Критерий устойчивости Найквиста

Графический метод определения устойчивости динамической системы

График Найквиста для с s = jω . ${\displaystyle G(s)={\frac {1}{s^{2}+s+1}}}$

В теории управления и теории устойчивости критерий устойчивости Найквиста или критерий устойчивости Стрекера-Найквиста , независимо открытый немецким инженером-электриком Феликсом Штрекером  [де] в компании Siemens в 1930 году ^{[1] [2] [3]} и шведско-американским инженером-электриком. Гарри Найквист из Bell Telephone Laboratories в 1932 году ^[4] представляет собой графический метод определения устойчивости динамической системы .

Поскольку он рассматривает только график Найквиста разомкнутых систем , его можно применять без явного вычисления полюсов и нулей как замкнутой, так и разомкнутой системы (хотя количество каждого типа особенностей правой полуплоскости надо знать). В результате его можно применять к системам, определяемым нерациональными функциями , например к системам с задержками. В отличие от графиков Боде , он может обрабатывать передаточные функции с особенностями в правой полуплоскости. Кроме того, существует естественное обобщение на более сложные системы с множеством входов и выходов , такие как системы управления самолетами.

Критерий устойчивости Найквиста широко используется в электронике и технике управления , а также в других областях для проектирования и анализа систем с обратной связью . Хотя Найквист является одним из наиболее общих тестов стабильности, он по-прежнему ограничен линейными стационарными (LTI) системами. Тем не менее, существуют обобщения критерия Найквиста (и графика) для нелинейных систем, такие как критерий окружности и масштабированный относительный график нелинейного оператора . ^[5] Кроме того, для нелинейных систем можно применять и другие критерии устойчивости , такие как методы Ляпунова .

Хотя Найквист представляет собой графический метод, он дает лишь ограниченное представление о том, почему система стабильна или нестабильна или как изменить нестабильную систему, чтобы сделать ее стабильной. Такие методы, как диаграммы Боде, хотя и менее общие, иногда являются более полезным инструментом проектирования.

сюжет Найквиста

Заговор Найквиста. Хотя частоты на кривой не указаны, можно сделать вывод, что точка нулевой частоты находится справа, а кривая движется по спирали к началу координат на высокой частоте. Это связано с тем, что усиление на нулевой частоте должно быть чисто реальным (по оси X ) и обычно не равно нулю, в то время как большинство физических процессов имеют некоторую степень фильтрации нижних частот, поэтому высокочастотная характеристика равна нулю.

График Найквиста — это параметрический график частотной характеристики, используемый в автоматическом управлении и обработке сигналов . Чаще всего графики Найквиста используются для оценки стабильности системы с помощью обратной связи . В декартовых координатах действительная часть передаточной функции отображается на оси X , а мнимая часть — на оси Y. Частота изменяется как параметр, в результате чего на каждую частоту приходится одна точка. Тот же график можно описать с использованием полярных координат , где усиление передаточной функции — это радиальная координата, а фаза передаточной функции — соответствующая угловая координата. Сюжет Найквиста назван в честь Гарри Найквиста , бывшего инженера Bell Laboratories .

Оценка устойчивости замкнутой системы с отрицательной обратной связью осуществляется путем применения критерия устойчивости Найквиста к графику Найквиста разомкнутой системы (т. е. той же системы без петли обратной связи ). Этот метод легко применим даже для систем с задержками и другими нерациональными передаточными функциями, анализ которых с помощью других методов может показаться трудным. Стабильность определяется по количеству охватов точки (−1, 0). Диапазон выигрышей, в котором система будет стабильной, можно определить, рассматривая пересечения реальной оси.

График Найквиста может предоставить некоторую информацию о форме передаточной функции. Например, график дает информацию о разнице между количеством нулей и полюсов передаточной функции ^[6] по углу, под которым кривая приближается к началу координат.

При рисовании вручную иногда используется мультяшная версия графика Найквиста, которая показывает линейность кривой, но где координаты искажены, чтобы показать больше деталей в интересующих областях. При построении графика с помощью вычислений необходимо позаботиться о том, чтобы охватить все интересующие частоты. Обычно это означает, что параметр изменяется логарифмически, чтобы охватить широкий диапазон значений.

Фон

В математике используется преобразование Лапласа , которое преобразует интегралы и производные во временной области в простое умножение и деление во временной области.

