В математической теории замощений критерий Конвея , названный в честь английского математика Джона Хортона Конвея , является достаточным правилом для определения того, когда протоплитка будет замощать плоскость. Он состоит из следующих требований: [1] Плитка должна быть замкнутым топологическим диском с шестью последовательными точками A, B, C, D, E и F на границе, такими, что:
Любая протоплитка, удовлетворяющая критерию Конвея, допускает периодическую мозаику плоскости — и делает это, используя только повороты на 180 градусов. [1] Критерий Конвея является достаточным условием для доказательства того, что протоплитка замощает плоскость, но не необходимым. Существуют плитки, которые не удовлетворяют критерию и все равно замощают плоскость. [3]
Каждая плитка Конвея может быть сложена либо в изотетраэдр , либо в прямоугольный диэдр , и наоборот, каждая развертка изотетраэдра или прямоугольного диэдра является плиткой Конвея. [4] [3]
Критерий Конвея применим к любой форме, которая является замкнутым диском — если граница такой формы удовлетворяет критерию, то она замощает плоскость. Хотя графический художник М. К. Эшер никогда не формулировал критерий, он открыл его в середине 1920-х годов. Одна из его самых ранних мозаик, позже пронумерованная им номером 1, иллюстрирует его понимание условий в критерии. Шесть из его самых ранних мозаик удовлетворяют критерию. В 1963 году немецкий математик Генрих Хеш описал пять типов плиток, которые удовлетворяют критерию. Он показывает каждый тип с обозначениями, которые идентифицируют края плитки по мере ее перемещения вокруг границы: CCC, CCCC, TCTC, TCTCC, TCCTCC, где C означает центросимметричное ребро, а T означает перемещенное ребро. [5]
Конвей, вероятно, был вдохновлен колонкой Мартина Гарднера в журнале Scientific American за июль 1975 года , в которой обсуждалось, какие выпуклые многоугольники могут замостить плоскость. [6] В августе 1975 года Гарднер сообщил, что Конвей открыл свой критерий, пытаясь найти эффективный способ определить, какие из 108 гептамино замостит плоскость. [7]
В своей простейшей форме критерий просто утверждает, что любой шестиугольник с парой противоположных сторон, которые параллельны и конгруэнтны, будет замощать плоскость. [8] В статье Гарднера это называется шестиугольником типа 1. [7] Это также верно для параллелограммов . Но переносы, которые соответствуют противоположным ребрам этих плиток, являются композицией двух поворотов на 180° — вокруг середин двух смежных ребер в случае шестиугольного параллелограмма , и вокруг середины ребра и одной из его вершин в случае параллелограмма. Когда плитка, удовлетворяющая критерию Конвея, поворачивается на 180° вокруг середины центральносимметричного ребра, она создает либо обобщенный параллелограмм, либо обобщенный шестиугольный параллелогон (они имеют противоположные ребра, конгруэнтные и параллельные), поэтому удвоенная плитка может замощать плоскость с помощью переносов. [4] Трансляции представляют собой композицию поворотов на 180°, как и в случае прямоугольного шестиугольного параллелограмма или параллелограммов. [9]
Критерий Конвея на удивление силен, особенно когда применяется к полиформам . За исключением четырех гептамино , все полимино вплоть до порядка 7 либо удовлетворяют критерию Конвея, либо две копии могут образовать участок, удовлетворяющий критерию. [10]