В математике интегральная кривая — это параметрическая кривая , представляющая собой конкретное решение обыкновенного дифференциального уравнения или системы уравнений.
Интегральные кривые известны под разными названиями, в зависимости от природы и интерпретации дифференциального уравнения или векторного поля. В физике интегральные кривые для электрического или магнитного поля известны как силовые линии , а интегральные кривые для поля скорости жидкости — как линии тока . В динамических системах интегральные кривые дифференциального уравнения, управляющего системой , называются траекториями или орбитами .
Предположим, что F — статическое векторное поле , то есть векторная функция с декартовыми координатами ( F 1 , F 2 ,..., F n ), и что x ( t ) — параметрическая кривая с декартовыми координатами ( x 1 ( т ), х 2 ( т ),..., х п ( т )). Тогда x ( t ) является интегральной кривой F , если она является решением автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
Такую систему можно записать в виде одного векторного уравнения:
Это уравнение говорит, что вектор, касательный к кривой в любой точке x ( t ) вдоль кривой, в точности является вектором F ( x ( t )), и поэтому кривая x ( t ) касается в каждой точке векторного поля F. .
Если данное векторное поле является липшицевым , то из теоремы Пикара–Линделёфа следует, что существует единственный поток за малое время.
Если дифференциальное уравнение представлено в виде векторного поля или поля наклонов , то соответствующие интегральные кривые касаются поля в каждой точке.
Пусть M — банахово многообразие класса C r с r ≥ 2. Как обычно, TM обозначает касательное расслоение к M с его естественной проекцией π M : TM → M , заданной формулой
Векторное поле на M — это сечение касательного расслоения TM , т. е. присвоение каждой точке многообразия M касательного вектора к M в этой точке. Пусть X — векторное поле на M класса Cr − 1 и p ∈ M. Интегральная кривая для X , проходящая через p в момент времени t 0, представляет собой кривую α : J → M класса C r −1 , определенную на открытом интервале J вещественной прямой R , содержащей t 0 , такую, что
Приведенное выше определение интегральной кривой α для векторного поля X , проходящего через p в момент времени t 0 , равнозначно утверждению, что α является локальным решением обыкновенного дифференциального уравнения/задачи с начальным значением.
Оно локально в том смысле, что оно определено только для моментов времени в J и не обязательно для всех t ≥ t 0 (не говоря уже о t ⩽ t 0 ). Таким образом, задача доказательства существования и единственности интегральных кривых аналогична задаче поиска решений обыкновенных дифференциальных уравнений/начальных задач и доказательства их единственности.
В приведенном выше примере α ′( t ) обозначает производную α в момент времени t , «направление α указывает» в момент времени t . С более абстрактной точки зрения это производная Фреше :
В частном случае, когда M является некоторым открытым подмножеством Rn , это знакомая производная
где α 1 , ..., α n — координаты α относительно обычных координатных направлений.
То же самое можно сформулировать еще более абстрактно в терминах индуцированных отображений . Заметим, что касательное расслоение T J к J является тривиальным расслоением J × R и существует каноническое сечение ι этого расслоения такое, что ι ( t ) = 1 (или, точнее, ( t , 1) ∈ ι ) для всех t ∈ J. Кривая α индуцирует отображение расслоения α ∗ : T J → TM, так что следующая диаграмма коммутирует:
Тогда производная по времени α ′ — это композиция α ′ = α ∗ o ι , а α ′( t ) – ее значение в некоторой точке t ∈ J .
