ставка Найквиста

Минимальная частота дискретизации, чтобы избежать наложения

Рис. 1: Типичный пример частоты и частоты Найквиста. Они редко бывают равными, поскольку для этого потребуется двукратная передискретизация (т. е. увеличение полосы пропускания в 4 раза).

В обработке сигналов частота Найквиста , названная в честь Гарри Найквиста , представляет собой значение (в единицах выборок в секунду ^[1] или герцах , Гц), равное удвоенной самой высокой частоте ( полосе пропускания ) данной функции или сигнала. Когда функция оцифровывается с более высокой частотой дискретизации (см. § Критическая частота ), результирующая последовательность дискретного времени считается свободной от искажений, известных как наложение спектров . И наоборот, для данной частоты дискретизации соответствующая частота Найквиста в Гц составляет половину частоты дискретизации. Обратите внимание, что частота Найквиста является свойством сигнала с непрерывным временем , тогда как частота Найквиста является свойством системы с дискретным временем.

Термин «скорость Найквиста» также используется в другом контексте с единицами символов в секунду, что на самом деле является областью, в которой работал Гарри Найквист. В этом контексте это верхняя граница скорости передачи символов в полосовом канале с ограниченной полосой пропускания , таком как телеграфная линия ^[2] , или в канале полосы пропускания , таком как ограниченный диапазон радиочастот или канал мультиплексирования с частотным разделением каналов.

Относительно выборки

Рис. 2. Преобразование Фурье функции с ограниченной полосой пропускания (амплитуда в зависимости от частоты)

Когда непрерывная функция отбирается с постоянной скоростью, выборок/секунду , всегда существует неограниченное количество других непрерывных функций, которые соответствуют тому же набору выборок. Но только один из них ограничен диапазоном циклов в секунду ( герц ), ^[A] , что означает, что его преобразование Фурье подходит для всех   . Математические алгоритмы, которые обычно используются для воссоздания непрерывной функции по выборкам, создают сколь угодно хорошие приближения к этой теоретической, но бесконечно длинная функция. Отсюда следует, что если исходная функция ограничена полосой частот , называемой критерием Найквиста , то это единственная уникальная функция, которую аппроксимируют алгоритмы интерполяции. Что касается собственной полосы пропускания функции , как показано здесь, критерий Найквиста часто обозначается как   И называется скоростью Найквиста для функций с полосой пропускания. Когда , скажем, критерий Найквиста не соблюдается , возникает условие, называемое и реконструированная функция с меньшей пропускной способностью. В большинстве случаев различия рассматриваются как искажения. ${\displaystyle x(t),}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s}}$ ${\displaystyle X(f),}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |f|\geq {\tfrac {1}{2}}f_{s}.}$ ${\displaystyle x(t),}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s},}$ ${\displaystyle (B),}$ ${\displaystyle f_{s}>2B.}$ ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle B>{\tfrac {1}{2}}f_{s}),}$ ${\displaystyle x(t)}$

Рис. 3. На двух верхних графиках изображены преобразования Фурье двух разных функций, которые дают одинаковые результаты при выборке с определенной частотой. Функция основной полосы дискретизируется быстрее, чем ее частота Найквиста, а функция полосового пропускания субдискретизируется, эффективно преобразуя ее в полосу частот. Нижние графики показывают, как идентичные спектральные результаты создаются псевдонимами процесса выборки.

Преднамеренное псевдонимирование

На рисунке 3 изображен тип функции, называемой основной полосой частот или lowpass , поскольку ее диапазон положительных частот значительной энергии равен [0,  B ). Когда вместо этого диапазон частот равен ( A ,  A + B ), для некоторых A  >  B он называется полосовым , и общим желанием (по разным причинам) является преобразование его в полосу частот. Одним из способов сделать это является смешение частот ( гетеродинное ) функции полосы пропускания до диапазона частот (0,  B ). Одна из возможных причин — снижение скорости Найквиста для более эффективного хранения. И оказывается, что можно напрямую достичь того же результата, осуществляя выборку функции полосы пропускания с частотой дискретизации суб-Найквиста, которая является наименьшим целым кратным частоты A , которая соответствует критерию Найквиста основной полосы частот: f _s  > 2 B . Для более общего обсуждения см. полосовую выборку .

Относительно сигнализации

Задолго до того, как имя Гарри Найквиста стало ассоциироваться с выборкой, термин « коэффициент Найквиста» использовался по-другому, со значением, более близким к тому, что на самом деле изучал Найквист. Цитируя книгу Гарольда С. Блэка «Теория модуляции» 1953 года в разделе « Интервал Найквиста» первой главы «Историческая справка»:

«Если основной диапазон частот ограничен B циклами в секунду, Найквист дал 2 B как максимальное количество элементов кода в секунду, которые могут быть однозначно разрешены, предполагая, что пиковая интерференция составляет менее половины квантового шага. Эта скорость равна обычно называется передачей сигналов со скоростью Найквиста , а 1/(2 B ) называется интервалом Найквиста ». (жирный шрифт выделен для выделения; курсив из оригинала)

По мнению OED , утверждение Блэка относительно 2 B может быть источником термина « ставка Найквиста» . ^[3]

Знаменитая статья Найквиста 1928 года представляла собой исследование того, сколько импульсов (элементов кода) можно передать в секунду и восстановить через канал с ограниченной полосой пропускания. ^[4] Передача сигналов на скорости Найквиста означала передачу через телеграфный канал столько кодовых импульсов, сколько позволяла его полоса пропускания. Шеннон использовал подход Найквиста, когда доказал теорему выборки в 1948 году, но Найквист не работал над выборкой как таковой.

Более поздняя глава Блэка «Принцип выборки» действительно отдает должное Найквисту за некоторые важные математические вычисления:

«Найквист (1928) указал, что, если функция существенно ограничена временным интервалом T , двух значений BT достаточно для определения функции, основываясь на своих выводах на представлении функции в виде ряда Фурье на временном интервале T ».

Смотрите также

• Частота Найквиста
• Критерий Найквиста ISI
• Теорема выборки Найквиста – Шеннона
• Выборка (обработка сигнала)

Примечания

1. Фактор имеет единицы циклов/выборку (см. Выборка и Теорема выборки ). ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Рекомендации

1. Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 140. ИСБН 0-13-754920-2. T — период дискретизации, а обратная ему величина f _s =1/T — частота дискретизации в выборках в секунду.
2. Роджер Л. Фриман (2004). Инженерия телекоммуникационных систем. Джон Уайли и сыновья. п. 399. ИСБН 0-471-45133-9.
3. Блэк, HS , Теория модуляции , т. 65, 1953, цитируется в OED .
4. Найквист, Гарри. «Некоторые вопросы теории телеграфной передачи», Пер. AIEE, том. 47, стр. 617–644, апрель 1928 г. Перепечатка как классическая статья в: Proc. IEEE, Том. 90, № 2, февраль 2002 г.