В теории римановых поверхностей и гиперболической геометрии поверхность Гурвица , названная в честь Адольфа Гурвица , представляет собой компактную риманову поверхность с ровно 84( g − 1) автоморфизмами, где g — род поверхности. Это число максимально в силу теоремы Гурвица об автоморфизмах (Hurwitz 1893). Их также называют кривыми Гурвица , интерпретируя их как комплексные алгебраические кривые (комплексная размерность 1 = вещественная размерность 2).
Фуксова группа поверхности Гурвица является конечноиндексной нормальной подгруппой без кручения (обычной) группы треугольника (2,3,7) . Конечная факторгруппа является в точности группой автоморфизмов.
Автоморфизмы комплексных алгебраических кривых являются сохраняющими ориентацию автоморфизмами соответствующей вещественной поверхности; если допустить изометрии, меняющие ориентацию , то это даст группу вдвое большего размера, порядка 168( g − 1), что иногда представляет интерес.
Примечание по терминологии – в этом и других контекстах «группа треугольника (2,3,7)» чаще всего относится не к полной группе треугольников Δ(2,3,7) ( группа Коксетера с треугольником Шварца (2,3,7) или реализация в виде гиперболической группы отражений ), а скорее к обычной группе треугольников ( группа фон Дейка ) D (2,3,7) сохраняющих ориентацию отображений (группа вращений), которая имеет индекс 2. Группа комплексных автоморфизмов является фактором обычной ( сохраняющей ориентацию) группы треугольников, в то время как группа (возможно, меняющих ориентацию) изометрий является фактором полной группы треугольников.
Только конечное число поверхностей Гурвица встречается с каждым родом. Функция, отображающая род на число поверхностей Гурвица с этим родом, неограниченна, хотя большинство ее значений равны нулю. Сумма
сходится для , что в приближенном смысле означает, что род -й поверхности Гурвица растет по крайней мере как кубическая функция (Kucharczyk 2014).
Поверхность Гурвица наименьшего рода — это квартика Клейна рода 3 с группой автоморфизмов — проективной специальной линейной группой PSL(2,7) порядка 84(3 − 1) = 168 = 2 3 ·3 ·7, которая является простой группой ; (или порядка 336, если допускаются изометрии, меняющие ориентацию). Следующий возможный род — 7, принадлежащий поверхности Макбита , с группой автоморфизмов PSL(2,8), которая является простой группой порядка 84(7 − 1) = 504 = 2 3 ·3 2 ·7; если включить изометрии, меняющие ориентацию, то группа будет иметь порядок 1008.
Интересное явление происходит в следующем возможном роде, а именно 14. Здесь имеется тройка различных римановых поверхностей с одинаковой группой автоморфизмов (порядка 84(14 − 1) = 1092 = 2 2 ·3·7·13). Объяснение этого явления арифметическое. А именно, в кольце целых чисел соответствующего числового поля рациональное простое число 13 распадается как произведение трех различных простых идеалов . Главные подгруппы конгруэнтности , определяемые тройкой простых чисел, производят фуксовы группы, соответствующие первой тройке Гурвица .
Последовательность допустимых значений рода поверхности Гурвица начинается
