества Мандельброта; в противном случае это несвязная пыль точек. Однако причина непрерывности не в условии де Рама, поскольку, в общем случае, точки, соответствующие двоичным рациональным числам, находятся далеко друг от друга. Фактически, это свойство можно использовать для определения понятия «полярных противоположностей», сопряженных точек в множестве Жюлиа. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Обобщения

Легко обобщить определение, используя более двух отображений сжатия. Если использовать n отображений, то вместо двоичного разложения действительных чисел следует использовать n -арное разложение x . Условие непрерывности следует обобщить в:

${\displaystyle d_{i}(p_{n-1})=d_{i+1}(p_{0})}$, для ${\displaystyle i=0\ldots n-2.}$

Это условие непрерывности можно понять на следующем примере. Предположим, что мы работаем в десятичной системе счисления. Тогда у нас есть (знаменитое) 0,999...= 1,000... , что является уравнением непрерывности, которое должно выполняться в каждом таком промежутке. То есть, учитывая десятичные цифры с , у нас есть ${\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}\neq 9}$

${\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k},9,9,9,\cdots =b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}+1,0,0,0,\cdots }$

Такое обобщение позволяет, например, создать стреловидную кривую Серпинского (чьим образом является треугольник Серпинского ), используя отображения сжатия итерированной системы функций, которая создает треугольник Серпинского.

Мультифрактальные кривые

Орнштейн и другие описывают мультифрактальную систему , в которой вместо работы на фиксированной основе используется работа на переменной основе.

Рассмотрим произведение пространств переменной базы и дискретных пространств ${\displaystyle m_{n}}$

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

для циклической группы , для целого числа. Любое действительное число в единичном интервале можно разложить в последовательность так, что каждое . Точнее, действительное число записывается как ${\displaystyle A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\cdots ,m_{n}-1\}}$ ${\displaystyle m_{n}\geq 2}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )}$ ${\displaystyle a_{n}\in A_{n}}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{\prod _{k=1}^{n}m_{k}}}}$

Это расширение не уникально, если все прошло некоторую точку . В этом случае, один имеет, что ${\displaystyle a_{n}=0}$ ${\displaystyle K<n}$

${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{K},0,0,\cdots =a_{1},a_{2},\cdots ,a_{K}-1,m_{K+1}-1,m_{K+2}-1,\cdots }$

Такие точки аналогичны двоичным рациональным числам в двоичном разложении, и в этих точках должны применяться уравнения непрерывности на кривой.

Для каждого необходимо указать две вещи: набор из двух точек и и набор функций (с ). Условие непрерывности тогда такое же, как и выше, ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle p_{0}^{(n)}}$ ${\displaystyle p_{1}^{(n)}}$ ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle d_{j}^{(n)}(z)}$ ${\displaystyle j\in A_{n}}$

${\displaystyle d_{j}^{(n)}(p_{1}^{(n+1)})=d_{j+1}^{(n)}(p_{0}^{(n+1)})}$, для ${\displaystyle j=0,\cdots ,m_{n}-2.}$

Оригинальный пример Орнштейна, использованный

${\displaystyle \Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots }$

Смотрите также

• Система итерированных функций
• Уточняемая функция
• Модульная группа
• Группа фуксии

Ссылки

1. Жорж де Рам, Sur quelques courbes определяет части функционирующих уравнений . унив. е Политех. Турин. Ренд. Сем. Матем., 1957, 16, 101 –113.

Дальнейшее чтение

• Жорж де Рам, О некоторых кривых, определяемых функциональными уравнениями (1957), перепечатано в Classics on Fractals , под ред. Джеральда А. Эдгара (Addison-Wesley, 1993), стр. 285–298.
• Линас Вепстас, Галерея кривых де Рама , (2006).
• Линас Вепстас, Симметрии отображений удвоения периода , (2006). (Общее исследование симметрии модульной группы во фрактальных кривых.)