Мы рассматриваем систему, передаточная функция которой равна ; при включении в замкнутый контур с отрицательной обратной связью передаточная функция замкнутого контура (CLTF) становится: ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle {\frac {G}{1+GH}}}$

Стабильность можно определить, исследуя корни полинома коэффициента чувствительности , например, используя массив Рауса , но этот метод несколько утомителен. Выводы также можно сделать, исследуя передаточную функцию разомкнутого контура (OLTF) с использованием ее графиков Боде или, как здесь, ее полярного графика с использованием критерия Найквиста, как показано ниже. ${\displaystyle 1+GH}$ ${\displaystyle GH(s)}$

Любую передаточную функцию области Лапласа можно выразить как отношение двух полиномов : ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.}$

Корни называются нулями , а корни - полюсами . Полюсы также называются корнями характеристического уравнения . ${\displaystyle N(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle D(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle D(s)=0}$

Устойчивость определяется значениями ее полюсов: для устойчивости действительная часть каждого полюса должна быть отрицательной. Если формируется путем замыкания отрицательной единичной петли обратной связи вокруг передаточной функции разомкнутого контура, ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$

${\displaystyle GH(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}}$

тогда корни характеристического уравнения являются также нулями или просто корнями . ${\displaystyle 1+GH(s)}$ ${\displaystyle A(s)+B(s)=0}$

Принцип аргументации Коши

Из комплексного анализа контур, нарисованный в комплексной плоскости, охватывающий, но не проходящий через любое количество нулей и полюсов функции , может быть отображен в другую плоскость (называемую плоскостью) с помощью функции . Точнее, каждая комплексная точка контура сопоставляется с точкой на новой плоскости, образуя новый контур. ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$

График Найквиста , который представляет собой контур, будет окружать точку плоского времени, где по принципу аргумента Коши . Здесь и – соответственно количество нулей и полюсов внутри контура . Обратите внимание, что мы считаем окружения на плоскости в том же смысле, что и контур , и что окружения в противоположном направлении являются отрицательными окружениями. То есть мы считаем окружение по часовой стрелке положительным, а окружение против часовой стрелки отрицательным. ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{F(s)}=F(\Gamma _{s})}$ ${\displaystyle s={-1/k+j0}}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=P-Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 1+kF(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$

Вместо принципа аргументации Коши в оригинальной статье Гарри Найквиста 1932 года используется менее элегантный подход. Описываемый здесь подход аналогичен подходу, используемому Лероем Макколлом (Фундаментальная теория сервомеханизмов, 1945 г.) или Хендриком Боде (Сетевой анализ и проектирование усилителей с обратной связью, 1945 г.), оба из которых также работали в Bell Laboratories . Такой подход встречается в большинстве современных учебников по теории управления.

Определение

Сначала мы строим контур Найквиста , контур, охватывающий правую половину комплексной плоскости:

• путь, идущий вверх по оси, от до . ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle 0-j\infty }$ ${\displaystyle 0+j\infty }$
• полукруговая дуга с радиусом , которая начинается и движется по часовой стрелке до . ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle 0+j\infty }$ ${\displaystyle 0-j\infty }$

Контур Найквиста, отображенный с помощью функции, дает график в комплексной плоскости. Согласно принципу аргумента, количество окружностей начала координат по часовой стрелке должно быть количеством нулей в правой полукомплексной плоскости минус количество полюсов в правой полукомплексной плоскости. Если вместо этого контур отображается с помощью передаточной функции разомкнутого контура , результатом будет график Найквиста . Подсчитав охваты результирующего контура −1, мы находим разницу между числом полюсов и нулей в правой половине комплексной плоскости . Вспоминая, что нули являются полюсами замкнутой системы, и отмечая, что полюсы такие же, как и полюсы , мы теперь сформулируем критерий Найквиста : ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$

Учитывая контур Найквиста , пусть будет число полюсов окруженного , и будет число нулей окруженного . В качестве альтернативы, и что более важно, если - число полюсов замкнутой системы в правой полуплоскости и - число полюсов передаточной функции разомкнутого контура в правой полуплоскости, результирующий контур в -плоскости, обводит (по часовой стрелке) точки времени такие, что . ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{G(s)}}$ ${\displaystyle (-1+j0)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=Z-P}$

Если система изначально нестабильна в разомкнутом контуре, для стабилизации системы необходима обратная связь. Полюсы правой полуплоскости (RHP) представляют собой эту нестабильность. Для устойчивости системы число замкнутых корней в правой половине s -плоскости должно быть равно нулю. Следовательно, количество обходов против часовой стрелки должно быть равно числу полюсов разомкнутого контура в РХП. Любое обход критической точки по часовой стрелке частотной характеристикой разомкнутого контура (при оценке от низкой частоты к высокой частоте) будет указывать на то, что система управления с обратной связью будет дестабилизироваться, если контур замкнут. (Использование нулей RHP для «компенсации» полюсов RHP не устраняет нестабильность, а скорее гарантирует, что система останется нестабильной даже при наличии обратной связи, поскольку корни замкнутого контура перемещаются между полюсами разомкнутого контура и нулями в присутствии Фактически, ноль RHP может сделать нестабильный полюс ненаблюдаемым и, следовательно, не стабилизируемым посредством обратной связи.) ${\displaystyle -1+j0}$

Критерий Найквиста для систем с полюсами на мнимой оси

Вышеупомянутое рассмотрение проводилось в предположении, что передаточная функция разомкнутого контура не имеет полюсов на мнимой оси (т.е. полюсов вида ). Это следует из требования принципа аргумента , согласно которому контур не может проходить через какой-либо полюс отображающей функции. Наиболее распространенным случаем являются системы с интеграторами (полюсы в нуле). ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle 0+j\omega }$

Чтобы иметь возможность анализировать системы с полюсами на воображаемой оси, контур Найквиста можно изменить, чтобы он не проходил через точку . Один из способов сделать это — построить полукруговую дугу радиусом около , которая начинается в и движется против часовой стрелки в . Такая модификация означает, что вектор движется по дуге бесконечного радиуса на , где – кратность полюса на мнимой оси. ${\displaystyle 0+j\omega }$ ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle 0+j\omega }$ ${\displaystyle 0+j(\omega -r)}$ ${\displaystyle 0+j(\omega +r)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle -l\pi }$ ${\displaystyle l}$

Математический вывод

Система G с единичной отрицательной обратной связью со скалярным коэффициентом усиления, обозначаемым K

Наша цель — с помощью этого процесса проверить стабильность передаточной функции нашей системы с единичной обратной связью с коэффициентом усиления k , который определяется выражением

${\displaystyle T(s)={\frac {kG(s)}{1+kG(s)}}}$

То есть мы хотели бы проверить, является ли характеристическое уравнение приведенной выше передаточной функции, заданное формулой

${\displaystyle D(s)=1+kG(s)=0}$

имеет нули вне открытой левой полуплоскости (обычно инициализируемой как OLHP).

Мы предполагаем, что у нас есть контур по часовой стрелке (т.е. отрицательно ориентированный) , охватывающий правую полуплоскость, с отступами, необходимыми для того, чтобы избежать прохождения через нули или полюса функции . Принцип аргументации Коши гласит, что ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=N=Z-P}$

Где обозначает количество нулей, заключенных в контуре, и обозначает количество полюсов этого же контура. Переставляя, мы имеем , то есть ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle D(s)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D(s)}$ ${\displaystyle Z=N+P}$

${\displaystyle Z=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds+P}$

Затем мы замечаем, что имеет точно такие же полюса, что и . Таким образом, мы можем найти , посчитав полюса, которые появляются внутри контура, то есть внутри открытой правой полуплоскости (ОРП). ${\displaystyle D(s)=1+kG(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G(s)}$

Теперь мы изменим приведенный выше интеграл путем замены. То есть, установив , мы имеем ${\displaystyle u(s)=D(s)}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du}$

Затем мы делаем дальнейшую замену, устанавливая . Это дает нам ${\displaystyle v(u)={\frac {u-1}{k}}}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{v(u(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv}$

Теперь отметим, что это дает нам изображение нашего контура под , то есть наш график Найквиста . Мы можем еще уменьшить интеграл ${\displaystyle v(u(\Gamma _{s}))={{D(\Gamma _{s})-1} \over {k}}=G(\Gamma _{s})}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{G(\Gamma _{s}))}{\frac {1}{v+1/k}}\,dv}$

применив интегральную формулу Коши . Фактически, мы обнаруживаем, что приведенный выше интеграл точно соответствует количеству раз, когда график Найквиста обходит точку по часовой стрелке. Таким образом, мы можем окончательно заявить, что ${\displaystyle -1/k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z={}&N+P\\[6pt]={}&{\text{(number of times the Nyquist plot encircles }}{-1/k}{\text{ clockwise)}}\\&{}+{\text{(number of poles of }}G(s){\text{ in ORHP)}}\end{aligned}}}$

Таким образом, мы находим, что , как определено выше, соответствует стабильной системе с единичной обратной связью, когда , как оценено выше, равно 0. ${\displaystyle T(s)}$ ${\displaystyle Z}$

Важность

Критерий устойчивости Найквиста — это графический метод, определяющий устойчивость динамической системы, например системы управления с обратной связью. Он основан на принципе аргумента и графике Найквиста передаточной функции разомкнутой системы. Его можно применять к системам, которые не определяются рациональными функциями, например к системам с запаздыванием. Он также может обрабатывать передаточные функции с особенностями в правой полуплоскости, в отличие от графиков Боде. Критерий устойчивости Найквиста также можно использовать для определения запасов по фазе и коэффициенту усиления системы, которые важны для проектирования контроллера частотной области. ^[7]

Краткое содержание

• Если передаточная функция разомкнутого контура имеет нулевой полюс кратности , то график Найквиста имеет разрыв при . При дальнейшем анализе следует считать, что вектор проходит раз по часовой стрелке по полукругу бесконечного радиуса. После применения этого правила нулевыми полюсами следует пренебречь, т.е. если других неустойчивых полюсов нет, то передаточную функцию разомкнутого контура следует считать устойчивой. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle G(s)}$
• Если передаточная функция разомкнутого контура стабильна, то система с замкнутым контуром неустойчива тогда и только тогда, когда график Найквиста окружает точку -1 хотя бы один раз. ${\displaystyle G(s)}$
• Если передаточная функция разомкнутого контура нестабильна , то для того, чтобы система с замкнутым контуром была стабильной , должно быть одно окружение против часовой стрелки, равное -1, для каждого полюса в правой половине комплексной плоскости. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$
• The number of surplus encirclements (N + P greater than 0) is exactly the number of unstable poles of the closed-loop system.
• However, if the graph happens to pass through the point ${\displaystyle -1+j0}$, then deciding upon even the marginal stability of the system becomes difficult and the only conclusion that can be drawn from the graph is that there exist zeros on the ${\displaystyle j\omega }$ axis.

See also

• BIBO stability
• Bode plot
• Routh–Hurwitz stability criterion
• Gain margin
• Nichols plot
• Hall circles
• Phase margin
• Barkhausen stability criterion
• Circle criterion
• Control engineering
• Hankel singular value

References

1. Reinschke, Kurt (2014). "Chapter 4.3. Das Stabilitätskriterium von Strecker-Nyquist". Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie (in German) (2 ed.). Springer-Verlag. p. 184. ISBN 978-3-64240960-8. Retrieved 2019-06-14.
2. Bissell, Christopher C. (2001). "Inventing the 'black box': mathematics as a neglected enabling technology in the history of communications engineering" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2019-06-14. Retrieved 2019-06-14.
3. Strecker, Felix [in German] (1947). Die elektrische Selbsterregung mit einer Theorie der aktiven Netzwerke (in German). Stuttgart, Germany: S. Hirzel Verlag [de]. (NB. Earlier works can be found in the literature section.)
4. Nyquist, Harry (January 1932). "Regeneration Theory". Bell System Technical Journal. USA: American Telephone and Telegraph Company (AT&T). 11 (1): 126–147. doi:10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x. S2CID 115002788.
5. Chaffey, Thomas; Forni, Fulvio; Sepulchre, Rodolphe (2023). "Graphical Nonlinear System Analysis". IEEE Transactions on Automatic Control. 68 (10): 6067–6081. arXiv:2107.11272. doi:10.1109/TAC.2023.3234016. ISSN 0018-9286. S2CID 236318576.
6. Nyquist Plots Archived 2008-09-30 at the Wayback Machine
7. "12.2: Nyquist Criterion for Stability". Mathematics LibreTexts. 2017-09-05. Retrieved 2023-12-25.

Further reading

• Faulkner, E. A. (1969): Introduction to the Theory of Linear Systems; Chapman & Hall; ISBN 0-412-09400-2
• Пиппард, AB (1985): Реакция и стабильность ; Издательство Кембриджского университета; ISBN 0-521-31994-3 
• Гессинг, Р. (2004): Основы управления ; Силезский технологический университет; ISBN 83-7335-176-0 
• Франклин, Г. (2002): Управление динамическими системами с обратной связью ; Прентис Холл, ISBN 0-13-032393-4 

Внешние ссылки

• Апплеты с изменяемыми параметрами
• EIS Spectrum Analyser — бесплатная программа для анализа и моделирования спектров импеданса.
• Функция MATLAB для создания графика Найквиста частотной характеристики модели динамической системы.
• Формирование графика ПИД-Найквиста - бесплатный интерактивный виртуальный инструмент, симулятор контура управления
• Функция Mathematica для создания графика Найквиста
• Диаграмма Найквиста для электрических цепей